Fourie变换的性质.ppt

1 3Fourier变换的性质 1线性性质 2位移性质 3微分性质 4积分性质 5 乘积定理 6 能量积分 这一讲介绍Fourier变换的几个重要性质 为了叙述方便起见 假定在这些性质中 凡是需要求Fourier变换的函数都满足Fourier积分定理中的条件 在证明这些性质时 不再重述这些条件 1 线性性质 F af1 t bf2 t aF1 w bF2 w 1 18 这个性质的作用是很显然的 它表明了函数线性组合 同样 Fourier逆变换亦具有类似的线性性质 即 F 1 aF1 w bF2 w af1 t bf2 t 1 19 的Fourier变换等于各函数Fourier变换的线性组合 设F1 w F f1 t F2 w F f2 t a b是常数 则 2 位移性质 证由Fourier变换的定义 可知 它表明时间函数f t 沿t轴向左或向右位移t0的Fourier变换等于f t 的Fourier变换乘以因子或 同样 Fourier逆变换亦具有类似的位移性质 即 它表明频谱函数F 沿 轴向左或向右位移 0的 Fourier逆变换等于原来的函数f t 乘以因子或 例求函数 解 单个矩形脉冲的频谱函数为 的频谱函数 例1求矩形单脉冲的频谱函数 解根据Fourier变换的定义 有 若根据矩形单脉冲 的频谱函数 利用位移性质 就可以很方便地得到上述 因为可以由在时间轴上向右平移得到 所以 且 两种解法的结果一致 3微分性质 它表明一个函数的导数的Fourier变换等于这个函数的Fourier变换乘以因了jw 如果f t 在 上连续或只有有限个可去间断点 且当 t 时 f t 0 则 证由Fourier变换的定义 并利用分部积分可得 如果f k t 在 上连续或只有有限个可去 同样 还能得到象函数的导数公式 设 则 推论 则有 间断点 且当 一般地 有 在实际中 常常用象函数的导数公式来计算 及 解根据前面例题的结果知 例2已知函数 试求 利用象函数的导数公式 有 解因为 例利用Fourier变换的性质求 的Fourier变换 又因为 按位移性质可知 按象函数的位移性质 可知 解由 例利用Fourier变换的性质求 的Fourier变换 按象函数的微分性质 可知 利用Fourier变换的性质求 解 1 由线性性质及象函数的微分性质有 例若 下列函数g t 的Fourier变换 利用Fourier变换的性质求 解 2 由微分性质有 例若 下列函数g t 的Fourier变换 再由象函数的微分性质 有 4 积分性质 如果当时 则 证 因为 又根据上述微分性质 所以 4 积分性质 如果当时 证 故 则 它表明一个函数积分后的Fourier变换等于这个函数的Fourier变换除以因子jw 运用Fourier变换的线性性质 微分性质以及积分性质 可以把线性常系数微分方程 包括积分方程和微积分方程 转化为代数方程 通过解代数方程与求Fourier逆变换 就可以得到此微分方程的解 另外 Fourier变换还是求解偏微分方程的方法之一 其中计算过程与上述步骤大体相似