椭圆、双曲线、抛物线练习题.doc

精讲精练【例】以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_.解： 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，双曲线方程为【例】双曲线=1(bN)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_。解：设F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y)，则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2)，即|PF1|2+|PF2|250+2c2，又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|PF2|，依双曲线定义，有|PF1|PF2|=4，依已知条件有|PF1|PF2|=|F1F2|2=4c2 16+8c250+2c2，c2,又c2=4+b2，b2，b2=1。【例】当取何值时，直线：与椭圆相切，相交，相离？解： 代入得化简得当即时，直线与椭圆相切；当，即时，直线与椭圆相交；当，即或时，直线与椭圆相离。【例】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=，试求椭圆的方程。解：|MF|max=a+c，|MF|min=ac，则(a+c)(ac)=a2c2=b2，b2=4，设椭圆方程为设过M1和M2的直线方程为y=x+m将代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0设M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，M1M2的中点为(x0，y0)，则x0= (x1+x2)=，y0=x0+m=。代入y=x，得，由于a24，m=0，由知x1+x2=0，x1x2=，又|M1M2|=，代入x1+x2，x1x2可解a2=5，故所求椭圆方程为： =1。【例】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程。解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0，n0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0，=4n24(m+n)(n1)0，即m+nmn0，由OPOQ，所以x1x2+y1y2=0，即2x1x2+(x1+x2)+1=0，+1=0，m+n=2又22，将m+n=2，代入得mn=由、式得m=，n=或m=，n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1。【例】已知圆C1的方程为，椭圆C2的方程为，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。解：由设椭圆方程为设 又 两式相减，得 又即将由得解得 故所有椭圆方程【例】过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程。解法一：由e=，得，从而a2=2b2，c=b。设椭圆方程为x2+2y2=2b2，A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上。则x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，两式相减得，(x12x22)+2(y12y22)=0，设AB中点为(x0，y0)，则kAB=，又(x0，y0)在直线y=x上，y0=x0，于是=1，kAB=1，设l的方程为y=x+1。右焦点(b，0)关于l的对称点设为(x，y)，由点(1，1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2，b2=。所求椭圆C的方程为 =1，l的方程为y=x+1。解法二：由e=，从而a2=2b2，c=b。设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2，l的方程为y=k(x1)，将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0，则x1+x2=，y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=。直线l：y=x过AB的中点()，则，解得k=0，或k=1。若k=0，则l的方程为y=0，焦点F(c，0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=1，直线l的方程为y=(x1)，即y=x+1，以下同解法一。解法三：设椭圆方程为直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。故可设直线， ，则， 所以所求的椭圆方程为：【例】如图，已知P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程。解：以O为原点，P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系。设双曲线方程为=1(a0，b0)，由e2=，得。两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=x设点P1(x1， x1)，P2(x2，x2)(x10，x20)，则由点P分所成的比=2，得P点坐标为()，又点P在双曲线=1上，所以=1，即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2，整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4，b2=9。 故双曲线方程为=1。【例】过椭圆C：上一动点P引圆O：x2 +y2 =b2的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M、N两点。(1) 已知P点坐标为(x0，y0 )并且x0y00，试求直线AB方程；(2) 若椭圆的短轴长为8，并且，求椭圆C的方程；(3) 椭圆C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。解：(1)设A(x1，y1)，B(x2， y2) 切线PA：，PB：P点在切线PA、PB上，直线AB的方程为(2)在直线AB方程中，令y=0，则M(，0)；令x=0，则N(0，) 2b=8 b=4 代入得a2 =25， b2 =16椭圆C方程： (3) 假设存在点P(x0，y0)满足PAPB，连接OA、OB由|PA|=|PB|知，四边形PAOB为正方形，|OP|=|OA| 又P点在椭圆C上 由知x ab0 a2 b20(1)当a22b20，即ab时，椭圆C上存在点，由P点向圆所引两切线互相垂直；(2)当a22b20，即ba0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。考点：本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系。解：（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为。解方程组得,即,则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且。所以, 当时。 因为所以,所以, 所以当且仅当时取”=”。 当时,。 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: