教学设计《向量数乘运算及其几何意义》.doc

2.2.3向量数乘运算及其几何意义教学设计一、教材分析：向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向相同或相反向量是共线向量，进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.二、学情分析： 学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后，在思想和思维模式上已经适应了高中的课程和高中的教学方式.学生能适应自主探究、师生互动的学习方式，动手操作能力强，勇于创新，敢于发表自己的见解.只要教师创设情境合理，精心设计问题串，循序渐进层层深入，学生能很快地构建起新的数学知识，教师只要作必要的归纳，就会帮助学生上升到理性认识的层面.同时为了更熟练地掌握知识和应用知识，需加强学生的课堂练习.三、教学目标：1、知识与技能 通过经历探究数乘运算及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律.2、过程与方法通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.3、情感态度与价值观通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用.四、教学重难点教学重点：1理解并掌握向量数乘的定义及几何意义；2熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律；3掌握向量共线定理，会判定或证明点共线或直线平行.教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用.五、教具选取三角板、投影仪、多媒体辅助教学.五、教学过程教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情景引入【问题】为维护我国领土主权和保证渔民正常生产.我国四艘渔政船在钓鱼岛附近开展护卫任务，已知甲向东行驶了10海里，乙向东行驶了30海里，丙向西行驶了30海里，丁在原地没有动，如果把甲的位移用向量来表示，那么，怎么用向量分别表示乙、丙、丁的位移？ 教师提问学生回答情景引入，引发新知，渗透法制教育.探究知新已知非零向量，作出+和（）+（）+（）想一想：它们的大小和方向有什么变化？学生作图，观察并思考.认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性认识作铺垫.新课讲解形成定义（板书）实数与向量的积的定义：一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当 时，问题1：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？小组合作交流，学生作答.通过引出向量的数乘的定义，让学生体会从特殊到一般的思想方法.向量数乘的几何意义是把向量沿的方向或反方向伸长或缩短倍.问题2：你能说明它的几何意义吗？小组合作交流，学生作答.从直观入手，从具体开始，逐步抽象.通过师生互动，得到向量数乘的几何意义.新课讲解趣味抢答说一说：给出问题，组织学生思考，并得出答案.抽学生回答，并指出其几何意义从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固，通过简单口答题来巩固学生对向量数乘的理解及应用，同时渗透几何问题向量化的一种思考方式.观察探究(1) 观察向量和并比较.(2) 观察向量和，并比较.问题3：两类向量的的关系如何？结合图形,给出解答.从从直观入手，从具体开始，逐步抽象.得出向量运算的运算律.形成结论（板书）实数与向量的积的运算律：（1）（结合律）；（2）（第一分配律）；（3）（第二分配律）问题4：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律，你能说出数乘的运算律吗？小组交流探讨数学中引进一个新的量自然要看看它的运算及其运算律的问题.运算律可以有效的简化运算.类比数的乘法的运算律引出数乘向量的运算律.例题解析例1 计算：（1）； （2）；规范解答、形成方法.共同参与，获得方法.通过例1加深学生对数乘向量运算律的理解.巩固练习1观察学生作答情况，分析并总结出现的错误.学生单独作答及时练习，及时巩固，反馈学生的学习情况向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意的向量，以及任意实数，恒有引导学生归纳总结.发现规律，形成方法.本节作为向量线性运算的最后一节，有必要综合认识向量线性运算.新课讲解合作探究对于向量、，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义知与共线，且向量是向量模的倍，而的正负由向量、的方向所决定.反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有.从上述两方面可知（板书）共线向量定理：向量、共线，当且仅当有一个实数，使得.问题6：引入数乘向量后，你能发现数乘向量与原向量的位置关系吗？1) 为什么要是非零向量?2) 可以是零向量吗?合作交流，并作答.思考:（1）若则位置关系如何？（2）若则是否成立？师生共同活动引出向量共线的定理；引导学生理解向量共线只需看这两个向量的方向相同或是相反，在向量的前提下，向量、共线，当且仅当有一个实数，使得；且实数的唯一性是由向量和的模和方向同时决定.通过学生合作交流，促进学生合作的集体意识；通过学生独立作答，提高学生分析问题、解决问题的能力.趣味抢答给出问题，组织学生思考，并得出答案.抽学生回答，并指出其几何意义.从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固例题解析例2、如图，已知两个向量、，试作，.你能判断A、B、C三点之间的关系吗？为什么？引导学生思考共同参与，获得方法.这道例题是先让学生猜想，再证明；利用向量共线证明点共线，具体方法是先证明向量共线，再证明向量有公共点；进而引出利用向量共线证明点共线的方法.新课讲解方法总结引导学生思考，并总结，形成方法.学生思考作答.通过例题，让学生学会思考，学会总结，并能够解决相关实际问题.巩固练习2练习2已知两个非零向量、，不共线，如果，.求证：A、B、D三点共线.观察学生作答情况，分析并总结出现的错误.学生单独作答巩固学习成果，利用向量共线证明点共线，具体方法是先证明向量共线，再证明向量有公共点.课堂小结一、 的定义及运算律； 向量共线定理， 向量与共线.二、 定理的应用：（1） 证明向量共线；（2证明三点共线；证明两直线平行：A、B、C三点共线（3） 证明两直线平行：直线AB直线CD.三、你体会到了那些数学思想.引导学生体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳，猜想，类比，分类讨论，等价转化.学生与老师共同分享成果.1.知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质.2.运用数学方法，创新素质的小结能让学生更系统，更深刻地理解数学理想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质.3.由学生口头表述，不仅可以提高学生的综合概括能力，还能提高学生的口头表达能力.课后作业教材P91，A组9题、13题 （选做）B组3题课后思考：分层布置作业，让每个学生都得到发展.课后的思考题让学生通过思考发现三点共线的另一种形式.培养学生的综合能力.六、课后巩固1、已知向量、不共线，若=3-4，=6+k且，则k的值为（ ） A.8 B.-8 C.3 D.-32、设两非零向量不共线，且，则实数k的值为 .3、中，且与边相交于点，的中线与相交于点.设，用、分别表示向量.七、教学反思作为重点培养学生创新意识、实践能力的一种教学模式“问题解决”的课堂教学模式越来越受到人们的重视。与此相关，设计出高潮迭起、充满吸引力、能提高学生思维训练的质量和水平的好问题，是教师在课堂教学中发挥主导作用的重要标志之一。对于向量数乘运算及其几何意义这节课的教学内容，进行了如下处理：在教学过程中努力将问题的难易程度落在学生的“最近发展区”，既不是太容易，学生不费劲就轻易够到而无所提高，又不能太难，学生怎么努力也毫无结果而丧失信心。同时，所选问题中所蕴涵的基础知识在发展中可与前后联系，可以与其他知识左右沟通，具有典型性。问题中还隐含有适当的“陷阱”，可以较好地暴露学生思维中的不足、方法中的欠缺、知识中的漏洞，帮助学生查漏补缺，以“误”养“正”；问题可以引发学生强烈的认知矛盾和冲突，给学生留下了深刻的印象与体验。经过学生与课堂的教学实践，体会如下：1、在教学过程中，学生用于探究的时间相对较少了点，同时在发现学生在向量的书写以及计算上还存在问题时，花了较多的时间让学生作过手训练，导致最后时间显得较为紧张。因此对于教学时间节奏的把握还不是特别的好，需要在以后的教学中多加打磨。2、新课程理念强调探究性学习、小组交流学习，如何探究，在什么地方探究，如何设计探究的自然性等都值得我们去研究。同时我更倾向于“数学的学习还是应该静下来进行深层次的思考”。9