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2013年汕头市高二年级期末统考试题数学（理科） 2013.7本试卷共6页，21小题，满分150分考试用时120分钟参考公式： 体积公式：，其中分别是体积、底面积和高；一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知全集，集合，则（ ）A B C D2.已知是虚数单位，则复数所对应的点落在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）A B C D4. 已知变量满足约束条件，则的最大值是（ ）A. B. C. 1 D. 开始s=0,n=1是否nn=+1输出s结?3102n3=s+ssin5.双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线离心率为（ ）A B C D6.阅读下面程序框图,则输出结果的值为（） A B C D7.在下列命题中， “”是“”的充要条件； 的展开式中的常数项为；设随机变量,若，则；已知命题p:； 命题q:,则命题 为真命题； 其中所有正确命题的序号是 （ ）A B C D8.设为有理数集，定义映射，则定义为到的映射：，则（ ）A B. C. D. 二、填空题：（本大共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡的相应位置） (一)必做题(913题)9.抛物线的焦点坐标为 .10. 函数在点处的切线方程为 .11若向量，满足且，则（+2）= .12我们知道，任何一个三角形的任意三条边与对应的三个内角满足余弦定理，比如：在中，三条边对应的内角分别为，那么用余弦定理表达边角关系的一种形式为：, 请你用规范合理的文字叙述余弦定理（注意，表述中不能出现任何字母）： 13不等式解集为_ _. (二)选做题(1415题，考生只能从中选做一题)14（坐标系与参数方程）在极坐标系中，以点为圆心，半径为2的圆的极坐标方程为 .15如图，中的弦与直径相交于点，为延长线上一点，为的切线，为切点，若，则_, 三解答题：（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题共12分）已知等差数列的前项和为，（）求数列的前项和；（）若数列满足，求数列的前n项的和17. （本小题满分12分）空气质量指数 (单位:)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:3 0 2 2 4 4 8 9 6 6 1 5 1 7 8 8 2 3 0 9 8 甲城市 3 2 0 4 5 5 6 4 7 6 9 7 8 8 0 7 9 1 8 0 9 乙城市 甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数进行监测,获得日均浓度指数数据如茎叶图所示:（）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由) （）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；() 在乙城市15个监测数据中任取个, 设为空气质量类别为优或良的天数,求的分布列及数学期望.18.（本小题满分14分）已知函数 .（）求函数的最小正周期及函数的单调递增区间；（）若，求的值.() 在锐角中，三条边对应的内角分别为，若，且满足， 求的面积。19. （本小题满分14分）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，点在线段上，且（）求证：；（）求证：平面;（）求二面角的余弦值20.（本小题满分14分）已知椭圆：的离心率，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为16（）求椭圆的方程；（）若、,试探究在椭圆内部是否存在整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),使得的面积?若存在,请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)21（本小题满分14分）设函数，其中b0。()当b时，判断函数在定义域上的单调性；()求函数的极值点； ()证明对任意的正整数n，不等式都成立。 2013年高二统考理科数学试题答案一、 选择题：DCBBCDCC二、 填空题：9、 10、 11、0 12、三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边以及它们的夹角的余弦的乘积的2倍的差，（本题可以酌情给分，得分0分，4分，5分）（对于文字表达不太规范的可以考虑给4分）13、 14、 15、三、 解答题：16、解：（）设数列的首项为a1，公差为d 则 4分 ， 5分 6分 前项和 7分 （）， ，且 8分当n2时，为定值， 9分 数列构成首项为，公比为的等比数列 10分所以 （1）当，即时，11分（2）当，即时数列的前n项的和是 12分17、（本小题满分12分）解：（）甲城市空气质量总体较好. 4分（）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为，5分乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为， 6分在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为. 8分()的取值为， 9分，的分布列为： 11分1数学期望 12分18、解: 1分 . 3分（）函数的最小正周期. 4分（）解法一：由已知得， 6分两边平方，得 所以 7分因为，所以. 8分所以. 9分解法二：因为，所以. 5分又因为， 6分得 . 所以. 7分所以， . 9分()因为 10分所以，又因为为锐角三角形，所以 11分所以由,且得到： 12分所以，且的面积14分19、证明：(I) 因为是正三角形，是中点，所以,即1分又因为，平面，2分又，所以平面3分又平面，所以4分（）在正三角形中，5分在中，因为为中点，所以，所以，所以6分在等腰直角三角形中，所以，所以8分又平面，平面，所以平面9分（）因为，所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，所以10分由（）可知，为平面的法向量11分，设平面的一个法向量为,则，即，令则平面的一个法向量为12分设二面角的大小为(显然为锐角)， 则所以二面角余弦值为14分20、解：()设椭圆C的半焦距为c ,由题意可知道：， 解得 3分又因为，所以所以椭圆的方程为 6分（）依题意,直线的方程为, 7分 因为,所以到直线的距离为, 8分 所以点在与直线平行且距离为的直线上,设, 则,解得 10分 当时,由,消元得,即 12分又,所以,相应的也是整数,此时满足条件的点有个. 当时,由对称性,同理也得满足条件的点有个. 13分综上,存在满足条件的点,这样的点有个. 14分21、解：()由题意可知：函数的定义域为， 1分且 2分设恒成立所以对任意恒成立，函数在定义域上是增函数； 3分() 显然由()可知：当b时，函数无极值点； 4分当时，恒成立，所以函数在定义域上单调递增，无极值点； 5分当时，有两个不同的解， （A）显然时，即时，的变化情况如下表：-0+单调递减极小值单调递增由此表可知：当时，有唯一的极小值点7分(B)当时，此时的变化情况如下表： +0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增由此表可知：当时，有一个的极大值点，一个的极小值点 9分综上：当时，有唯一的极小值点 当时，有一个的极大值点，一个的极小值点当时，函数无极值点 10分（）当时，函数，令则， 11分所以当时，所以函数在上是增函数，所以当时，即恒成立，故当时，。13分所以对任意正整数，取，则有不等式都成立14分
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