湖南省2019年中考数学总复习 第二单元 方程（组）与不等式（组）课时08 一元二次方程及其应用课件.ppt

第二单元方程 组 与不等式 组 课时08一元二次方程及其应用 中考对接 1 2018 湘潭 九章算术 是我国古代最重要的数学著作之一 在 勾股 章中记载了一道 折竹抵地 问题 今有竹高一丈 末折抵地 去本三尺 问折者高几何 翻译成数学问题是 如图8 1 在 ABC中 ACB 90 AC AB 10 BC 3 求AC的长 如果设AC x 那么可列方程为 图8 1 答案 x2 32 10 x 2 解析 设AC x AC AB 10 AB 10 x 在Rt ABC中 ACB 90 AC2 BC2 AB2 即x2 32 10 x 2 2 2018 张家界 关于x的一元二次方程x2 kx 1 0有两个相等的实数根 则k 答案 2 解析 关于x的一元二次方程x2 kx 1 0有两个相等的实数根 b2 4ac k 2 4 0 解得k 2 3 2018 娄底 关于x的一元二次方程x2 k 3 x k 0的根的情况是 A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 无实数根D 不能确定 答案 A 解析 因为 k 3 2 4k k2 2k 9 k 1 2 8 0 所以原方程有两个不相等的实数根 故选A 4 2018 长沙 已知关于x的方程x2 3x a 0有一个根为1 则方程的另一个根为 5 2018 益阳 规定a b a b b 如 2 3 2 3 3 15 若2 x 3 则x 答案 3或1 解析 2 x 3 2 x x 3 x2 2x 3 0 解得x1 3 x2 1 6 2017 湘潭 由多项式乘法 x a x b x2 a b x ab 将该式从右到左使用 即可得到用 十字相乘法 进行因式分解的公式 x2 a b x ab x a x b 实例 分解因式 x2 5x 6 x2 2 3 x 2 3 x 2 x 3 1 尝试 分解因式 x2 6x 8 x x 2 应用 请用上述方法解方程 x2 3x 4 0 解 1 24 2 由x2 3x 4 0 得 x 4 x 1 0 所以x 4 0或x 1 0 即x 4或x 1 7 2018 盐城 一商店销售某种商品 平均每天可售出20件 每件盈利40元 为了扩大销售 增加盈利 该店采取了降价措施 在每件盈利不少于25元的前提下 经过一段时间销售 发现销售单价每降低1元 平均每天可多售出2件 1 若降价3元 则平均每天销售数量为件 2 当每件商品降价多少元时 该商店每天销售利润为1200元 解 1 26 2 设当每件商品降价x元时 该商店每天销售利润为1200元 由题意 得 40 x 20 2x 1200 整理 得x2 30 x 200 0 解得x1 10 x2 20 又每件盈利不少于25元 x 20不合题意 舍去 答 当每件商品降价10元时 该商店每天销售利润为1200元 考点自查 1 一元二次方程定义的三个基本特征 1 只含有 个未知数 2 未知数的最高次数是 3 是整式方程 2 一元二次方程的一般形式是 一 2 ax2 bx c 0 a 0 温馨提示 在一元二次方程的一般形式ax2 bx c 0中 要特别注意a 0这个条件 一元二次方程一般有四种解法 四种解法对照如下 判别式 b2 4ac与方程的根的关系 1 0 方程有 的实数根 2 0 方程有 的实数根 3 0 方程 实数根 4 0 方程有 实数根 两个不相等 两个相等 没有 两个 温馨提示 运用一元二次方程根的判别式时 要注意二次项系数a 0这一条件 易错警示 失分点 在明确一元二次方程的前提下要注意二次项系数a 0 已知关于x的方程 m 1 x m 1 mx 1 0是一元二次方程 求m的值 解 关于x的方程 m 1 x m 1 mx 1 0是一元二次方程 m 1 2且m 1 0 解得m 3 答案 3 解析 把x 2代入kx2 k2 2 x 2k 4 0 得4k 2k2 4 2k 4 0 整理得k2 3k 0 解得k1 0 k2 3 因为k 0 所以k的值为 3 例1 2018 荆门 已知x 2是关于x的一元二次方程kx2 k2 2 x 2k 4 0的一个根 则k的值为 方法模型 一元二次方程的根满足一元二次方程 注意在解题中要满足其前提 即一元二次方程ax2 bx c 0中a 0 答案 D 解析 n n 0 是关于x的方程x2 mx 2n 0的一个根 n2 mn 2n 0 n n m 2 0 n 0 m n 2 0 m n 2 故选D 拓展 2018 凉山州 若n n 0 是关于x的方程x2 mx 2n 0的一个根 则m n的值是 A 1B 2C 1D 2 例2 2018 宁夏 某企业2018年初获利润300万元 到2020年初计划利润达到507万元 设这两年的年利润平均增长率为x 应列方程是 A 300 1 x 507B 300 1 x 2 507C 300 1 x 300 1 x 2 507D 300 300 1 x 300 1 x 2 507 B 拓展1 2017 白银 如图8 2 某小区计划在一块长为32m 宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路 剩余的空地上种植草坪 使草坪的面积为570m2 若设道路的宽为xm 则下面所列方程正确的是 A 32 2x 20 x 570B 32x 2 20 x 32 20 570C 32 x 20 x 32 20 570D 32x 2 20 x 2x2 570 A 图8 2 B 例3 2017 滨州 根据要求 解答下列问题 1 解下列方程 直接写出方程的解即可 方程x2 2x 1 0的解为 方程x2 3x 2 0的解为 方程x2 4x 3 0的解为 2 根据以上方程特征及其解的特征 请猜想 方程x2 9x 8 0的解为 关于x的方程的解为x1 1 x2 n 3 请用配方法解方程x2 9x 8 0 以验证猜想结论的正确性 拓展1 2017 舟山 用配方法解方程x2 2x 1 0时 配方结果正确的是 A x 2 2 2B x 1 2 2C x 2 2 3D x 1 2 3 B 例4 2016 北京改编 关于x的一元二次方程mx2 2m 1 x m 1 0 1 若方程没有实数根 则m的取值范围是 2 若方程有两个相等的实数根 则m 3 若方程有两个不相等的实数根 则m的取值范围是 4 若方程有实数根 则m的取值范围是 写出一个满足条件的m的值 并求此时方程的根 方法模型 利用一元二次方程根的判别式解题要点 1 将方程化成一般形式 确定a b c 2 计算 的值 3 由方程的根与 的关系得出方程或不等式 4 解方程或不等式 注意确保二次项系数a 0 拓展1 2018 河南 下列一元二次方程中 有两个不相等的实数根的是 A x2 6x 9 0B x2 xC x2 3 2xD x 1 2 1 0 答案 B 解析 本题考查了用一元二次方程ax2 bx c 0的根的判别式 b2 4ac来判断方程根的情况 当 0时 方程有两个不相等的实数根 选项A b2 4ac 62 4 1 9 0 选项B 先将原方程化为一般式x2 x 0 则 b2 4ac 1 2 4 1 0 1 0 选项C 将原方程化为一般式x2 2x 3 0 则 b2 4ac 2 2 4 1 3 8 0 选项D 将原方程化为一般式x2 2x 2 0 则 b2 4ac 2 2 4 1 2 4 0 故选B 拓展2 2018 北京 关于x的一元二次方程ax2 bx 1 0 1 当b a 2时 利用根的判别式判断方程根的情况 2 若方程有两个相等的实数根 写出一组满足条件的a b的值 并求此时方程的根 解 1 b a 2 b2 4 a 1 a 2 2 4a a2 4 0 原方程有两个不相等的实数根 2 答案不唯一 如当a 1 b 2时 原方程为x2 2x 1 0 解得x1 x2 1 例5关于x的一元二次方程x2 m 3 x m 0 1 求证 方程有两个不相等的实数根 2 如果方程的两实根为x1 x2 且x21x22 7 求m的值 解 1 证明 x2 m 3 x m 0 m 3 2 4 1 m m2 2m 9 m 1 2 8 0 方程有两个不相等的实数根 2 x2 m 3 x m 0 方程的两实根为x1 x2 且x21x22 7 x1 x2 2 3x1x2 7 m 3 2 3 m 7 解得m1 1 m2 2 故m的值是1或2 拓展1 2017 呼和浩特 关于x的一元二次方程x2 a2 2a x a 1 0的两个实数根互为相反数 则a的值为 A 2B 0C 1D 2或0 B 拓展2 2018 内江 已知关于x的方程ax2 bx 1 0的两根为x1 1 x2 2 则方程a x 1 2 b x 1 1 0的两根之和为 1 拓展3 2018 鄂州 已知关于x的方程x2 3k 3 x 2k2 4k 2 0 1 求证 无论k为何值 原方程都有实数根 2 若该方程的两实数根x1 x2为一菱形的两条对角线之长 且x1x2 2x1 2x2 36 求k的值及该菱形的面积 例6 2018 沂水二模 某快餐店试销某种套餐 每份套餐的成本为5元 该店每天固定支出费用为600元 不含套餐成本 试销一段时间后发现 若每份套餐售价不超过10元 每天可销售400份 若每份套餐售价超过10元 每提高1元 每天的销售量就减少40份 为了便于结算 每份套餐的售价x 元 取整数 用y 元 表示该店每天的利润 1 若每份套餐售价不超过10元 试写出y与x的函数关系式 若要使该店每天的利润不少于800元 则每份套餐的售价应为多少元 2 该店把每份套餐的售价提高到10元以上 每天的利润能否达到1560元 若不能 请说明理由 若能 每份套餐的售价应定为多少元时 既能保证利润又能吸引顾客 解 1 y 400 x 2600 5 x 10 依题意得400 x 2600 800 解得x 8 5 5 x 10 且每份套餐的售价x 元 取整数 每份套餐的售价应为9元或10元 2 能 依题意可知 每份套餐售价提高到10元以上时 y x 5 400 40 x 10 600 当y 1560时 x 5 400 40 x 10 600 1560 解得x1 11 x2 14 既能保证利润又能吸引顾客 应取x1 11 即x2 14不符合题意 故每份套餐的售价应定为11元 拓展1一个两位数 十位上的数字比个位上的数字大7 且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数 这个两位数是 图8 3 拓展2如图8 3 在Rt ABC中 BAC 90 AB AC 16cm AD为BC边上的高 动点P从点A出发 沿A D方向以cm s的速度向点D运动 设 ABP的面积为S1 矩形PDFE的面积为S2 运动时间为ts 0 t 8 则t 时 S1 2S2 拓展3 2018 合肥二模 如图8 4 某餐厅的餐桌桌面是一个面积为0 84m2的矩形 桌面装有两个表面为相同正方形的电磁炉 两个电磁炉之间及与四周的距离均为0 2m 求电磁炉表面的边长 图8 4 解 设电磁炉表面的边长为xm 则矩形桌面的长为 2x 0 6 m 宽为 x 0 4 m 根据题意得 2x 0 6 x 0 4 0 84 解得x1 0 3 x2 1 舍去 答 电磁炉表面的边长为0 3m