材料力学B第5章弯曲应力.ppt

第五章 弯曲应力 在纵向对称面内受一对大小相等 方向相反的力偶作用的梁段称为处于纯弯曲状态 可以看出 纯弯曲状态下任意横截面上的内力都等于该力偶 5 1纯弯曲 纯弯曲 只在常值弯矩作用下的梁段 横力弯曲 剪力和弯矩同时存在的梁段 观察变形现象 1 横向线仍保持直线 2 纵向线弯曲为曲线 3 纵向线仍与横向线相正交 4 底部纵线伸长 顶部纵线缩短 5 纵线间距离保持不变 1 平面假设对于纯弯曲 各横截面变形后仍然保持为平面 且仍与梁轴正交 只是横截面间做相对转动 变形假设 2 单向受力假设各纵向线只在其直线方向受力作用 各纵向线之间无挤压或拉伸作用 推论 1 横截面上只存在正应力 纵向线与横向线保持直角 2 正应力分布不是均匀的 纵向线中既有伸长也有缩短的 中性层和中性轴 如图所示 当梁弯曲时 底部各纵向纤维伸长 顶部各纵向纤维缩短 底部拉伸且顶部压缩 梁的底部和顶部之间必有一个平面 其上各纵向纤维长度不变化 该平面被称为梁的中性层 中性层与各横截面的交线成为中性轴 5 2纯弯曲时的正应力 变形后 1变形几何关系 2物理关系 根据单向受力假设 横截面上任意点受单轴向应力作用 根据胡克定律 s y 正应力的分布规律 3静力等效关系 这表明 中性轴必定通过截面形心 则 两个问题 中性层位置 曲率半径r 静力等效关系 横截面上无侧弯矩 由于y轴是对称轴 则必有 静力等效关系 EIz 截面抗弯刚度 截面对Z轴的惯性矩 联立方程 最后可得 称为抗弯截面模量 弯曲正应力的分布 y z b h 抗弯截面模量 纯弯曲 梁的受力段受剪力和弯矩同时作用 弯矩是横截面在梁轴上的位置函数 梁的纯弯曲段只受弯矩的作用 并且各横截面上弯矩相等 横力弯曲 5 3横力弯曲时的正应力 这里 弯矩M是截面位置x的函数 对于足够长的等截面直梁 横力弯曲时横截面上的正应力仍可按纯弯曲的正应力公式计算 梁的弯曲正应力强度条件 解决三类问题 1 校核强度 2 设计截面尺寸 3 计算许用载荷 或 例5 1T形截面梁受力及几何尺寸如图所示 已知截面对中性轴的惯性矩Iz 2610cm4 1 试求梁上的最大拉应力和最大压应力 并指明产生于何处 2 若 s 160MPa 校核此梁的强度 解 1 求支反力 2 画弯矩图 37 5 62 5 50 14 1 25 极值点弯矩 C点 B点 最大弯矩 FQ M kN kN m C B C B C截面 B截面 最大拉应力可能发生在C截面的下边缘或B截面的上边缘 故最大拉应力为 发生在C截面的下边缘 3 求最大应力 C截面 B截面 最大压应力只可能发生在B截面的下边缘 4 强度校核 满足强度要求 两个假设 横截面上各点的切应力方向与剪力平行 即平行于横截面的垂直边 切应力沿截面宽度方向均匀分布 在高度方向上可能有变化 5 4弯曲切应力 矩形截面梁 研究方法 FQ dFQ M M dM FQ dx 自由体平衡 在梁上截取宽度为dx的小段微元 如图所示 在微段上选取一小块 作用在其上的所有应力应平衡 FQ dFQ M M dM FQ dx 因为 FQ dFQ M M dM FQ dx 同理 梁腹板面积 web Flange 同理 需进行弯曲切应力强度条件校核的情况 铆接或焊接的工字梁 腹板较薄而高度较大 腹板与高度的比值小于型钢的相应比值 梁的跨度较短 或在支座附近作用较大载荷 焊接 铆接或胶合而成的梁 焊缝 铆钉或胶合面 弯曲切应力强度条件 例5 2如图所示 木质简支梁受均布载荷作用 横截面为矩形 已知b h 0 12m 0 18m 7MPa 0 9MPa 请计算 max max的比率并校核梁的强度 解 1 画出内力图 确定可能的危险截面 q 3 6kN m A L 3m B q 3 6kN m A L 3m B 2 计算最大应力并校核强度 梁是安全的 q 3 6kN m A L 3m B 3 计算 max max的比率 对弯曲梁的强度起主要影响的是正应力 梁的弯曲正应力强度条件 因此提高弯曲梁强度的措施应是减小弯矩M和提高抗弯截面模量Wz 显然 5 6提高弯曲强度的措施 1 载荷及支座的合理配置 本例中a和Mmax的最合理的值是多少 1 载荷及支座的合理配置 例5 3两端外伸梁如图所示 若已知钢材许用应力 s 160MPa 试分别设计以下几种形状的截面尺寸和型号 1 矩形 h b 2 2 圆形 3 工字钢 4 管形 D d 2 5 薄壁管 D d 1 1 并比较其经济性 2 梁的合理截面设计 5kN m 15kN 10kN m 0 5m 0 5m 0 5m 0 5m 例5 3 s 160MPa 设计截面尺寸和型号 1 矩形 h b 2 2 圆形 3 工字钢 4 管形 D d 2 5 薄壁管 D d 1 1 解 1求支反力 A B 2 5kN 12 5kN 17 5kN 5kN 5kN m 6 25kN m 1 25kN m FQ M 2作剪力图和弯矩图 3根据强度条件进行截面设计 1 矩形 h b 2 解得 2 圆形 3 工字钢 查型钢表 选择No10号工字钢 4 管形 D d 2 5 薄壁管 D d 1 1 2 梁的合理截面设计 提高WZ 尽可能使截面的面积分布得远离中性层 对于矩形截面 增加高度减小宽度来提高WZ 北宋李诫于1100年著 营造法式 一书中指出 矩形木梁的合理高宽比 h b 1 5 T Young 英 于1807年著 自然哲学与机械技术讲义 一书中指出 矩形木梁的合理高宽比为 如果抗拉和抗压能力不同 如脆性材料 则应采用上下非对称截面 3 合理设计梁的外形 变截面等强度设计 本章完 2惯性矩的计算 量纲 L4 单位 m4或mm4 惯性矩的值恒为正 平面图形关于z轴和y轴的惯性矩定义 关于z轴的惯性矩 关于y轴的惯性矩 极惯性矩 矩形关于形心轴zc和yc的惯性矩 h zc yc C h 2 圆形关于形心轴zc轴和yc轴的惯性矩 D zc yc C 由图形的对称性计算 同理 空心圆截面的惯性矩为 组合图形的惯性矩 例如空箱体截面关于形心轴zc yc的惯性矩 平行移轴公式