N第二章离散时间傅立叶变换(DTFT).ppt

第二章时域离散信号与系统的频域分析 离散时间傅立叶变换的定义DTFT的主要性质周期序列的离散傅立叶变换时域离散信号的FT和模拟信号的FT之间的关系离散系统的频域特性 序列的傅立叶变换及其基本性质的应用离散系统的频域特性 学习内容 学习重点 难点 2 1连续时间信号和系统的频域分析 知识回顾 1 连续时间周期信号 特点 时域连续 频域离散 连续时间周期信号的傅里叶级数对 2 连续时间非周期信号 连续时间非周期信号的傅里叶变换对 特点 时域连续 频域连续 2 2离散时间傅立叶变换的定义及性质 2 2 1离散时间傅立叶变换定义 DTFT 1 正变换 反变换 2 序列傅立叶变换存在的条件 序列绝对可和 一致收敛 FT存在 特殊序列 周期序列 u n 等 引入 冲激函数 FT也存在 频谱用实部和虚部表示 频谱用幅度和相位表示 幅度特性 相位特性 3 序列的幅度谱与相位谱 频谱是 的连续周期函数 周期为2 DTFT频谱特点 时域离散 频域连续 以2 为周期 例2 2 1设x n RN n 求x n 的FT 解 当N 4时 序列x n 及其幅度谱与相位谱如下图示 clc clear y 1111 x 0 n 0 3 w 0 0 01 2 pi subplot 311 stem n y xlabel n ylabel x n forn 0 3x x exp j w n end xx abs x subplot 312 plot w xx xlabel w ylabel 幅度 yy angle x subplot 313 plot w yy xlabel w ylabel 相位 程序清单 例 令因果性指数序列为x n anu n 写出其傅立叶变换 并讨论其收敛性 解 此序列的傅立叶变换为 a 1 a 1时 anu n 的傅立叶变换存在 2 2 2序列傅立叶变换的性质 1 FT的周期性 其中 0 2 4 对应直流分量 3 5 对于信号的最高频分量对信号频谱只需分析 之间或0 2 之间 因此 X ej 以2 为周期 2 线性性质 3 时移与频移性质 时域移位 频域有相移 时域调制频域移位 4 指数加权 线性加权 5 时域卷积定理 设y n x n h n 则Y ej X ej H ej 时域卷积 频域乘法 6 频域卷积定理 设y n x n h n 则 频域卷积 时域乘法 7 帕斯瓦尔定理 Parseval 内容 时域 频域能量守恒 即信号时域的总能量等于频域的总能量 证明 将xe n 用其实部与虚部表示xe n xer n jxei n 将上式两边n用 n代替 并取共轭 得到x e n xer n jxei n 对比上面两公式 左边相等 因此得到xer n xer n xei n xei n 1 共轭对称序列 若满足下式 xe n x e n 则称xe n 为共轭对称序列 概念 共轭对称序列的性质 实部是偶函数 虚部是奇函数 8 DTFT的对称性 2 共轭反对称序列 若满足下式 xO n x O n 则称xO n 为共轭反对称序列 共轭反对称序列的性质 实部是奇函数 虚部是偶函数 例 共轭对称序列5 j4 j04 j5 j共轭反对称序列 5 j 4 j04 j5 j 3 对任意序列x n 任意序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示 x n xe n xo n 由x n xe n xo n 有 任意序列x n X ej Xe ej Xo ej 4 对序列x n 的X ej Xe ej X e e j Xo ej X o e j 对称性 1 若序列x n 分成实部xr n 与虚部xi n x n xr n jxi n 则X ej Xe ej Xo ej 即序列实 虚部分解 频域作共轭对称与反对称的分解 其中 证明略 2 若序列x n 分成共轭对称分量xe n 与共轭反对称分量x0 n 之和x n xe n xo n 则X ej XR ej jXI ej 即序列对称 反对称分解 频域作实部 虚部的分解 其中 有 由 证明 3 实因果序列的对称性 因此实序列的FT的实部是偶函数 虚部是奇函数 用公式表示为 若x n 是实序列 则其FT只有共轭对称部Xe ej 共轭反对称部分为零 X ej Xe ej X e j XR ej XR e j XI ej XI e j X ejw 幅度是w的偶函数arg X ejw 相角是w的奇函数 x n 为实序列 x n xe n xo n 例x n anu n 0 a 1 求其偶函数xe n 和奇函数xo n 2 3周期序列的离散傅立叶级数及傅立叶变换 2 3 1周期序列的离散傅立叶级数 DFS 设是一个周期为N的周期序列 即 r为任意整数 周期序列不绝对可和 因此周期序列的DTFT不存在 与连续信号一样 用傅立叶级数表示 即 DFS 一 的离散傅立叶级数 DFS ak 傅立叶系数 物理意义 将周期序列用周期为N的复指数序列表示 对应于信号的分解 将信号分解为多个信号的求和 二 傅立叶系数ak 将上式两边乘以 并对n在一个周期N中求和 由 0 k N 1 又 所以 ak为周期序列 周期为N 0 k N 1 由 令 则 且 三 离散傅立叶级数变换对 DFS的正变换 DFS的反变换 周期序列DFS特点 时域离散 频域离散均以N为周期 周期延拓实际频率分量只有N项 直流 2 N 2 N 2 2 N k 2 N N 1 四 离散傅氏级数的习惯表示法通常用符号代入 则 正变换 反变换 解 幅度谱见书P42 例2 3 1设x n R4 n 将x n 以N 8为周期 进行周期延拓 得到周期为8的周期序列 求的DFS 周期序列的谱 非周期序列的谱 对周期为N的序列 其DFS 其FT 结论 同一周期序列 其DFS和FT分别取模的形状是一样的 不同的只是FT用单位冲激函数表示 幅度倍乘2 N 2 3 2周期序列的傅立叶变换 例2 3 2设x n R4 n 将x n 以N 8为周期 进行周期延拓 得到周期为8的周期序列 求的FT 周期序列DFS 非周期序列DTFT 周期序列DTFT 是对有限长序列x n 的傅立叶变换的等间隔抽样 抽样间隔为2 N 具有周期性 每个2 周期内抽样N个点 一个结论 小结 有限长序列DTFT 周期序列DFS 周期序列DTFT 几个特殊信号的傅立叶变换 2 余弦序列的FT 1 复指数序列的FT 3 常数序列的FT 1 复指数序列的FT 2 余弦序列的FT 见书P43表 3 常数序列的FT 当 0 0时 2 4离散信号的傅氏变换与模拟信号的傅氏变换的关系 一 几组关系 原连续信号及其频谱 采样信号及其频谱 序列及其频谱 二 离散信号傅氏变换与模拟信号傅氏变换的关系 1 推导 即有 对照 结论 2 采样信号频谱与对应序列频谱的曲线关系 模拟信号谱采样信号谱序列的频谱 3 原模拟信号频谱与对应序列频谱的关系 由 有 见书P45页式2 4 3 三 模拟频率和数字频率之间的定标关系 在一些文献中经常使用归一化频率 f f fs或 s 2 将f f 的定标值对应关系用下图表示 例2 4 1设xa t cos 2 f0t f0 50Hz以采样频率fs 200Hz对xa t 进行采样 得到采样信号和时域离散信号x n 求xa t x n 的傅立叶变换 解 略 2 5离散时间系统的频响特性 离散时间系统的单位冲激响应 h n 离散时间系统的频率响应函数 频率响应函数的物理含义 设系统的输入为则经过系统后的响应为 即 当系统输入为正弦序列 输出为同频率的正弦序列 其幅度受频率响应幅度 H ej 0 加权 而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和 频域 几种特殊系统的系统 全通滤波器 全通滤波器是一种纯相位滤波器 经常用于相位均衡 几种特殊系统的系统 梳状滤波器 消除电网谐波干扰 几种特殊系统的系统 最小相位系统 所有零点都在单位圆内最大相位系统 所有零点都在单位圆外混合系统 单位圆内外都有零点的系统 本章小结 序列的傅立叶正 反变换 DTFT 序列傅立叶变换存在的条件 序列频谱 幅度谱 相位谱 时域离散 频域连续 2 周期 序列傅立叶变换的性质 周期序列的离散傅立叶变换 模拟信号FT与序列FT的关系 离散时间系统的频响特性 本章作业 P71 T1 7 8 T5T12T13T27 T30