2012届高三二轮复习常考专题复习12平面向量.ppt

1 理解平面向量的概念 两个向量相等的含义 向量的几何表示 2 掌握向量的加法 减法的运算 并理解其几何意义 掌握向量数乘的运算及其意义 理解两个向量共线的含义 了解向量的线性运算的性质及其含义 3 了解平面向量的基本定理及其意义 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 会用坐标表示平面向量的加法 减法与数乘的运算 理解由坐标表示的平面向量的共线条件 学案12平面向量 4 理解平面向量数量积的含义 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 掌握向量数量积的坐标表示 会进行平面向量数量积的运算 能用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 5 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 力学问题及其它一些实际问题 1 2009 北京 已知向量a b不共线 c ka b k R d a b 如果c d 那么 A k 1且c与d同向B k 1且c与d反向C k 1且c与d同向D k 1且c与d反向解析 c d c d 即ka b a b 又a b不共线 c d c与d反向 D 2 2009 全国 设a b c是单位向量 且a b 0 则 a c b c 的最小值为 A 2B C 1D 解析 a b 0 且a b c均为单位向量 a b c 1 a c b c a b a b c c2 设a b与c的夹角为则 a c b c 1 a b c 故 a c b c 的最小值为 D 3 2009 重庆 已知 a 1 b 6 a b a 2 则向量a与b的夹角是 A B C D 解析 a b a a b a2 2 a b 2 a2 3 cos a b a与b的夹角为 C 4 2009 浙江 设向量a b满足 a 3 b 4 a b 0 以a b a b的模为边长构成三角形 则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 A 3B 4C 5D 6解析对于半径为1的圆有一个位置正好是三角形的内切圆 此时只有三个交点 对于圆的位置稍一右移或其他的变化 能实现4个交点的情况 但5个及以上的交点不能实现 B 题型一平面向量的基本概念及运算 例1 1 2009 湖南 如图所示 D E F分别是 ABC的边AB BC CA的中点 则 A 0B 0C 0D 0解析 0 0 A 2 2009 福建 设a b c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量 且满足a与b不共线 a c a c 则 b c 的值一定等于 A 以a b为两边的三角形的面积B 以b c为两边的三角形的面积C 以a b为邻边的平行四边形的面积D 以b c为邻边的平行四边形的面积解析若 a c 1 b 2 a b c b 则 b c 2 1 1 而以a b为两边的三角形面积S a b 以b c为两边的三角形面积S b c 以a b为邻边的平行四 边形的面积S a b 1 以b c为邻边的平行四边形的面积S b c 故排除A B D 选C 答案C 探究拓展 对于向量的有关运算 要画出图形并结合图形进行运算 特别要熟练掌握向量运算的三角形法则和平行四边形法则以及向量的基本定理及性质 变式训练1 1 2009 山东 设P是 ABC所在平面内的一点 则 A 0B 0C 0D 0解析因为所以点P为线段AC的中点 2 2009 全国 已知向量a 2 1 a b 10 a b 则 b 等于 A B C 5D 25解析 50 a b 2 a 2 2a b b 2 5 20 b 2 b 5 C C 题型二平面向量与三角函数的问题 例2 2009 湖南 已知向量a b 1 2 1 若a b 求的值 2 若 a b 解 1 因为a b 所以 2 由 a b 知 探究拓展 向量的坐标形式沟通了向量与三角函数 解析几何等的联系 向量的概念及运算是处理这类问题的基础及桥梁 变式训练2 2009 上海 已知 ABC的角A B C所对的边分别是a b c 设向量m a b n sinB sinA p b 2 a 2 1 若m n 求证 ABC为等腰三角形 2 若m p 边长c 2 角C 求 ABC的面积 1 证明 m n asinA bsinB 即其中R是三角形ABC外接圆半径 a b ABC为等腰三角形 2 解由题意可知m p 即a b 2 b a 2 0 a b ab 由余弦定理可知 4 a2 b2 ab a b 2 3ab 即 ab 2 3ab 4 0 ab 4 舍去ab 1 题型三平面向量与解析几何的问题 例3 在直角坐标系xOy中 点P到两点 0 0 的距离之和为4 设点P的轨迹为C 直线y kx 1与C交于A B两点 1 写出C的方程 2 若求k的值 3 若点A在第一象限 证明 当k 0时 恒有 1 解设P x y 由椭圆定义可知 点P的轨迹C是以 0 0 为焦点 长半轴为2的椭圆 它的短半轴 2 解设A x1 y1 B x2 y2 其坐标满足消去y并整理得 k2 4 x2 2kx 3 0 若即x1x2 y1y2 0 而y1y2 k2x1x2 k x1 x2 1 化简得 4k2 1 0 所以 3 证明因为A在第一象限 故x1 0 即在题设条件下 恒有 探究拓展 向量与平面解析几何都具有数与形结合的特征 在它们的知识交汇处命题 正是高考命题的一大亮点 它不仅考查了向量的有关知识 更体现了向量的工具性作用 题中常涉及到夹角 平行 垂直 共线 长度等问题 通常用向量的坐标运算 把几何中的条件转化为坐标 使问题的解决变得直观化 简单化 从而使问题顺利解决 变式训练3如图所示 已知点F 1 0 直线l x 1 P为平面上的动点 过P作直线l的垂线 垂足为点Q 且 1 求动点P的轨迹C的方程 2 过点F的直线交轨迹C于A B两点 交直线l于点M 解 1 设点P x y 则Q 1 y 由得 x 1 0 2 y x 1 y 2 y 化简得C y2 4x 2 设直线AB的方程为 x my 1 m 0 设A x1 y1 B x2 y2 又 题型四平面向量的应用 例4 如图所示 三角形ABC中 已知AB AC 5 BC 6 M是AC边上靠近A点的一个三等分点 试问在线段BM 端点除外 上是否存在点P 使得PC BM 解以点B为原点 BC所在的直线为x轴 建立平面直角坐标系 如图所示 因为AB AC 5 BC 6 所以B 0 0 A 3 4 C 6 0 则 3 4 又M是AC边上靠近A点的一个三等分点 假设在线段BM 端点除外 上存在点P使得PC BM 这与 0 1 矛盾 所以在线段BM 端点除外 上不存在点P使得PC BM 探究拓展 本题是存在性问题 若用一般的平面几何知识去解 将非常繁杂 但利用共线向量 则能巧妙解决此问题 在今后的解题中注意体会及应用 变式训练4 2009 陕西 在 ABC中 M是BC的中点 AM 1 点P在AM上且满足等于 A B C D 解析M是BC的中点 则 A 考题再现 2009 湖北 已知向量a b c 1 0 1 求向量b c的长度的最大值 2 设且a b c 求的值 解题示范 解 1 b c b c 2 2分 1 1 0 b c 2 4 即0 b c 2 4分当 1时 有 b c 2 所以向量b c的长度的最大值为2 6分 2 由已知可得b c a b c 因为a b c a b c 0 1 向量有几何法和坐标法两种表示 它的运算也因这两种不同的表示而有两种方式 因此向量问题的解决可有两个途径 即基于几何表示的几何法和基于坐标运算的代数法 在具体解题时 要善于从不同的角度考虑问题 2 解决向量垂直问题 两个非零向量a b垂直的充要条件为a b 0 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1 x2 y1 y2 0 说明 a b a b 0的适用前提是向量a b均为非零向量 这一条件不可忽视 切记 3 两向量夹角问题 若两个非零向量a b的夹角记为 a b 1 2 若a x1 y1 b x2 y2 则说明 a b 0 a与b的夹角为锐角或零度角 a b 0 a与b的夹角为钝角或平角 a b 0 a与b的夹角为直角 一 选择题1 2009 辽宁 平面向量a与b的夹角为60 a 2 0 b 1 则 a 2b 等于 A B C 4D 12解析由题意可知 a b a b cos60 2 1 1 而 a 2b 2 a 2 4 b 2 4a b 4 4 4 12 所以 a 2b B 2 2009 浙江 已知向量a 1 2 b 2 3 若向量c满足 c a b c a b 则c等于 A B C D 解析不妨设c m n 则a c 1 m 2 n a b 3 1 对于 c a b 则有 3 1 m 2 2 n 又c a b 则有3m n 0 则有 D 3 2009 重庆 设 ABC的三个内角A B C 向量m sinA sinB n cosB cosA 若m n 1 cos A B 则C等于 A B C D 解析由题意可知 m n sinAcosB cosAsinB sin A B 1 cos A B 即sinC cosC 2sin C 1 C 4 2009 海南 已知O N P在 ABC所在平面内 且 0则点O N P依次是 ABC的 A 重心外心垂心B 重心外心内心C 外心重心垂心D 外心重心内心 注 三角形的三条高线交于一点 此点为三角形的垂心 解析由知点O是 ABC的外心 由 0知点N是 ABC的重心 由知点P是 ABC的垂心 C 5 如图所示 O A B是平面上的三点 向量 a b 设P为AB的垂直平分线CP上的任意一点 向量 p 若 a 4 b 2 则p a b 等于 A 6B 5C 3D 1解析 p a b a b p a b a b a b a2 b2 A 6 已知O是 ABC所在平面上的一点 且满足 0 则点O A 在AB边上B 在AC边上C 在BC边上D 在 ABC内部解析由题意可知 0 所以点O在BC上 C 二 填空题7 2009 天津 若等边 ABC的边长为平面内一点M满足 解析建立如图所示的直角坐标系 因为三角形是正三角形 故设C 0 0 A 0 B 3 求得然后求得 2 8 a b的夹角为120 a 1 b 3 则 5a b 解析因为a b 1 3 所以 5a b 2 5a b 2 25a2 b2 10a b 49 因此 5a b 7 9 如图 在 ABC中 BAC 120 AB 2 AC 1 D是边BC上一点 DC 2BD 则 解析由余弦定理得 7 答案 10 设点O在 ABC的内部 且有 0 则 ABC的面积与 AOC的面积的比是 解析如图 取BC与AC的中点M N 连结OM ON 0 0 O M N三点共线 MN是 ABC的中位线 且ON 2OM AB 3ON则 ABC的面积与 AOC的面积的比是3 3 三 解答题11 已知点A B C的坐标分别为A 3 0 B 0 3 解 12 已知正项数列 an 的前n项和为 Sn 且4 an 1 Sn成等比数列 向量a 1 1 b 1 1 点Pn满足 an 1 a b n N O是原点 1 求数列 an 的通项公式 2 试判断点P1 P2 P3 Pn是否共线 并说明理由 解 1 由题意可得 an 1 2 4Sn 且a1 1 an 1 1 2 4Sn 1 n 2 由 整理得 an an 1 2 an an 1 0 由an 0 an an 1 2 n 2 所以数列 an 是以1为首项 2为公差的等差数列 an 2n 1 n N 2 因为 an 1 a b n N O是原点 ak 1 a b a1 1 a b设向量c 3 5 c c 所以 点P1 P2 P3 Pn共线 返回