控制系统的状态空间描述.ppt

第二章控制系统的状态空间描述 2 1引言2 2状态空间模型2 3状态空间表达式的建立2 4系统状态方程的线性变换2 5由状态空间表达式求传递函数阵2 6离散时间系统的状态空间表达式2 7利用MATLAB进行系统数学模型的转换小结 2 1引言 20世纪60年代 人们将状态空间的概念引入控制理论 产生了以状态空间描述为基础 最优控制为核心的现代控制理论 系统动态特性的状态空间描述由两个数学方程组成 一个是反映系统内部状态变量和输入变量间因果关系的状态方程 另一个是表征系统内部状态变量及输入变量与输出变量转换关系的输出方程 状态空间法具备如下优点 1 在数字计算机上求解一阶微分方程组或者差分方程组 比求解与它相当的高阶微分方程或差分方程要容易 2 状态空间法引入了向量矩阵 大大简化了一阶微分方程组的数学表示法 3 在控制系统的分析中 系统的初始条件对经典法感到困难的问题 采用状态空间法就迎刃而解了 4 状态空间法能同时给出系统的全部独立变量的响应 不但反映了系统的输入输出外部特性 而且揭示了系统内部的结构特性 既适用单输入单输出系统又适用多输入多输出系统 5 状态空间法可利用计算机进行分析设计以及实时控制 所以可应用求解大量的非线性系统 时变系统 随机过程和采样系统 6 利用现代空间法进行系统综合时 是非常有利的 建立动态系统的状态空间模型是状态空间分析和综合的基本问题和前提 本章2 3节在介绍状态空间分析法基本概念的基础上 讨论动态系统状态空间表达式建立问题 2 4节介绍动态系统数学模型的等效变换 包括状态向量的线性变换与状态空间表达式标准型 系统的高阶微分方程描述化为状态空间描述 系统的传递函数描述化为状态空间描述 由系统状态空间表达式求传递函数阵 2 2 2 5节以连续系统为研究对象 2 6节讨论离散系统的状态空间模型 2 7节介绍应用MATLAB进行系统模型变换 1 系统的基本概念2 动态系统的两类数学描述3 状态的基本概念 2 2状态空间模型 2 2 1状态空间的基本概念 1 系统的基本概念 系统 是由相互制约的各个部分有机结合 且具有一定功能的整体 静态系统 对于任意时刻t 系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入 这类系统称为静态系统 静态系统亦称为无记忆系统 静态系统的输入 输出关系为代数方程 动态系统 对任意时刻 系统的输出不仅与t时刻的输入有关 而且与t时刻以前的累积有关 这种累积在t0 t0 t 时刻以初值体现出来 这类系统称为动态系统 由于t0时刻的初值含有过去运动的累积 故动态系统亦称为有记忆系统 动态系统的输入 输出关系为微分方程 2 动态系统的两类数学描述 1 外部描述外部描述通常称为输入 输出描述 这种描述把系统的输出取为系统外部输入的直接响应 显然这种描述回避了表征系统内部的动态过程即把系统当成一个 黑匣 认为系统的内部结构和内部信息全然不知 系统描述直接反映了输出变量与输入变量间的动态因果关系 考察图2 1所示的n级RC网络 图中虚线框内为具有放大器隔离的n级RC电路 设放大器的输入阻抗为无穷大 输出阻抗为零 放大倍数为1 图2 1n级RC网络 2 1 系统以输入u 输出y作为变量的外部描述为式 2 1 所示的高阶线性常系数微分方程 即 2 内部描述 状态空间描述是内部描述的基本形式 这种描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型 其由两个数学方程组成 一个是反映系统内部状态变量x1 x2 xn和输入变量u1 u2 ur间因果关系的数学表达式 称为状态方程 其数学表达式的形式对于连续时间系统为一阶微分方程组 对于离散时间系统为一阶差分方程组 另一个是表征系统内部状态变量x1 x2 xn及输入变量u1 u2 ur与输出变量y1 y2 ym转换关系的数学表达式 称为输出方程 其数学表达式的形式为代数方程 重新考察图2 1的电网络 利用电路知识容易得到如下一阶微分方程组 2 2 及 2 3 在已知输入u的情况下 解方程式 2 2 式 2 3 不仅可求出输出响应y 而且能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程信息 因此 式 2 2 式 2 3 是图2 1所示电网络系统的一种完全描述 3 状态的基本概念 1 状态状态是完全地描述动态系统运动状况的信息 系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征 定义系统运动信息的集合为状态 2 状态变量定义完全表征动态系统时间域运动行为的信息组中的元素为状态变量 状态变量组常用符号x1 t x2 t xn t 表示 且它们相互独立 即变量的数目最小 例2 确定图2 2所示电路的状态变量 图2 2RLC电路要惟一地确定t时刻电路的运动行为 除了要知道输入电压u t 外 还必须给出流过电感上的初始电流i t0 和电容上的初始电压uC t0 或者说uC t 和i t 这两个变量可用来完全地描述该电路的运动行为 且它们之间是独立的 故uC t 和i t 是该电路的状态变量 3 状态向量设x1 t x2 t xn t 是系统的一组状态变量 把这些状态变量看做向量x t 的分量 则x t 就称为状态向量 记为 4 状态空间以x1 t x2 t xn t 为坐标轴构成的一个n维欧氏空间 称为状态空间 5 状态轨迹状态向量的端点在状态空间中的位置代表了某一特定时刻系统的状态 系统的状态是时间t的函数 在不同时刻 系统状态不同 则随着t的变化 状态向量的端点不断移动 其移动的路径就称为系统的状态轨迹 6 状态方程描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量间关系的一个一阶微分方程组 连续系统 或一阶差分方程组 离散系统 称为状态方程 例3 建立图2 2所示RLC电路的状态方程 取电容上的电压uC t 和电感中的电流i t 作为状态变量 根据电路原理有 将上式中状态变量的一阶导数放在方程左边 其余项移至方程右边 整理得一阶微分方程组为 上式即为图1所示电路的状态方程 并将其写成向量 矩阵形式 即 2 4 式 2 4 可简写为 令 记 2 5 式中 7 状态空间表达式 状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述 称为动态系统的状态空间表达式 图2 1所示电路 若uC t 为输出 取x1 uC t x2 i t 作为状态变量 则其状态空间表达式为 2 6 2 2 2系统的状态空间表达式的一般形式 状态空间表达式 描述系统u t X t Y t 之间关系的状态方程和输出方程总合 构成了对系统动态行为的完整描述 1 非线性系统 用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性 其状态方程是一组一阶非线性微分方程 输出方程是一组非线性代数方程 即 2 7 2 线性系统的状态空间描述 若向量方程中和的所有组成元都是变量和的线性函数 则称相应的系统为线性系统 而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式 2 8 式中 各个系数矩阵分别为 2 9 3 线性时变系统的状态空间描述 2 10 一个动态系统的状态向量 输入向量和输出向量自然是时间的函数 而矩阵 和的各个元素如果与时间有关 则称这种系统是线性时变系统 4 线性定常系统的状态空间描述 当系统的输出与输入无直接关系 即 时 称为惯性系统 相反 系统的输出与输入有直接关系 即 时 称为非惯性系统 大多数控制系统为惯性系统 所以 它们的动态方程为 2 11 5 离散系统的状态空间描述 当系统的各个变量只在离散的时刻取值时 这种系统称为离散时间系统简称离散系统 其状态空间描述只反映离散时刻的变量组之间的因果关系和转换关系 是用来表示离散的时刻 那么离散系统状态空间描述的最一般形式为 2 12 对于线性离散时间系统 则上述状态空间描述还可进一步化为如下形式 2 13 6 单输入单输出线性定常连续系统 设单输入单输出线性定常n阶连续系统 n个状态变量为x1 t x2 t xn t 其状态方程的一般形式为 输出方程的一般形式为 则其向量 矩阵方程形式的状态空间表达式为 上式简记为 式中 为n维状态向量 称为系统矩阵或状态矩阵 称为输入矩阵或控制矩阵 称为输出矩阵或观测矩阵 D是标量 反映输出与输入的直接关联 7 多输入多输出系统 系统状态空间表达式 系数矩阵中当r l m 1时 系统为多输人多输出系统 multi inputandmultioutput MIMO 这种系统也称为多变量系统 它有r个输入变量和m个输出变量 输入变量u和输出变量y都是向量 为n维状态向量 所以各个矩阵相应的维数为是n n方阵 是n r矩阵 是m n矩阵 而是一个m r矩阵 例 考察图2 10电路 取电压源e为输入变量 R1上的电压为输出变量 建立该电网络的状态空间表达式 电压和电流为关联参考方向 图2 10 四 系统的状态空间描述列写举例 网络中只含有电容C 电感L两个独立储能元件 选电容端电压uC 流经电感的电流iL作为状态变量 解 1 选取状态变量 2 利用电路基本定理列原始方程 回路 2 14 回路 2 15 代入式 2 14 得 将 2 16 3 导出状态变量的一阶微分方程组 2 17 4 导出状态方程和输出方程 将状态变量的一阶导数看成待定量 用解代数方程方法求解式 2 17 即可求出状态方程 将式 2 17 写成向量 矩阵形式的方程 即 2 18 解之 得向量 矩阵形式的状态方程 2 19 输出方程为 2 20 5 列写状态空间表达式 将式 2 19 和式 2 20 合起来即为状态空间表达式 若令 则可得状态空间表达式的一般式 即 2 21 例2 2系统如图 取状态变量 得 系统输出方程为 写成矩阵形式的状态空间表达式为 五 状态变量的选取 1 状态变量的选取具有非惟一性 2 动态方程或状态空间描述具有非惟一性 3 完全描述一个动态系统所需状态变量的个数由系统的阶次决定 状态变量必须是相互独立的 4 一般来说 状态变量不一定是有实际物理意义或可以测量的量 但是从工程实际的角度出发 总是选择物理上有意义或可测量的量作为状态变量 如电感中的电流 电容上的电压 电机的转速等 列写状态空间表达式的一般步骤 1 确定系统的状态变量 输入变量 输出变量 2 根据变量应遵循的物理 化学定理 列出描述系统动态特性或运动规律的微分方程 3 消去中间变量 得出状态变量的导数与各状态变量 输入变量的关系及输出变量与各状态变量 输入变量的关系 4 将方程整理成状态方程 输出方程的表准形式 二说明 系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法 特别适合于用计算机来计算 确定最小的状态变量组以及与之对应的状态空间描述的形式 特点 它们之间的联系与转换等问题 需要进一步分析解决 一步骤 状态变量的选择不是唯一的 2 2 3状态空间模型的图示 一 结构图线性系统状态空间表达式可用结构图来表示 不仅适用于多输入多输出系统 当然也适用于单输入单输出系统 这种表示法的实质是把系统分成两部分 如图2 2所示 与古典控制理论类似 状态空间表达式也可用图2 4所示的方框结构图来表示 值得注意的是 图中的信号传输线一般是表示列向量 方框中的字母代表矩阵 每一方框的输入输出关系规定为 输出向量 方块所示矩阵 输入向量 二 状态变量图 在状态空间分析中 常以状态变量图来表示系统各变量之间的关系 其来源出自模拟计算机的模拟结构图 这种图为系统提供了一种物理图像 有助于加深对状态空间概念的理解 所谓状态变量图是由积分器 加法器和放大器构成的图形 绘制步骤 1 绘制积分器 2 画出加法器和放大器 3 用线连接各元件 并用箭头示出信号传递的方向 例设一阶系统状态方程为 则其状态图为 例设三阶系统状态空间表达式为 则其状态图为 2 3状态空间表达式的建立 2 3 1 由物理机理直接建立状态空间表达式 例系统如图所示 选择状态变量 整理得 状态方程为 输出方程为 写成矩阵形式 例系统如图 取状态变量 得 系统输出方程为 写成矩阵形式的状态空间表达式为 2 3 2由系统微分方程建立状态空间表达式 的情形 化为能控标准型 取状态变量 则有 即 写成矩阵形式 其中 称为友矩阵 能控标准型 取状态变量 化为能观测标准型 整理得 则得能观标准型状态空间表达式 的情形 计算 定义状态变量 写成矩阵形式的状态空间表达式 2 3 3 由传递函数建立状态空间表达式 1 直接分解法 单输入单输出线性定常系统传递函数 输出为 令 则有 则状态空间表达式为 选择状态变量 2 并联分解法 极点两两相异时 其中 令 则有 则有 系统的矩阵式表达 二 传递函数含重实极点时 设n阶严格有理真分式传递函数为 当传递函数含重实极点时 不失一般性 假设 其中 q重极点所对应的部分分式系数按式计算 对于单极点 对应的部分分式的系数则按下式计算 选择系统状态变量的拉氏变换为 2 22 整理得 整理得 2 23 取拉氏反变换 得输出方程为 式 2 23 取拉氏反变换 得状态方程为 系统的向量 矩阵形式的状态空间表达式为 系统状态变量图 2 4系统状态方程的线性变换 2 4 1系统状态的线性变换 考虑系统 取线性非奇异变换 矩阵P非奇异 整理得 其中 例考虑系统 取变换 状态空间表达式变为 2 4 2对角标准型 充要条件 n阶系统矩阵A有n个线性无关的 特征向量 化对角标准型的步骤 令 解 1 求系统特征根 例将下系统化为对角标准型 2 求特征向量 3 新的状态方程为 构成状态转移矩阵 2 4 3约当标准型 变换化为约当标准型 可通过 线性 求约当标准型的步骤 求解 令 2 4 4线性变换的基本性质 一 系统特征方程和特征值的不变性 系统的状态空问表达式为 系统的特征方程为 上式的根就是系统的特征值 而同一系统经线性非奇异变换之后为 它的特征方程为 二 传递函数矩阵的不变性 传递函数矩阵是系统的输入输出描述 系统状态空间的坐标变换 即内部描述的改变显然不会影响传递函数矩阵 2 5由状态空间表达式求传递函数阵 2 5 1SISO系统 取L氏变换得 A的特征值即为系统的极点 结论 1 系统矩阵A的特征多项式等同于传递函数的分母多项式 2 传递函数的极点就是系统矩阵A的特征值 3 多项式与之和即为传递函数的分子多项式 4 由于状态变量选择的不同 同一系统的状态空间描述不是惟一的 但从表征系统状态空间描述的不同的A B C和D变换到表征系统输入输出描述的传均函数G s 是惟一的 选择不同的状态变量可得至两个不同的动态方程式 所求得的传递函数却是相同的 这称为传递函数的不变性 2 5 2MIMO系统 其中 2 5 2组合系统的传递函数阵 一 并联 系统如图 二子系统并联连接 特点 二 反馈 系统如图 二子系统并联连接 特点 1 动态反馈 传递矩阵 2 静态反馈 闭环系统状态空间描述为 闭环系统传递矩阵为 2 6离散时间系统状态空间表达式 离散时间系统差分方程表示 其对应脉冲传函为 定义 取 对其进行Z反变换得 写成矩阵形式 得状态空间表达式为 解 取Z变换得 2 7MATLAB在线性系统动态分析中的应用 2 7 1应用MATLAB计算线性定常系统的矩阵指数 状态转移矩阵 2 7 2应用MATLAB求定常系统时间响应2 7 3应用MATLAB变连续状态空间模型为离散状态空间模型 2 7 1应用MATLAB计算矩阵指数1 应用MATLAB符号数学工具箱求矩阵指数闭合解析式 基于2 3节矩阵指数的拉普拉斯变换求解法 可调用MATLAB符号数学工具箱 SymbolicMathToolbox 中的符号运算函数先算出 预解矩阵 再对 预解矩阵 进行拉普拉斯反变换即求得 另外 MATLAB符号数学工具箱中有专用于计算矩阵指数的指令expm 可调用 例 已知 应用MATLAB求 MATLABProgram2 1a symsst 定义基本符号变量s和t A 4 0 0 0 3 1 0 1 3 FS inv s eye 3 A 求预解矩阵 eAt ilaplace FS s t 求 eAt simplify eAt 化简的表达式 解MATLABProgram2 1a给出了基于拉普拉斯变换求的MATLAB程序 2 应用数值矩阵的指数运算函数expm 求对应于 为某一常数 的值 MATLABProgram2 2给出了调用expm 求例中矩阵A的矩阵指数对应于的值的MATLAB程序 MATLABProgram2 2 A 4 0 0 0 3 1 0 1 3 T 0 1 eAT expm A T 3 应用MATLAB符号数学工具箱求离散系统状态转移矩阵解析式 例2 14 已知离散系统状态方程为 应用MATLAB求其状态转移矩阵的解析式 解例2 10中已采用四种方法求出了系统的 MATLABProgram2 3给出了基于Z变换求的MATLAB程序 MATLABProgram2 3 symszk 定义基本符号变量z和k G 0 1 0 2 0 9 Fz inv z eye 2 G z 求 Fk iztrans Fz z k 调用Z反变换指令求 Fk simple Fk 将符号运算结果表达式转换为最简形式 与例2 10求解结果一致 MATLABProgram2 3程序运行结果如下 Fk 5 2 5 k 4 1 2 k 10 2 5 k 10 1 2 k 2 2 5 k 2 1 2 k 4 2 5 k 5 1 2 k 2 7 2应用MATLAB求定常系统时间响应 1 状态方程的数值解 常微分方程数值解一般使用逐步积分的方法实现 Runge Kutta法是应用最多的一种微分方程数值解法 MATLAB提供的ode23 ode45 是分别采用2 3阶 4 5阶Runge Kutta法的常微分方程数值求解的函数 一般ode45 较ode23 运算速度快 两者调用格式相同 即 其中 xfun为由m函数定义的一阶微分方程组的m函数名 该m函数必须以状态向量x的一阶导数为输出 若原方程为高阶微分方程 应通过第1章的 实现 方法将其转换为一阶微分方程组 即状态空间表达式 t0和tf分别为积分的起始和终止时间 单位为秒 x0为状态向量的初始值 t和x均为返回值 其中t为离散时间列向量 x为解向量构成的矩阵 其第j列为第j个状态变量与t相对应的解向量 j 1 2 n 例已知系统状态空间表达式为 设x 0 0 试求u t 1 t 为单位阶跃函数时系统时间响应的数值解 解MATLABProgram2 4a建立了描述系统状态方程的m函数ode example m MATLABProgram2 4a ode example m functionsx ode example t x sx为状态列向量x的导数 sx 1 1 10 x 1 35 x 2 50 x 3 24 x 4 1 sx应按状态方程编写 sx 2 1 x 1 sx是与x同维的列向量 sx 3 1 x 2 sx 4 1 x 3 将MATLABProgram2 4a保存为名为ode example m的m文件 且将保存ode example m的路径设置成当前路径 MATLABProgram2 4b为调用求解函数求状态方程和输出响应数值解的程序 图2 4所示为状态方程和输出响应数值解曲线 MATLABProgram2 4b x0 0 0 0 0 设置初值条件t0 0 tf 6 tspan t0 tf 设置积分起始和终止时间 t x ode45 ode example tspan x0 调用求解函数求状态方程数值解y 24 x 4 据输出方程求输出响应的数值解subplot 1 2 1 plot t x 1 k t x 2 r t x 3 b t x 4 k 绘状态方程数值解曲线gtext x1 gtext x2 gtext x3 gtext x4 subplot 1 2 2 plot t y k 绘输出响应数值解曲线gtext y 图2 4状态方程和输出响应数值解曲线 2 状态方程的解析解 MATLABSymbolicMathToolbox提供的dsolve 为求常微分方程解析解的指令 其调用格式为 S dsolve eqn1 eqn2 其中 eqn1 eqn2 为输入参数 其为描述常微分方程 初始条件及独立变量的字符表达式 微分方程是必不可少的输入参数 多个方程或初始条件可在一个输入参数内联立输入 且以逗号分隔 若独立变量默认 则小写字母t为独立变量 若要定义其它独立变量 则由全部输入参数 eqn1 eqn2 中的最后一个参数定义 在输入参数中 描述常微分方程规定用字符D代表对独立变量的导数 因此 用户所定义的字符变量不应含有字符D 例如若t为独立变量 y为t的函数 则Dy代表dy dt D2y代表 D3y代表 初始条件可采用形如 y a b 或 Dy a b 的字符 串 表达式给出 S为返回的存放符号微分方程解的构架数组 3 基于状态空间模型的时域响应分析 MATLABControlSystemToolbox提供了连续系统单位阶跃响应计算函数step 单位脉冲响应计算函数impulse 零输入响应计算函数initial 任意输入 包括系统初始状态 响应计算函数lsim 与此对应 dstep dimpulse dinitial dlsim 分别为计算离散系统单位阶跃响应 单位脉冲响应 零输入响应 任意输入 包括系统初始状态 响应的函数 例如 若给定线性定常连续系统 离散系统分别如式 2 83 式 2 84 所示 则 执行step A B C D 指令 可得一组单位阶跃响应曲线 每条曲线对应于式 2 83 所示连续系统的输入 输出组合即在某一输入端单独施加单位阶跃信号作用下的某一输出响应 时间向量t的范围自动设定 执行step A B C D t 指令与执行step A B C D 指令一样 可得一组单位阶跃响应曲线 但时间向量t是由用户设定的 执行step A B C D iu 指令 可得式 2 83 所示连续系统从第iu个输入到所有输出的单位阶跃响应曲线 执行 y x t step A B C D iu 指令 可得式 2 83 所示连续系统从第iu个输入到所有输出y及状态x的单位阶跃响应数据 且返回函数自动设定的时间向量t 但不绘制响应曲线 执行dinitial G H C D x0 指令可得式 2 84 所示离散系统每一个输出的零输入响应曲线 取样点数由函数自动设定 执行lsim A B C D u t x0 指令可针对系统初始状态x0和输入u绘制系统所有输出 全 响应曲线 其中t为用户设定的线性等间距的时间向量 对多输入系统 u为数值矩阵 其列数等于输入信号数 第j个输入信号对应于t的离散序列构成u的第j列 行数等于时间向量t的维数 例 设双输入双输出系统状态空间表达式为 且设 系统初始状态为零 1 分别求 单独作用下系统的输出响应 2 求和共同作用下系统的输出响应 解1 MATLABProgram2 6a为调用step 函数求 单独作用下系统输出响应曲线的程序 图2 5为程序运行结果 MATLABProgram2 6a A 1 1 25 2 B 1 1 0 2 C 1 0 0 1 D 0 0 0 0 step A B C D grid 图2 5 单独作用下系统输出响应 2 MATLABProgram2 6b为求和共同作用下系统输出响应的MATLAB程序 图2 6为程序运行结果 MATLABProgram2 6b A 1 1 25 2 B 1 1 0 2 C 1 0 0 1 D 0 0 0 0 t 0 0 01 4 生成时间向量t LT length t 求时间向量t的维数 长度 u1 ones 1 LT u2 ones 1 LT 生成单位阶跃信号对应于向量t的离散序列 u1和u2均为与向量t同维的向量 u u1 u2 u1和u2的转置分别构成u的第1和第2列 lsim A B C D u t grid 图2 6和共同作用下系统输出响应 2 7 3应用MATLAB变连续状态空间模型为离散状态空间模型 MATLABControlSystemToolbox提供的c2d 函数可简化线性定常连续状态方程离散化系数矩阵的求解 若要将式 2 83 所示的线性定常连续系统变换为 2 84 所示的离散系统 且设控制输入端采用零阶保持器 T为采样周期 其调用格式为 G H c2d A B T