（泰安专版）2019版中考数学 第一部分 基础知识过关 第二章 方程（组）与不等式（组）第6讲 一元二次方程课件.ppt

第6讲一元二次方程 总纲目录 泰安考情分析 基础知识过关 知识点一一元二次方程的相关概念 1 一元二次方程 只含有 一个未知数 并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程 一元二次方程的一般形式是 ax2 bx c 0 a 0 其中ax2叫做二次项 a叫做二次项系数 bx叫做一次项 b叫做一次项系数 c叫做 常数项 温馨提示判定一个方程是不是一元二次方程时要注意以下三点 1 只含有一个未知数 2 未知数的最高次数是2 3 方程是整式方程 一元二次方程的一般形式要注意二次项系数a 0这一条件 2 一元二次方程的解 使方程左右两边 相等的未知数的值叫做一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根 知识点二一元二次方程的解法 温馨提示解一元二次方程时 要根据方程的特点灵活选择合适的方法 一般优先考虑直接开平方法 然后考虑因式分解法 再次考虑公式法 配方法 公式法和配方法可以解所有判别式大于或等于零的一元二次方程 知识点三一元二次方程的根的判别式及其应用关于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的判别式为 b2 4ac 一般用符号 表示 1 b2 4ac 0 方程ax2 bx c 0 a 0 有 两个不相等的实数根 2 b2 4ac 0 方程ax2 bx c 0 a 0 有 两个相等的实数根 3 b2 4ac 0 方程ax2 bx c 0 a 0 没有实数根 4 b2 4ac 0 方程ax2 bx c 0 a 0 有两个实数根 温馨提示 1 运用一元二次方程根的判别式时 先要把原方程化为一般形式 再确定a b c的值 2 使用判别式的前提 方程是一元二次方程 即二次项系数a 0 知识点四一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两个根是x1 x2 那么x1 x2 x1 x2 温馨提示应用一元二次方程根与系数的关系时 应注意 1 当一元二次方程不是一般形式时 要先化成一般形式 2 一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件是b2 4ac 0 知识点五一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题的步骤 1 审 读懂题目 弄清题意 明确已知量和未知量以及它们之间的等量关系 2 设 设元 也就是设未知数 3 列 列方程 4 解 解方程 5 验 检验未知数的值的准确性及合理性 6 答 写出答案 泰安考点聚焦 考点一一元二次方程的解中考解题指导根据一元二次方程的根的定义进行求值或化简是近年来泰安中考的常考题型 解答此类问题的一般思路 先把方程的根代入已知的一元二次方程 得出一个等式 然后对这个等式进行适当的变形 将其代入待求值的式子中进行化简或计算 例1 2017泰山模拟 已知m是关于x的方程x2 2x 3 0的一个根 则2m2 4m 6 解析 m是关于x的方程x2 2x 3 0的一个根 m2 2m 3 0 m2 2m 3 2m2 4m 6 变式1 1已知关于x的一元二次方程x2 ax b 0有一个非零根 b 则a b的值为 A A 1B 1C 0D 2 解析把x b代入原方程得b2 ab b 0 因为 b 0 所以b 0 方程两边同除以b 得b a 1 0 即a b 1 故选A 考点二一元二次方程的解法中考解题指导解一元二次方程要根据题目特点选择适当的方法 当方程为 x m 2 n n 0 的形式时 可直接开方求解 当一元二次方程的一边为0 另一边为易于分解成两个一次因式的积时 可用因式分解法求解 而公式法是一种万能的方法 但使用时一定要把一元二次方程化为一般形式 确定a b c的值 在b2 4ac 0的条件下代入公式求解 任何一个有解的一元二次方程都可以用配方法和公式法求解 例2 2017泰安 一元二次方程x2 6x 6 0配方后化为 A A x 3 2 15B x 3 2 3C x 3 2 15D x 3 2 3 解析x2 6x 6 0 移项得x2 6x 6 即x2 6x 9 15 亦即 x 3 2 15 故选A 变式2 1 2018临沂 一元二次方程y2 y 0配方后可化为 B A 1B 1C D 解析 y2 y 0 y2 y 即y2 y 1 即 1 故选B 变式2 2方程3 x 5 2 2 x 5 的根是x1 5 x2 解析移项得3 x 5 2 2 x 5 0 提取公因式得 x 5 3 x 5 2 0 整理得 x 5 3x 17 0 则x 5 0或3x 17 0 所以x1 5 x2 方法技巧解一元二次方程要遵循一看二选三做四验的步骤 即先观察方程的特点 然后选择合适的解法 运用规范的步骤求解 最后代入原方程或运用根与系数的关系检验方程的解是否正确 考点三一元二次方程根的判别式中考解题指导 1 判断一元二次方程根的情况时 只需判断出根的判别式的符号 若一元二次方程中含有字母系数 常将根的判别式化为一个完全平方式与一个非负数和的形式 2 根据一元二次方程的根的情况求字母系数的取值时 不要漏掉二次项系数不为0这个隐含条件 例3 2018泰安 一元二次方程 x 1 x 3 2x 5根的情况是 D A 无实数根B 有一个正根 一个负根C 有两个正根 且都小于3D 有两个正根 且有一根大于3 变式3 1 2016泰安 一元二次方程 x 1 2 2 x 1 2 7的根的情况是 C A 无实数根B 有一正根一负根C 有两个正根D 有两个负根 解析 x 1 2 2 x 1 2 7 x2 2x 1 2 x2 2x 1 7 整理得 x2 6x 8 0 即x2 6x 8 0 即 x 4 x 2 0 解得x1 4 x2 2 故方程有两个正根 故选C 变式3 2 2017泰安 关于x的一元二次方程x2 2k 1 x k2 1 0无实数根 则k的取值范围是k 解析 关于x的一元二次方程x2 2k 1 x k2 1 0无实数根 b2 4ac 故k的取值范围是k 易错警示若一元二次方程有实数根 则应该包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况 同时满足二次项系数不能为零 要注意考虑问题的全面性 考点四一元二次方程根与系数的关系中考解题指导 1 已知x1 x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两根 求关于x1 x2的某个代数式的值 先把这个代数式变形为含有x1 x2和x1x2的式子 再把x1 x2和x1x2的值整体代入 2 若给出了关于x1和x2的某个代数式的值或范围 要求未知字母系数的值或范围 先把这个代数式进行变形 转化为用x1 x2和x1x2表示的式子 然后根据所给的值或取值范围构造方程或不等式 从而求出未知字母系数的值或范围 例4 2018潍坊 已知关于x的一元二次方程mx2 m 2 x 0有两个不相等的实数根x1 x2 若 4m 则m的值是 A A 2B 1C 2或 1D 不存在 解析由题意得 m 2 2 4 m 4m 4 0 且m 0 解得m 1且m 0 由题意知x1 x2 x1x2 所以 4m 化简得m2 m 2 0 解得m1 2 m2 1 舍去 所以m的值为2 故选A 变式4 1 2017泰山模拟 一元二次方程x2 3x 2 0的两根为x1 x2 则下列结论正确的是 C A x1 1 x2 2B x1 1 x2 2C x1 x2 3D x1x2 2 解析 方程x2 3x 2 0的两根为x1 x2 x1 x2 3 x1 x2 2 C选项正确 考点五一元二次方程的应用中考解题指导列方程解实际问题的关键 1 找到等量关系 2 在得到方程的解后 要检验它是否符合实际意义 考向1列方程解决实际问题 例5某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系 每盆植3株时 平均每株盈利4元 若每盆增加1株 平均每株盈利减少0 5元 要使每盆的盈利达到15元 每盆应多植多少株 设每盆多植x株 则可以列出的方程是 A A x 3 4 0 5x 15B x 3 4 0 5x 15C x 4 3 0 5x 15D x 1 4 0 5x 15 解析由题意得每盆有这种花卉 x 3 株 平均每株盈利 4 0 5x 元 所以可列出的方程为 x 3 4 0 5x 15 考向2增长率 降低率 问题的考查 例6烟台市某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本 其中固定成本每年均为4万元 可变成本逐年增长 已知该养殖户第1年的可变成本为2 6万元 设可变成本平均每年增长的百分率为x 1 第3年的可变成本用含x的代数式表示为2 6 1 x 2万元 2 如果该养殖户第3年的养殖成本为7 146万元 求可变成本平均每年增长的百分率x 解析 1 2 6 1 x 2 由第1年的可变成本为2 6万元可以表示出第2年的可变成本 为2 6 1 x 万元 则第3年的可变成本为2 6 1 x 2万元 2 由养殖成本 固定成本 可变成本 得4 2 6 1 x 2 7 146 解得x1 0 1 x2 2 1 不符合题意 舍去 所以可变成本平均每年增长的百分率为10 考向3利润问题的考查例7某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次 第一档次 即最低档次 的产品每天生产76件 每件利润为10元 调查表明 生产的蛋糕产品每提高一个档次 该产品每件的利润增加2元 1 若生产的某批次蛋糕每件利润为14元 则此批次蛋糕属于第几档次的产品 2 由于生产工序不同 蛋糕产品每提高一个档次 一天产量会减少4件 若生产的某档次产品一天的总利润为1080元 则该烘焙店生产的是第几档次的蛋糕产品 解析 1 根据生产的蛋糕产品每提高一个档次 每件产品的利润增加2元得 14 10 2 1 3 所以每件利润14元的蛋糕为第三档次产品 2 设烘焙店生产的是第x档次的蛋糕产品 根据题意得 2 x 1 10 76 4 x 1 1080 整理得x2 16x 55 0 解得x1 5 x2 11 不合题意 舍去 答 该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕产品 考向4几何问题的考查例8王叔叔从市场上买了一块长80cm 宽70cm的矩形铁皮 准备制作一个工具箱 如图 他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后 剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方体工具箱 根据题意列方程为 C A 80 x 70 x 3000B 80 70 4 2 3000C 80 2x 70 2x 3000D 80 70 4 2 70 80 x 3000 解析由题意得剩余部分围成的工具箱的底面是长 80 2x cm 宽 70 2x cm的长方形 则由题意得 80 2x 70 2x 3000 考向5单 双 循环问题的考查例9学校要组织足球比赛 赛制为单循环形式 每两队之间赛一场 计划安排21场比赛 应邀请多少支球队参赛 设邀请x支球队参赛 根据题意 下面所列方程正确的是 B A x2 21B x x 1 21C x2 21D x x 1 21 解析邀请x个队参赛 则每个队都要进行 x 1 场比赛 但两队之间只有一场比赛 由题意得 x x 1 21 方法技巧列一元二次方程解决实际问题时 首先是将问题进行归类 明确其中的等量关系 其次是判断所求的解是否符合题意 舍去不合题意的解 一 选择题1 2017岱岳二模 将一元二次方程x2 6x 5 0配方后可变形为 A A x 3 2 14B x 3 2 4C x 3 2 14D x 3 2 4 随堂巩固训练 2 2017肥城一模 下列选项中 使关于x的一元二次方程ax2 4x c 0一定有实数根的是 D A a 0B a 0C c 0D c 0 3 2017烟台 若x1 x2是方程x2 2mx m2 m 1 0的两个根 且x1 x2 1 x1x2 则m的值为 D A 1或2B 1或 2C 2D 二 填空题 4 2018德州 若x1 x2是一元二次方程x2 x 2 0的两个实数根 则x1 x2 x1x2 3 5 2017新泰模拟 已知关于x的一元二次方程 a 1 x2 2x 1 0有两个不相等的实数根 则a的取值范围是a 2且a 1 解析 关于x的一元二次方程 a 1 x2 2x 1 0有两个不相等的实数根 4 4 a 1 1 0 解得a 2 又 二次项系数不为0 a 1 0 即a 1 故a的取值范围是a 2且a 1 6 若一元二次方程ax2 b ab 0 的两个根分别为m 1和2m 4 则 4 解析易知x2 ab 0 所以x 所以方程的两个根互为相反数 即m 1 2m 4 0 解得m 1 所以方程的两个根为2和 2 所以 2 故 4 三 解答题7 2016年某市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售 因为楼盘滞销 房地产开发商为了加快资金周转 决定进行降价促销 经过连续两年下调 2018年的均价为每平方米5265元 1 求平均每年下调的百分率 2 假设2019年的均价仍然下调相同的百分率 张强准备购买一套100平方米的住房 他持有现金20万元 可以在银行贷款30万元 张强的愿望能否实现 房价每平方米按照均价计算 解析 1 设平均每年下调的百分率为x 根据题意得 6500 1 x 2 5265 解得x1 0 1 10 x2 1 9 舍去 故平均每年下调的百分率为10 2 由题意可知2019年的均价为每平方米5265 1 10 4738 5元 则100平方米的住房总房款为100 4738 5 47 385万元 因20 30 47 385 所以张强的愿望能够实现