高中数学开放题赏析.doc

高中数学开放题赏析数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.题目1：如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：直角三角形；锐角三角形；钝角三角形；等腰三角形；等腰直角三角形；等边三角形。请说出你认为正确的那些序号。解分三种情形第一种情形从同一顶点出发的三个面都是直角三角形，且都以该顶点为直角顶点，如图1。设AD、BD、CD的长分别是a、b、c， ADB=ADC=BDC=900， AB，BC，AC的长分别为 在ABC中，由余弦定理cosBAC=0 BAC是锐角，同理ABC、ACB也是锐角 ABC是锐角三形。正确。当a=b=c时ABC是等边三角形，正确。第二种情形 如图2，ADB=ADC=DBC=900 ADBD，ADDC ， AD面DBC BD是AB在平面DBC上的射影。由三垂线定理知，BCAB 第四个面ABC是直角三角形。正确。第三种情形 如图3，ADC=BDC=ACB=900设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，则AC2=a2+c2，BC2=b2+c2， AB2=AC2+BC2=a2+b2+2c2在ABD中，由余弦定理得cosADB=0 ADB900，ABD是钝角三角形，正确。显然在第二种情形下，AB和BC可以相等，所以三角形ABC可以是等腰直角三角形，正确，从而也正确。故答案是。注此题是一道高考模拟试题，是一道考查学生空间想象能力、探索能力的好试题。其中第三种情形容易被忽视，标准答案中也没有“钝角三角形”。（注 第三种情形的存在性可以这样来验证：先作三角形ABD，使ADB是钝角，然后过D作直线DC垂直于面ABD。以AB为直径作一球，则D必在球的内部，设C是直线DC与球面的一个交点，则ACB是直角，图3的四面体存在）。题目2：设an是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和。（I）证明：lgSn+1 ；（II）假设存在常数C0，使得成立？并证明你的结论。（1995年全国高考题）解：（I）证明略得出SnSn+2Sn+12 。（II）假设存在常数c0，使得则有Snc0Sn+1c0Sn+2c0(Snc)(Sn+2c)=(Sn+1c)2由得(SnSn+2Sn+12= c (Sn+Sn+22Sn+1) 由重要不等式及知Sn+Sn+22Sn+1=（Snc）+（Sn+2c）2（Sn+1c）2因为c0，故式右端非负，即SnSn+2Sn+120。而由（I）的证明可知SnSn+2Sn+120，产生了矛盾。故不存在常数，c0，使评析 这是一个台阶试题，在求解第（II）小题时，必然要用到第（I）题结论，也就是说第（I）题经过证明之后的结论将在解答第（II）小题时作为条件使用，而第（II）小题中究竟中是否存在常数c0？最终要看假设存在之后，是否与第（I）小题矛盾。题目3。 设等比数列的公比为 ，前 项和为 ，是否存在常数 ，使数列 也成等比数列？若存在，求出常数；若不存在，请 说 明 理 由. 讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的. 设存在常数， 使数列 成等比数列. (i) 当 时， 代入上式得 即=0但, 于是不存在常数 ，使成等比数列. (ii) 当 时， 代 入 上 式 得 . 综 上 可 知 , 存 在 常 数 ，使成等比数列.等比数列n项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !条件探索性开放型问题是指命题中结论明确而需要完备使结论成立的充分条件的题目。这类问题大致可分为：其一是条件未知，需要探注；其二是条件不足，要求寻求充分条件。解答这类问题，一般从结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，逐一推导，从中找出满足结论的条件。题目4：某选择题已知条件缺漏，原题为：已知、均为锐角，且sinsin=，_，则tg（）的值为 （ ） A、B、C、 D、其中 为缺少部分，试根据所附答案为（C），推断并补足所缺的条件。分析：根据所附答案知tg（）=，解得tg，或tg，由已知sinsin即，若，则得，即cos+cos=，此与、均为锐角矛盾。若，则得即cos+cos=，这一结果与另一已知条件sinsin=在形式上了比较接近。故所缺失的条件可能为cos+cos=。评析 此类题可模仿分析法的解题方法，将结果加入条件，逆推导出需要寻求的条件，但一般情况下答案不惟一。方法探索性开放型问题这是一类条件、结论都不明确的问题，使得解题方法是开放的，需要探索出合适的解题方法，又需要进行严格的推理论证。题目5：已知f（）=sin2+sin2（+）+sin2（+），其中、适合0的常数，试问、取何值时，f（）的值恒为定值。（日本御茶水女子大学入学试题）分析一：要使f（）的值不随的变化而变化，即函数f（）为常值函数，则可赋予特殊的自变量值探求。解一：令=0，得 f（0）=sin2+sin2 依题意可设f（0）=m，（m为常数），则由f（0）+=2m，解得m=。再代入f（0）=解得。分析二 要使f（）的值不随变化而变化，可以通过分离主变量的方法，视主变量的系数为零，这样就可以把问题转化。解二： = f（）恒为定值，即f（）的值与无关。 1+2cos（+）cos（）=0 sin（+）cos（）=0 sin（+）=0考虑到0，有0+2， += cos（）= 0， = 、联立可得：。题目6 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种： (i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床； (ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题. （1） =. （2）解不等式 0,得 x.xN， 3 x 17.故从第3年工厂开始盈利.（3）(i) 40当且仅当时，即x=7时，等号成立.到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利127+30=114万元.(ii)y=-2x2+40x-98= -2（x-10）2 +102，当x=10时，ymax=102.故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.题目7 已知函数f(x)= (x-2)(1)求f(x)的反函数f-1(x); (2)设a1=1,=-f-1(an)(nN),求an; (3)设Sn=a12+a22+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意nN,有bn成立？若存在，求出m的值；若不存在说明理由. 讲解 本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有一定的典型性和探索性.(1) y=,x0).(2) , =4.是公差为4的等差数列.a1=1, =+4(n-1)=4n-3.an0 , an=.(3) bn=Sn+1-Sn=an+12=, 由bn对于nN成立.5 ,m5,存在最小正数m=6,使得对任意nN有bn成立.为了求an ,我们先求,这是因为是等差数列, 试问: 你能够想到吗? 该题是构造等差数列的一个典范.题目8已知数列在直线x-y+1=0上.（1） 求数列an的通项公式；（2）若函数求函数f(n)的最小值；(3)设表示数列bn的前n项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由. 讲解 从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索. （1） （2） ,.（3）, . 故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立.事实上, 数列an是等差数列, 你知道吗？ 题目9 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑. 请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.讲解 设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：证人所说的颜色（正确率80%）真实颜色蓝色红色合计蓝色（85%）680170850红色（15%）30120150合计7102901000从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为，而它是蓝色的概率为. 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.本题的情景清新, 涉及到新教材中概率的知识, 上述解法中的列表技术显示了一定的独特性, 在数学的应试复课中似乎是很少见的. 题目10 向明中学的甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践，对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图： （A）图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡; （B）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.请你根据提供的信息解答下列问题： （1）第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？ （2）哪一年的规模最大？为什么？讲解 （1）设第n年的养鸡场的个数为，平均每个养鸡场出产鸡万只，由图（B）可知, =30，且点在一直线上，从而 由图（A）可知, 且点在一直线上，于是 =（万只），（万只）第二年的养鸡场的个数是26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；（2）由（万只），第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只.有时候我们需要画出图形, 有时候我们却需要从图形中采集必要的信息, 这正反映了一个事物的两个方面. 看来, 读图与识图的能力是需要不断提升的.题目11 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上. （1）求动圆圆心的轨迹M的方程； （2）设过点P，且斜率为的直线与曲线M相交于A，B两点. （i）问：ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由； （ii）当ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.讲解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题.（1）由曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，知曲线M的方程为.（2）（i）由题意得，直线AB的方程为 消y得于是, A点和B点的坐标分别为A，B（3，），(3，)假设存在点C（1，y），使ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即有 由得因为不符合，所以由，组成的方程组无解.故知直线l上不存在点C，使得ABC是正三角形.（ii）设C（1，y）使ABC成钝角三角形，由即当点C的坐标是（1，）时，三点A，B，C共线，故. ， ， . (i) 当，即， 即为钝角. (ii) 当，即， 即为钝角.(iii)当，即， 即. 该不等式无解，所以ACB不可能为钝角.故当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.需要提及的是, 当ABC为钝角三角形时, 钝角的位置可能有三个,需要我们进行一一探讨.题目12已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，bR都满足关系式 . （1）求f（0），f（1）的值； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论； （3）若，求数列un的前n项的和Sn.讲解 本题主要考查函数和数列的基本知识，考查从一般到特殊的取特值求解技巧. （1）在中,令得 . 在中,令得 ，有 . （2）是奇函数,这需要我们进一步探索. 事实上 故为奇函数.（2） 从规律中进行探究,进而提出猜想. 由 , 猜测 . 于是我们很易想到用数学归纳法证明. 1 当n=1时，公式成立； 2假设当n=k时，成立，那么当n=k+1时，公式仍然成立. 综上可知，对任意成立. 从而 . ，. 故 题目13 若、，(1)求证：； (2)令，写出、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式； (3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.讲解 (1)采用反证法. 若，即, 解得 从而与题设,相矛盾， 故成立. (2) 、, .（3）因为 又,所以,因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、.我们证明相等的问题太多了,似乎很少见到证明不相等的问题,是这样吗?题目14如图，已知圆A、圆B的方程分别是动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方程为：（1）求圆P的轨迹方程，并证明：当时，点P到点B的距离与到定直线l距离的比为定值；（2） 延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，求的最小值； （3）如果存在某一位置，使得PQ的中点R在l上的射影C，满足求a的取值范围讲解（1）设动圆P的半径为r，则PA，PB| = r + ， |PA| PB| = 2 点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支，其方程为 （x 1）若 , 则l的方程为双曲线的右准线, 点P到点B的距离与到l的距离之比为双曲线的离心率e = 2.(2)若直线PQ的斜率存在，设斜率为k，则直线PQ的方程为y = k ( x2 )代入双曲线方程, 得由 ，解得 PQ当直线的斜率存在时，得，PQ|PQ|的最小值为（3）当PQQC时，P、C、Q构成Rt. R到直线l的距离RC| 又 点P、Q都在双曲线上，即将代入得，PQa6故有“如果存在”并不意味着一定存在, 如何修改本题使其成为不存在的范例呢? 问题的提出既能延伸我们的思绪, 更能完善我们的知识技能, 无形中使解题能力得到逐渐的提升.