江苏省2019届中考数学专题复习 第四章 四边形与相似 第2讲 矩形、菱形、正方形课件.ppt

第四章四边形与相似第2讲矩形 菱形 正方形 考点梳理过关 考点1矩形 考点2菱形 考点3正方形6年1考 典型例题运用 类型1矩形的性质与判定 例1 如图 在矩形ABCD中 O为AC中点 EF过O点且EF AC分别交DC于F 交AB于E 点G是AE中点且 AOG 30 则下列结论正确的个数为 1 DC 3OG 2 OG BC 3 OGE是等边三角形 4 S AOE SABCD C A 1个B 2个C 3个D 4个 C EF AC 点G是AE中点 OG AG GE AE AOG 30 OAG 30 GOE 90 AOG 90 30 60 OGE是等边三角形 故 3 正确 设AE 2a 则OE OG a 由勾股定理 得AO O为AC中点 AC 2AO 2 BC 在Rt ABC中 由勾股定理 得AB 3a 四边形ABCD是矩形 CD AB 3a DC 3OG 故 1 正确 OG a OG 故 2 错误 S AOE SABCD 3a S AOE SABCD 故 4 正确 综上所述 结论正确是 1 3 4 共3个 例2 已知菱形ABCD的对角线相交于O 点E F分别在边AB BC上 且BE BF 射线EO FO分别交边CD AD于点G H 1 求证 四边形EFGH为矩形 2 若OA 4 OB 3 求EG的最小值 自主解答 1 四边形ABCD是菱形 OA OC OB OD AB CD AD BC BAO DCO AOE COG AOE COG ASA OE OG 同理 得OH OF 四边形EFGH是平行四边形 BE BF ABD CBD OB OB EBO FBO OE OF EG FH 四边形EFGH是矩形 2 垂线段最短 当OE AB时 OE最小 OA 4 OB 3 AOB 90 AB 5 OA OB AB OE 3 4 5 OE OE OE OG EG 答 EG的最小值是 技法点拨 矩形的判定思路 1 若给出的图形是一般的四边形 思路一 证明有三个角是直角 思路二 先证明为平行四边形 再证明有一个角是直角或证明其对角线相等 2 若给出的四边形是平行四边形 则证明有一个角是直角或证明对角线相等 类型2菱形的性质与判定 例3 如图 在 ABC中 D E分别是AB AC的中点 CD 2DE 延长ED到点F 使得DF CD 连接BF 1 求证 四边形BCDF是菱形 2 若CD 2 FBC 120 求AC的长 思路分析 1 首先证明四边形BCDF是平行四边形 再由DF CD即可证明四边形BCDF是菱形 2 首先证明 BCD是等边三角形 再证明 ACB 90 然后在Rt ABC中利用勾股定理即可解决问题 技法点拨 菱形除具有四条边都相等 对角线互相垂直且平分等特有性质外 它还具有平行四边形的所有性质 判定菱形的方法是多样的 其基本思路是先判定这个四边形为平行四边形 然后通过有一组邻边相等或对角线互相垂直判定为菱形 或者直接利用四条边相等进行证明 变式运用 1 如图 在 ABCD中 BAD的平分线交BC于点E ABC的平分线交AD于点F 1 求证 四边形ABEF是菱形 2 若AB 5 BF 8 若 ABCD的面积是36 求AD的长 解 1 证明 四边形ABCD是平行四边形 AD BC DAE BEA BAD的平分线交BC于点E DAE BAE BAE BEA AB BE 同理 AB AF AF BE AF BE 四边形ABEF是平行四边形 AB AF 四边形ABEF是菱形 2 如图所示 过A作AH BE 四边形ABEF是菱形 AO EO BO FO BE AB 5 AE BF BF 8 BO 4 AO AE 6 S菱形ABEF AE BF 6 8 24 BE AH 24 AH S ABCD AD AH 36 AD 类型3正方形的性质与判定 例4 以 ABC的各边 在边BC的同侧分别作三个正方形 他们分别是正方形ABDI BCFE ACHG 试探究 1 如图中四边形ADEG是什么四边形 并说明理由 2 当 ABC满足什么条件时 四边形ADEG是矩形 3 当 ABC满足什么条件时 四边形ADEG是正方形 思路分析 1 根据全等三角形的判定定理SAS证得 BDE BAC 所以全等三角形的对应边DE AG 然后利用正方形对角线的性质 周角的定义推知 EDA DAG 180 易证ED GA 最后由 一组对边平行且相等 的判定定理证得结论 2 根据 矩形的内角都是直角 易证 DAG 90 然后由周角的定义求得 BAC 135 3 由 正方形的内角都是直角 四条边都相等 易证 DAG 90 且AG AD 由正方形ABDI和正方形ACHG的性质 得AC AB 技法点拨 解答这类综合题 需要综合运用正方形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 平行四边形的判定与性质等知识 解题时 注意利用隐含在题干中的已知条件 周角是360 是发现结论的关键 变式运用 2 2017 柳州模拟 如图 菱形EFGH的三个顶点E G H分别在正方形ABCD的边AB CD DA上 连接CF 1 求证 HEA CGF 2 当AH DG时 求证 菱形EFGH为正方形 证明 1 如图所示 连接GE AB CD AEG CGE GF HE HEG FGE HEA CGF 2 四边形ABCD是正方形 D A 90 四边形EFGH是菱形 HG HE 在Rt HAE和Rt GDH中 Rt HAE Rt GDH HL AHE DGH 又 DHG DGH 90 DHG AHE 90 GHE 90 菱形EFGH为正方形 AH DG HE GH 六年真题全练 命题点1矩形 菱形 正方形 1 2017 泰安 14 3分 如图 正方形ABCD中 M为BC上一点 ME AM ME交AD的延长线于点E 若AB 12 BM 5 则DE的长为 B 2 2015 泰安 20 3分 如图 矩形ABCD中 E是AD的中点 将 ABE沿直线BE折叠后得到 GBE 延长BG交CD于点F 若AB 6 BC 4则FD的长为 B A 2B 4C D B连接EF 由题意知Rt BAE Rt BGE 且AE DE 那么GE AE DE 在Rt EGF与Rt EDF中 GE DE 且两直角三角形有公共斜边EF Rt EGF Rt EDF GF DF 设GF DF x AB 6 BC BG 6 BF 6 x FC 6 x 在Rt BCF中 BF2 CF2 BC2 即解得x 4 3 2016 泰安 23 3分 如图 矩形ABCD中 已知AB 6 BC 8 BD的垂直平分线交AD于点E 交BC于点F 则 BOF的面积为 4 2014 泰安 28 11分 如图 在四边形ABCD中 AB AD AC与BD交于点E ADB ACB 1 求证 2 若AB AC AE EC 1 2 F是BC中点 求证 四边形ABFD是菱形 5 2013 泰安 28 11分 如图 在四边形ABCD中 AB AD CB CD E是CD上一点 BE交AC于F 连接DF 1 证明 BAC DAC AFD CFE 2 若AB CD 试证明四边形ABCD是菱形 3 在 2 的条件下 试确定E点的位置 使 EFD BCD 并说明理由 解 1 证明 在 ABC和 ADC中 AB AD BC DC AC AC ABC ADC SSS BAC DAC 在 ABF和 ADF中 AB AD BAF DAF AF AF ABF ADF AFB AFD AFB CFE AFD CFE 2 证明 AB CD BAC ACD 又 BAC DAC CAD ACD AD CD AB AD CB CD AB CB CD AD 四边形ABCD是菱形 3 当EB CD时 EFD BCD 理由 四边形ABCD为菱形 BC CD BCF DCF 在 BCF和 DCF中 BC DC BCF DCF CF CF BCF DCF SAS CBF CDF BE CD BEC DEF 90 EFD BCD 6 2012 泰安 28 11分 链接第20讲六年真题全练第6题 得分要领 解答特殊四边形问题时 可以参考以下几个方面的技巧 1 解答矩形问题时 往往把矩形问题转化为直角三角形或等腰三角形 借助直角三角形和等腰三角形的性质解决 由于还需要借助代数知识解决问题 如根据矩形的边 角关系设未知数构造方程解决问题 2 解决菱形问题时 主要依据菱形的性质和判别方法 由于菱形的对角线互相垂直平分 所以解决菱形问题往往需要转化为直角三角形并借助勾股定理进行计算 或转化为等腰三角形借助于等腰三角形的有关知识解决 解决问题的方法是熟练掌握菱形的性质和判别方法 根据题目的条件灵活地选择方法 展开丰富的联想 大胆地去猜想 深入地去探索 然后给出合理的说明 3 解答正方形问题时 由于正方形既是矩形又是菱形 所以多结合矩形和菱形的相关知识 同时正方形是数学变换的常考问题 多注意其中的 变 与 不变 挖掘出其中的隐含知识 最终达到解决问题的目的