高中数学函数与方程思想.doc

函数与方程思想考试说明指出：“高考把函数与方程的思想作为思想方法的重点来考查，使用填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查” 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决函数和方程的思想简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，一般情况下，凡是涉及未知数问题都可能用到函数与方程的思想函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考要考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视1. 设集合A1,1,3，Ba2，a24，AB3，则实数a_.2.函数f(x)axa1存在零点x0，且x00,2，则实数a的取值范围是_3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为，则该长方体的外接球体积为_4.关于x的方程sin2xcosxa0有实根，则实数a的取值范围是_【例1】若a，b为正数，且abab3，求ab的取值范围【例2】设函数f(x)ax2bxc(a0)，且f(1).(1) 求证：函数f(x)有两个零点；(2) 设x1，x2是函数f(x)的两个零点，求|x1x2|的取值范围；(3) 求证：函数f(x)的零点x1，x2至少有一个在区间(0,2)内【例3】如图，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.(1) 求实数b的值；(2) 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程【例4】已知函数f(x)x|x23|，x0，m，其中mR，且m0(1) 若m1，求证：函数f(x)是增函数；(2) 如果函数f(x)的值域是0,2，试求m的取值范围；(3) 如果函数f(x)的值域是0，m2，试求实数的最小值1. (2011北京)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_2.(2011广东)等差数列an前9项的和等于前4项的和若a11，aka40，则k_. 3.(2009福建)若曲线f(x)ax3lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_4.(2010天津)设函数f(x)x，对任意x1，)，f(mx)mf(x)0时，2m2m2， m1(6分)当m0，若m0，k1，函数yf(x)kx有两个零点x；(10分)若m0，k1，函数yf(x)kx有两个零点，x；(12分)当k1时，方程(*)有一解44m(1k)0，k1， 函数yf(x)kx有一个零点，x.(14分)第19讲函数与方程思想1. 在等差数列an中，已知a510，a1231，则通项an_.【答案】3n5解析：显然公差不为零，故通项为n的一次函数，设ananb，a，b为常数，由题意得 an3n5.2. 设函数f(x)x21，对任意x，f4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】解析：(解法1)不等式化为f(x1)4f(m)f4m2f(x)0，即(x1)214m2414m2x24m20，整理得x22x30，因为x20，所以14m2，设g(x)，x.于是题目化为14m2g(x)，对任意x恒成立的问题为此需求g(x)，x的最大值设u，则0u.函数g(x)h(u)3u22u在区间上是增函数，因而在u处取得最大值h3，所以14m2g(x)max，整理得12m45m230，即(4m23)(3m21)0，所以4m230，解得m或m，因此实数m的取值范围是m.(解法2)(前面同解法1)原题化为14m2g(x)，对任意x恒成立的问题为此需求g(x)，x的最大值设t2x3，则t6，)g(x)h(t).因为函数t在(3，)上是增函数，所以当t6时，t取得最小值6.从而h(t)有最大值.所以14m2gmax(x)，整理得12m45m230，即(4m23)(3m21)0，所以4m230，解得m或m，因此实数m的取值范围是m.(解法3)不等式化为f(x1)4f(m)f4m2f(x)0，即(x1)214m2414m2x24m20，整理得x22x30，令F(x)x22x3.由于F(0)30，则其判别式0，因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以为使F(x)0对任意x恒成立，必须使F为最小值，即实数m应满足解得m2，因此实数m的取值范围是m.基础训练1. 1解析：a23，a1，a243，不用讨论2. a1或a1解析：f(0)f(2)0，(a1)(a1)0.3. 解析：设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，2r，Vr3.4. 解析：asin2xcosx2，最小值为，最大值为1.例题选讲例1点拨：本题解法很多，关键要学会转化解：(解法1)将abab3看成是含两个未知数的方程，可以用一个字母去表示另一个字母，再代入到ab中，转化为一元函数b，aba2(a1)，由bR得a1， ab2(a1)226，当且仅当a1即a3时取等号，故ab的取值范围是6，)(解法2) 直接利用基本不等式ab2，构造不等式，然后解不等式即可abab32，(ab)24(ab)120，(ab6)(ab2)0.从而得ab6.(当且仅当ab3时取等号)变式训练若a，b为正数，且abab3，求ab的取值范围【答案】ab9.例2点拨：结合二次函数、二次方程间的关系，利用二次方程根的分布、根与系数关系、零点存在性定理解决(1) 证明： f(1)abc， 3a2b2c0. cab. f(x)ax2bxab，判别式b24ab26a24ab(2ab)22a2，又 a0， 0恒成立，故函数f(x)有两个零点(2) 解：若x1，x2是函数f(x)的两个零点，则x1，x2是方程f(x)0的两根， x1x2，x1x2. |x1x2|.|x1x2|的取值范围是，(3) 证明：f(0)c，f(2)4a2bc，由(1)知3a2b2c0， f(2)ac.当c0时，有f(0)0，又 a0， f(1)0， 函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点当c0时，f(2)ac0，f(1)0，f(0)c0， 函数f(x)在区间(1,2)内有一个零点，综合可知函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点变式训练设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150.(1) 若S55，求S6及a1；(2) 求d的取值范围解：(1) 由题意知S63， 解得a17，d3. S63，a17.(2) S5S6150， (5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.故(4a19d)2d28， d280.故d的取值范围为d2或d2.例3解：(1) 由得x24x4b0，(*)因为直线l与抛物线C相切，所以(4)24(4b)0，解得b1.(2) 由(1)可知b1，故方程(*)即为x24x40，解得x2，代入x24y，得y1.故点A(2,1)，因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y1的距离，即r|1(1)|2，所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.例4(1) 证明：当m0，所以f(x)是增函数，(2) 解：令g(x)x|x23|，x0，则g(x)当0x时，g(x)33x2，由g(x)0得x1，所以g(x)在0,1上是增函数，在1，上是减函数当x时，g(x)3x230，所以g(x)在，)上是增函数，所以x0，时，g(x)maxg(1)2，g(x)ming(0)g()0，所以0m时，在x0，时，f(x)0,2，在x，m时，f(x)0，f(m)，这时f(x)的值域是0,2的充要条件是f(m)2，即m33m2，(m2)(m1)20，解得m2.综上，m的取值范围是1,2(3) 由(2)可知，0m2时，函数f(x)的最大值为f(m)m33m，由题意知m33mm2，即m，这是增函数， .综上，当m2时，实数取最小值为.变式训练已知函数g(x)xlnx，设0ab，求证：0g(a)g(b)2g(ba)ln2.点拨：确定变量，构造函数证明不等式证明：g(x)xlnx，g(x)lnx1.构造函数F(x)g(a)g(x)2g，则F(x)g(x)2lnxln.当0xa时，F(x)0，在此F(x)在(0，a)内为减函数；当xa时，F(x)0，因此F(x)在(a，)上为增函数从而，当xa时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)0，ba，所以F(b)0，即0g(a)g(b)2g.再构造函数G(x)F(x)(xa)ln2，则G(x)lnxlnln2lnxln(ax)当x0时，G(x)0.因此G(x)在(0，)上为减函数因为G(a)0，ba，所以G(b)0，即g(a)g(b)2g(ba)ln2.综上得0g(a)g(b)2g(ba)ln2.高考回顾1. (0,1)解析：f(x)(x2)单调递减且值域为(0,1，f(x)(x1)3(x2)单调递增且值域为(，1)，结合函数的图象可得f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(0,1)2. 10解析：S9S4,9a1d4a1d，a11，d；由1(k1)130，得k10.本题也可用数列性质解题，S9S4a70.3. (，0)解析：由题意可知f(x)3ax2，又因为存在垂直于y轴的切线，所以3ax20a(x0)a(，0)4. (，1)解析：因为对任意x1，)，f(mx)mf(x)2mx0恒成立，显然m0.所以当m0时，有2m2x21m20对任意x1，)恒成立，即2m211m20，解得m21，即m1；当m0时，有2m2x21m20对任意x1，)恒成立，m无解，综上所述实数m的取值范围是m1.5. (1) 解：f(x)12ax.由已知条件得即解得a1，b3.(2) 证明：f(x)的定义域为(0，)，由(1)知f(x)xx23lnx.设g(x)f(x)(2x2)2xx23lnx，则g(x)12x.当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0.所以g(x)在(0,1)单调增加，在(1，)单调减少 x1时，g(x)取极大值即为最大值而g(1)0，故当x0时，g(x)0，即f(x)2x2.6. 解：(1) 曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0)故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1.则圆C的半径为3.所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：消去y，得到方程2x2(2a8)xa22a10.由已知可得，判别式5616a4a20.因此，x1,2，从而x1x24a，x1x2，由OAOB，可得x1x2y1y20，又y1x1a，y2x2a，所以2x1x2a(x1x2)a20，由，得a1，满足0，故a1.