安徽省2019年中考数学一轮复习 第一讲 数与代数 第一章 数与代数 1.2 整式课件.ppt

1 2整式 理解用字母表示数 代数式的实际背景或几何意义 理解代数式的值 熟练掌握整式的加 减 乘 除运算 多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘 熟练地掌握乘法公式 了解整数的概念 了解整数指数幂的意义和基本性质 了解因式分解的意义 掌握用提公因式法 公式法进行因式分解 指数是正整数 直接用公式不超过两次 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 素养提升 考点6 列代数式 8年2考 1 代数式的概念用加 减 乘 除 乘方 开方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子 叫做代数式 单独的一个数或一个字母也是代数式 名师点睛代数式与公式 等式的区别是代数式中不含等号 而公式和等式中都含有等号 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 素养提升 考点6 2 列代数式把问题中与数量有关的词语 用含有数 字母和运算符号的式子表示出来 列代数式的常见模型有 1 原量a增加 减少 10 为a 1 10 比原量a的n倍多 少 m为an m 2 原价a的八折为a 原价a按成本提高x 后再打七五折为a 1 x 0 75 3 x个单价为a元的商品与y个单价为b元的商品总价为ax by元 4 每天完成的工作量为a 则要完成m的工作量所需时间为天 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 素养提升 考点6 典例1 2018 芜湖模拟 某市2017年生产总值 GDP 比2016年增长了12 由于受到国际金融危机的影响 预计今年比2017年增长7 若这两年GDP年平均增长率为x 则x 满足的关系是 A 12 7 x B 1 12 1 7 2 1 x C 12 7 2 x D 1 12 1 7 1 x 2 解析 设2016年的国内生产总值为1 2017年国内生产总值 GDP 比2016年增长了12 2017年的国内生产总值为1 12 2018年比2017年增长7 2018年的国内生产总值为 1 12 1 7 这两年GDP年平均增长率为x 2018年的国内生产总值也可表示为 1 x 2 则x 满足的关系是 1 12 1 7 1 x 2 答案 D 考点扫描 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 素养提升 考点6 变式拓展 甲 乙 丙三家超市为了促销同一种定价为m元的商品 甲超市连续两次降价20 乙超市一次性降价40 丙超市第一次降价30 第二次降价10 此时顾客要购买这种商品 最划算的超市是 A 甲B 乙C 丙D 都一样 解析 降价后三家超市的售价 甲为 1 20 2m 0 64m 乙为 1 40 m 0 6m 丙为 1 30 1 10 m 0 63m 因为0 6m 0 63m 0 64m 所以此时顾客要购买这种商品 最划算的超市是乙 B 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 代数式求值 8年1考 用数值代替代数式中的字母 按照代数式中的运算关系计算得出的结果 叫做代数式的值 名师点睛列代数式的注意事项 1 代入求值时 一般要先化简 再代入计算 这样能减少运算量 2 代数式中的字母取值一定要使原代数式有意义 答案 D 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 提分训练1 2018 湖南岳阳 已知a2 2a 1 则3 a2 2a 2的值为 解析 利用整体思想代入计算即可 a2 2a 1 3 a2 2a 2 3 1 2 5 5 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 数式规律探究 8年6考 规律探究题是安徽中考必考题型 除2015年在填空题中考查 2010年在选择题中考查外 其余均在解答题中考查 此类题型主要考查学生通过类比 猜想 推理等一系列的数学思维过程 来总结出一般性结论的能力 解决这类问题的一般思路是通过所给出的式子 图形进行观察 分析 比较 从而发现其中的规律 并猜想出一般性的结论 然后再给出合理的证明或加以应用 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 典例3观察下列各个等式的规律 请用上述等式反映出的规律解决下列问题 1 直接写出第四个等式 2 猜想第n个等式 用n的代数式表示 并证明你猜想的等式是正确的 解析 1 根据题目中的式子的变化规律可以写出第四个等式 2 根据题目中的式子的变化规律可以猜想出第n个等式并加以证明 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 提分训练 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 整数指数幂的意义和基本性质 8年6考 1 整数指数幂的运算性质当m n都是整数时 am an am n am an am n a 0 am n amn ab n anbn 2 零指数幂与负整数指数幂 1 a0 1 a 0 2 a p a 0 p是正整数 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 典例4 2018 四川攀枝花 下列运算结果是a5的 A a10 a2B a2 3C a 5D a3 a2 解析 a10 a2 a8 A选项错误 a2 3 a6 B选项错误 a 5 a5 C选项错误 a3 a2 a5 D选项正确 答案 D提分训练3 2018 山东滨州 下列运算 a2 a3 a6 a3 2 a6 a5 a5 a ab 3 a3b3 其中结果正确的个数为 A 1B 2C 3D 4 解析 a2 a3 a5 错误 a3 2 a6 正确 a5 a5 1 错误 ab 3 a3b3 正确 正确的有2个 B 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 整式 8年3考 1 整式的概念单项式与多项式统称为整式 2 同类项 1 同类项 多项式中 所含字母相同 并且相同字母的指数也相同的项 叫做同类项 2 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项 叫做合并同类项 合并同类项的法则 同类项的系数相加 所得结果作为系数 字母和字母的指数不变 3 整式的加减一般地 几个整式相加减 如果有括号 就先去括号 然后再合并同类项 名师点睛整式的加减运算最终可归结为去括号 合并同类项 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 4 整式的乘法 1 单项式与单项式相乘 把系数 同底数幂分别相乘 作为积的因式 对于只在一个单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 2 单项式与多项式相乘 用单项式和多项式的每一项分别相乘 再把所得的积相加 3 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘 再把所得的积相加 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 5 整式的除法 1 单项式与单项式相除 把系数 同底数幂分别相除 作为商的因式 对于只在被除式里含有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 2 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式 再把所得的商相加 6 乘法公式 1 完全平方公式 a b 2 a2 2ab b2 2 平方差公式 a b a b a2 b2 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 典例5 2018 浙江衢州 有一张边长为a厘米的正方形桌面 因为实际需要 需将正方形边长增加b厘米 木工师傅设计了如图所示的三种方案 小明发现这三种方案都能验证公式 a2 2ab b2 a b 2 对于方案一 小明是这样验证的 a2 ab ab b2 a2 2ab b2 a b 2 请你根据方案二 方案三 写出公式的验证过程 解析 根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程 本题得以解决 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 提分训练4 如图 从边长为 a 3 的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形 剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形 不重叠无缝隙 则拼成的长方形的另一边长是a 6 解析 拼成的长方形的面积 a 3 2 32 a 3 3 a 3 3 a a 6 拼成的长方形一边长为a 另一边长是a 6 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 5 2018 四川乐山 先化简 再求值 2m 1 2m 1 m 1 2 2m 3 8m 其中m是方程x2 x 2 0的根 答案 原式 4m2 1 m2 2m 1 8m3 8m 4m2 1 m2 2m 1 m2 2m2 2m 2 2 m2 m 1 m是方程x2 x 2 0的根 m2 m 2 0 即m2 m 2 原式 2 2 1 2 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 因式分解 8年6考 1 因式分解把一个多项式化为几个最简整式的积的形式 叫做把这个多项式因式分解 2 因式分解的方法 1 提公因式法 把公因式提到括号外面 这样ma mb mc就分解成两个因式的积m a b c 这种因式分解的方法叫做提公因式法 2 公式法 利用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法 温馨提示 1 因式分解时 首先考虑是否有公因式 如果有公因式 先提公因式 然后再考虑是否能用公式法分解 2 因式分解一定要分解到不能再分解为止 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 典例6下列因式分解正确的是 B x4 2x2 1 x2 1 2C xy2 3x2y xy xy y 3x D x 3 x 4 x2 x 12 解析 A选项正确 x4 2x2 1 x2 1 2 x 1 2 x 1 2 B选项错误 xy2 3x2y xy xy y 3x 1 C选项错误 x 3 x 4 x2 x 12 不是因式分解 是整式的乘法 D选项错误 答案 A 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 提分训练6 下列各式由左到右的变形中 属于分解因式的是 A a m n am anB a2 b2 c2 a b a b c2C 10 x2 5x 5x 2x 1 D x2 16 6x x 4 x 4 6x 解析 A选项变形为去括号 不是因式分解 B选项等式右边没有化为几个整式的乘积形式 不是因式分解 D选项等式右边没有化为几个整式的乘积形式 不是因式分解 C 考点扫描 素养提升 因式分解 中数学思想方法的应用多1 数形结合思想在因式分解中的应用典例1如图所示 根据图形把多项式a2 5ab 4b2因式分解为 a b a 4b 解析 由图可知a2 5ab 4b2 a b a 4b 考点扫描 素养提升 2 归纳猜想思想在因式分解中的应用典例2观察下列等式 12 3 1 1 1 3 22 3 2 2 2 3 32 3 3 3 3 3 42 3 4 4 4 3 则第n个等式可表示为 解析 由于每个等式第一个数值由1的平方到2的平方逐渐增加 接着减去的是3 1 3 2等 等式右边是前面数字的一种组合 由此第n个等式可表示为n2 3n n n 3 3 配方法在因式分解中的应用典例3若a2 2b2 5c2 4bc 2ab 2c 1 则a b c的值是 A 3B 0C 1D 2 解析 a2 2b2 5c2 4bc 2ab 2c 1 a2 2b2 5c2 4bc 2ab 2c 1 0 a b 2 b 2c 2 c 1 2 0 a b 0 b 2c 0 c 1 0 a 2 b 2 c 1 a b c 3 n2 3n n n 3 A 考点扫描 素养提升 4 因式分解中其他重要方法 分组分解法典例4先阅读下面的材料 再分解因式 要把多项式am an bm bn分解因式 可以先把它的前两项分成一组 并提出a 把它的后两项分成一组 并提出b 从而得am an bm bn a m n b m n 这时 由于a m n b m n 中又有公因式 m n 于是可提公因式 m n 从而得到 m n a b 因此有am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b 这种因式分解的方法叫做分组分解法 如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后 它们的另一个因式正好相同 那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解 考点扫描 素养提升 请用上面材料中提供的方法因式分解 1 ab ac bc b2 a b c b b c 请你完成分解因式下面的过程 2 m2 mn mx nx 3 x2y2 2x2y 4y 8 解析 根据分组分解法的概念即可求解 答案 1 a b b c 2 m2 mn mx nx m m n x m n m x m n 3 x2y2 2x2y 4y 8 x2y y 2 4 y 2 y 2 x2y 4 考点扫描 素养提升 5 因式分解中其他重要方法 十字相乘法典例5计算 ax b cx d acx2 adx bcx bd acx2 ad bc x bd 倒过来写可得acx2 ad bc x bd ax b cx d 我们观察公式左边二次项系数为两个有理数的乘积 常数项也为两个有理数的乘积 而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果 这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法 如图1所示 示例 因式分解 12x2 5x 2 解 由图2可知12x2 5x 2 3x 2 4x 1 请根据示例 对下列多项式因式分解 2x2 7x 6 6x2 7x 3 考点扫描 素养提升 解析 根据题意给出的因式分解法即可求出答案 答案 2x2 7x 6 x 2 2x 3 6x2 7x 3 2x 3 3x 1 命题点1幂的运算性质 常考 1 2018 安徽第3题 下列运算正确的是 A a2 3 a5B a4 a2 a8C a6 a3 a2D ab 3 a3b3 解析 根据幂的乘方的运算性质可知 a2 3 a6 故A错误 根据同底数幂乘法的运算性质可知a4 a2 a6 故B错误 根据同底数幂除法的运算性质可知a6 a3 a3 故C错误 根据积的乘方的运算性质可知 ab 3 a3b3 D正确 2 2017 安徽第2题 计算 a3 2的结果是 A a6B a6C a5D a5 解析 a3 2 a3 2 a6 3 2012 安徽第3题 计算 2x2 3的结果是 A 2x5B 8x6C 2x6D 8x5 解析 根据积的乘方和幂的运算法则可得B正确 D A B 命题点2因式分解 常考 4 2018 安徽第5题 下列分解因式正确的是 A x2 4x x x 4 B x2 xy x x x y C x x y y y x x y 2D x2 4x 4 x 2 x 2 解析 x2 4x x x 4 故A错误 x2 xy x x x y 1 故B错误 x2 4x 4 x 2 2 故D错误 x x y y y x x x y y x y x y 2 C正确 5 2017 安徽第12题 因式分解 a2b 4ab 4b 解析 先提出公因式b 再利用完全平方公式分解 原式 b a2 4a 4 b a 2 2 C b a 2 2 命题点3整式的运算 常考 6 下列运算正确的是 A 2x 3y 5xyB 5m2 m3 5m5C a b 2 a2 b2D m2 m3 m6 解析 A选项中 2x和3y不是同类项 不能合并 B选项中 单项式乘单项式 系数相乘作为系数 字母及其指数按同底数幂相乘法则进行 C选项中 a b 2 a2 2ab b2 D选项中 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 则m2 m3 m5 7 计算 a 3 a 1 a a 2 解 原式 a2 a 3a 3 a2 2a 2a2 3 B 命题点4求代数式的值 冷考 8 已知x2 2x 3 0 则2x2 4x的值为 A 6B 6C 2或6D 2或30 解析 x2 2x 3 0 x2 2x 3 2x2 4x 2 x2 2x 2 3 6 命题点5用字母表示数 常考 9 2018 安徽第18题 详见专题一典例110 2017 安徽第19题 详见专题九典例4 B