（北京专版）2019年中考数学一轮复习 第七章 专题拓展 7.3 一元二次方程的整数根（试卷部分）课件.ppt

7 3一元二次方程的整数根 中考数学 北京专用 1 2018北京东城一模 23 已知 关于x的一元二次方程x2 2 2m 3 x 4m2 14m 8 0 1 若m 0 求证 方程有两个不相等的实数根 2 若m为大于12 小于40的整数 且方程有两个整数根 求m的值 好题精练 解析 1 证明 2 2m 3 2 4 4m2 14m 8 8m 4 m 0 8m 4 0 方程有两个不相等的实数根 2 x1 2 2m 3 方程有两个整数根 为整数 又 12 m 40 25 2m 1 81 5 9 令 6 得m 令 7 得m 24 令 8 得m m为整数 m 24 经检验 满足题意 m 24 2 2018北京密云一模 23 关于x的方程ax2 2 a 3 x a 2 0至少有一个整数解 且a是整数 求a的值 解析当a 0时 原方程为 6x 2 0 解得x 此时原方程无整数解 当a 0时 方程为一元二次方程 方程至少有一个整数根 说明判别式 4 a 3 2 4a a 2 4 9 4a 为完全平方数 从而9 4a为完全平方数 设9 4a n2 n 0 因为a为整数 所以n为正奇数 且n 3 否则a 0 所以a 由求根公式得x1 2 1 1 所以x1 1 x2 1 要使x1为整数 则正奇数n 1 从而a 2 要使x2为整数 则正奇数n可取1 5 7 从而a 2 4 10 综上所述 a的值为2或 4或 10 3 2018北京海淀一模 23 已知 关于x的一元一次方程kx x 2 的根为正实数 二次函数y ax2 bx kc ac 0 的图象与x轴的一个交点的横坐标为1 1 若方程 的根为正整数 求整数k的值 2 求代数式的值 3 求证 关于x的一元二次方程ax2 bx c 0 必有两个不相等的实数根 解析 1 由kx x 2 得 k 1 x 2 依题意得k 1 0 x 方程的根为正整数 k为整数 k 1 1或k 1 2 k 2或3 2 依题意知 二次函数y ax2 bx kc ac 0 的图象经过点 1 0 0 a b kc kc b a 1 3 证明 方程 的判别式为 b 2 4ac b2 4ac i 若ac0 故 b2 4ac 0 此时方程 有两个不相等的实数根 ii 若ac 0 由 2 知a b kc 0 故b a kc b2 4ac a kc 2 4ac a2 2kac kc 2 4ac a2 2kac kc 2 4kac 4ac a kc 2 4ac k 1 方程kx x 2的根为正实数 方程 k 1 x 2的根为正实数 由x 0 2 0 得k 1 0 4ac k 1 0 a kc 2 0 a kc 2 4ac k 1 0 此时方程 有两个不相等的实数根 综上 方程 有两个不相等的实数根 4 2018北京西城二模 23 已知 关于x的一元二次方程 x2 m 4 x 4m 0 其中0 m 4 1 求此方程的两个实数根 用含m的代数式表示 2 设抛物线y x2 m 4 x 4m与x轴交于A B两点 A在B的左侧 若点D的坐标为 0 2 且AD BD 10 求抛物线的解析式 3 已知点E a y1 F 2a y2 G 3a y3 都在 2 中的抛物线上 是否存在含有y1 y2 y3 且与a无关的等式 如果存在 试写出一个 并加以证明 如果不存在 说明理由 解析 1 将原方程整理 得x2 m 4 x 4m 0 00 x1 2 x1 m x2 4 2 由 1 知 抛物线y x2 m 4 x 4m与x轴的交点分别为 m 0 4 0 A在B的左侧 0 m 4 A m 0 B 4 0 又AD2 OA2 OD2 m2 22 m2 4 BD2 OB2 OD2 42 22 20 AD BD 10 AD2 BD2 100 20 m2 4 100 解得m 1 0 m 4 m 1 m 4 5 4m 4 抛物线的解析式为y x2 5x 4 3 存在含有y1 y2 y3 且与a无关的等式 如 y3 3 y1 y2 4 答案不唯一 证明 由题意可得y1 a2 5a 4 y2 4a2 10a 4 y3 9a2 15a 4 左边 y3 9a2 15a 4 右边 3 y1 y2 4 3 a2 5a 4 4a2 10a 4 4 9a2 15a 4 左边 右边 y3 3 y1 y2 4成立 5 2018北京海淀一模 23 已知关于x的方程x2 m 3 x m 4 0 1 求证 方程总有两个实数根 2 若方程有一个根大于4且小于8 求m的取值范围 3 设抛物线y x2 m 3 x m 4与y轴交于点M 若抛物线与x轴的一个交点关于直线y x的对称点恰好是点M 求m的值 解析 1 证明 m 3 2 4 m 4 m2 10m 25 m 5 2 0 所以方程总有两个实数根 2 根据求根公式可知 方程的两根为x1 2 即x1 1 x2 m 4 由题意 有4 m 4 8 即8 m 12 3 易知 抛物线y x2 m 3 x m 4与y轴交点为M 0 m 4 由 2 可知抛物线与x轴的交点为 1 0 和 m 4 0 它们关于直线y x的对称点分别为 0 1 和 0 4 m 由题意可得 1 m 4或4 m m 4 即m 3或m 4 6 2018北京东城二模 23 已知关于x的一元二次方程x2 2ax b2 0 a 0 b 0 1 若方程有实数根 试确定a b之间的大小关系 2 若a b 2 且2x1 x2 2 x1 x2为方程x2 2ax b2 0的两个根 求a b的值 解析 1 关于x的一元二次方程x2 2ax b2 0有实数根 2a 2 4b2 0 有a2 b2 0 a b a b 0 a 0 b 0 a b 0 a b 0 a b 2 a b 2 设a 2k b k k 0 解关于x的一元二次方程x2 4kx 3k2 0 得x k或 3k 当x1 k x2 3k时 由2x1 x2 2得k 2 当x1 3k x2 k时 由2x1 x2 2得k 不合题意 舍去 k 2 a 4 b 2 1 2018北京海淀二模 已知关于x的一元二次方程x2 m 3 x m 1 0 1 求证 无论m取何值 原方程总有两个不相等的实数根 2 当m为何整数时 原方程的根也是整数 教师专用题组 解析 1 证明 m 3 2 4 m 1 m2 6m 9 4m 4 m2 2m 5 m 1 2 4 m 1 2 0 m 1 2 4 0 无论m取何值 原方程总有两个不相等的实数根 2 解关于x的一元二次方程x2 m 3 x m 1 0 得x1 2 原方程的根是整数 m 1 2 4是完全平方数 设 m 1 2 4 a2 则 a m 1 a m 1 4 a m 1和a m 1同为奇数或偶数 或 解得或 m 1 x1 2 x2 0 符合题意 当m 1时 原方程的根是整数 2 2018北京西城一模 关于x的一元二次方程 m 1 x2 2mx m 1 0 1 求证 方程有两个不相等的实数根 2 m为何整数时 此方程的两个根都为正整数 解析 1 证明 根据题意得m 1 2m 2 4 m 1 m 1 4 方程有两个不相等的实数根 2 由 1 知 4 x1 1 x2 1 方程的两个根都是正整数 是正整数 m 1 1或2 m 2或3 经检验 满足题意 当m 2或3时 此方程的两个根都为正整数 3 2018北京东城一模 已知关于m的一元二次方程2x2 mx 1 0 1 判定方程根的情况 2 设m为整数 方程的两个根都大于 1且小于 当方程的两个根均为有理数时 求m的值 解析 1 m2 4 2 1 m2 8 m2 0 m2 8 0 无论m取何值 方程2x2 mx 1 0都有两个不相等的实数根 2 设y 2x2 mx 1 2x2 mx 1 0的两根都在 1和之间 当x 1时 y 0 即2 m 1 0 当x 时 y 0 即 m 1 0 m 1 m为整数 m 2 1 0 当m 2时 方程为2x2 2x 1 0 4 8 12 此时方程的两个根均为无理数 不符合题意 当m 0时 方程为2x2 1 0 x 不符合题意 当m 1时 方程为2x2 x 1 0 x1 x2 1 符合题意 综合 可知 m 1