中考数学一轮复习 第一部分 系统复习 成绩基石 第二章 方程（组）与不等式（组）第8讲 一元二次方程.ppt

考点一元二次方程的有关概念 第8讲一元二次方程 1 定义 含有一个未知数 并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程 2 一般形式 ax2 bx c 0 a 0 3 解 使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根 2 考点一元二次方程的解法 一般形式 右边 二次项 一次项系数一半 直接开平方 一元一次 考点一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 警示 当方程有两个实数根时 一元二次方程根的判别式大于或等于0 解决这类问题易忽视等号出错失分 1 根的判别式 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 中 叫做一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的判别式 通常用 来表示 即 b2 4ac 当 0时 方程有两个 的实数根 当 0时 方程有两个 的实数根 当 0时 方程无实数根 反之亦成立 2 根与系数的关系 如果方程ax2 bx c 0 a 0 的两个实数根是x1 x2 那么x1 x2 x1x2 b2 4ac 不相等 相等 点拨 利用根与系数的关系求某些代数式的值时 先把代数式变形成两根的和与积的形式 常见的变形 x21 x22 x1 x2 2 2x1x2 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 考点一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1 审 读懂题目 弄清题意 明确已知量和未知量以及它们之间的 2 设 设元 也就是设未知数 3 找 找出 4 列 列方程 5 解 解方程 6 验 检验未知数的值的准确性及合理性 7 答 写出答案 等量关系 等量关系 命题点一元二次方程的解法 考情分析 从近几年中考的题目来看 解一元二次方程是中考的重要内容 往往单独考查 通常以选择题和填空题的形式出现 1 2018 泰安 T10 3分 一元二次方程 x 1 x 3 2x 5根的情况是 A 无实数根B 有一个正根 一个负根C 有两个正根 且都小于3D 有两个正根 且有一根大于3 2 2017 泰安 T7 3分 一元二次方程x2 6x 6 0配方后化为 A x 3 2 15B x 3 2 3C x 3 2 15D x 3 2 3 3 2016 泰安 T9 3分 一元二次方程 x 1 2 2 x 1 2 7的根的情况是 A 无实数根B 有一正根一负根C 有两个正根D 有两个负根 4 2015 泰安 T22 3分 方程 2x 1 x 1 8 9 x 1的根为 D A C 命题点一元二次方程根的判别式 考情分析 从近几年中考的题目来看 一元二次方程根的判别式是重要考查内容 有时单独考查 有时同根与系数的关系结合起来考查 通常以选择题 填空题的形式出现 5 2017 泰安 T22 3分 关于x的一元二次方程x2 2k 1 x k2 1 0无实数根 则k的取值范围为 命题点一元二次方程的应用 考情分析 从近几年中考的题目来看 一元二次方程的应用是重点考查内容 一般单独考查 通常以选择题 填空题或解答题的形式出现 6 2014 泰安 T13 3分 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系 每盆植3株时 平均每株盈利4元 若每盆增加1株 平均每株盈利减少0 5元 要使每盆的盈利达到15元 每盆应多植多少株 设每盆多植x株 则可以列出的方程是 A 3 x 4 0 5x 15B x 3 4 0 5x 15C x 4 3 0 5x 15D x 1 4 0 5x 15 A 7 2013 泰安 T27 8分 某商店购进600个旅游纪念品 进价为每个6元 第一周以每个10元的价格售出200个 第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个 但商店为了适当增加销量 决定降价销售 根据市场调查 单价每降低1元 可多售出50个 但售价不得低于进价 单价降低x元销售一周后 商店对剩余旅游纪念品清仓处理 以每个4元的价格全部售出 如果这批旅游纪念品共获利1250元 问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元 解 由题意 得200 10 6 10 x 6 200 50 x 4 6 600 200 200 50 x 1250 即800 4 x 200 50 x 2 200 50 x 1250 整理 得x2 2x 1 0 解得x1 x2 1 所以10 1 9 元 所以第二周的销售价为9元 类型一元二次方程的解法 例1 用适当的方法解方程 1 3x2 6x 3 2 4 x 2 2 3x 1 2 0 规范解答 1 整理 得3x2 6x 3 0 1分 3 x 1 2 0 2分 解得x1 x2 1 4分 3 x 3x 2 6x2 0 4 x 2 x 5 1 解题要领 如果题目没有指明用什么方法 解一元二次方程通常是先考虑能不能用直接开平方法 再看能不能用因式分解法 最后考虑公式法或配方法 1 2018 盐城 已知一元二次方程x2 k 3 0有一个根为1 则k的值为 A 2B 2C 4D 4 3 2018 安顺 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2 7x 10 0的两根 则该等腰三角形的周长是 A 12B 9C 13D 12或9 4 2018 梧州 解方程 2x2 4x 30 0 解 整理 得x2 2x 15 0 x 5 x 3 0 解得x1 5 x2 3 2 2018 临沂 一元二次方程配方后可化为 B B A 类型一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 例2 已知关于x的一元二次方程x2 m 3 x m 0 1 求证 方程有两个不相等的实数根 2 如果方程的两实根为x1 x2 且x21 x22 x1x2 7 求m的值 自主解答 1 证明 x2 m 3 x m 0 m 3 2 4 1 m m2 2m 9 m 1 2 8 0 方程有两个不相等的实数根 2 方程x2 m 3 x m 0的两实根为x1 x2 且x21 x22 x1x2 7 x1 x2 2 3x1x2 7 m 3 2 3 m 7 解得m1 1 m2 2 即m的值是1或2 解题要领 解答这类问题的关键是明确题意 找出所求问题需要的条件 利用方程的思想求解 5 2018 泰州 已知x1 x2是关于x的方程x2 ax 2 0的两根 下列结论一定正确的是 A x1 x2B x1 x2 0C x1 x2 0D x1 0 x2 0 6 2018 贵港 已知 是一元二次方程x2 x 2 0的两个实数根 则 的值是 A 3B 1C 1D 3 7 2018 南充 已知关于x的一元二次方程x2 2m 2 x m2 2m 0 1 求证 方程有两个不相等的实数根 2 如果方程的两实数根为x1 x2 且x21 x22 10 求m的值 解 1 证明 由题意 得 2m 2 2 4 m2 2m 4 0 方程有两个不相等的实数根 2 x1 x2 2m 2 x1x2 m2 2m x21 x22 x1 x2 2 2x1x2 10 2m 2 2 2 m2 2m 10 m2 2m 3 0 解得m 1或m 3 A B 8 2018 东营 关于x的方程2x2 5xsinA 2 0有两个相等的实数根 其中 A是锐角三角形ABC的一个内角 1 求sinA的值 2 若关于y的方程y2 10y k2 4k 29 0的两个根恰好是 ABC的两边长 求 ABC的周长 解 1 根据题意 得 25sin2A 16 0 sin2A sinA A为锐角 sinA 2 由题意 知方程y2 10y k2 4k 29 0有两个实数根 则 0 100 4 k2 4k 29 0 k 2 2 0 k 2 2 0 又 k 2 2 0 k 2 2 0 k 2 把k 2代入方程 得y2 10y 25 0 解得y1 y2 5 ABC是等腰三角形 且腰长为5 分两种情况 当 A是顶角时 AB AC 5 如图1所示 过点B作BD AC于点D 在Rt ABD中 AB AC 5 sinA AD 3 BD 4 DC 2 BC ABC的周长为10 当 A是底角时 AB BC 5 如图2所示 过点B作BD AC于点D 在Rt ABD中 AB 5 sinA AD DC 3 AC 6 ABC的周长为16 综上所述 ABC的周长为10 或16 类型一元二次方程的应用 例3 2018 重庆 在美丽乡村建设中 某县政府投入专项资金 用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设 该县政府计划 2018年前5个月 新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个 且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍 1 按计划 2018年前5个月至少要修建多少个沼气池 2 到2018年5月底 该县按原计划刚好完成了任务 共花费资金78万元 且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值 据核算 前5个月 修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1 2 为加大美丽乡村建设的力度 政府计划加大投入 今年后7个月 在前5个月花费资金的基础上增加投入10a 全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设 经测算 从今年6月起 修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a 5a 新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a 8a 求a的值 规范解答 1 设修建沼气池x个 则修建的垃圾集中处理点为 50 x 个 根据题意 得x 4 50 x 解得x 40 2分 答 至少要修建40个沼气池 4分 2 由题意 2018年前5个月修建沼气池与垃圾集中处理点的个数分别为40个 10个 设2018年前5个月修建每个沼气池的平均费用为y万元 由题意 得40y 10 2y 78 解得y 1 3 5分 即2018年前5个月修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用分别为1 3万元 2 6万元 由题意 得1 3 1 a 40 1 5a 2 6 1 5a 10 1 8a 78 1 10a 5分 令t a 则有1 3 1 t 40 1 5t 2 6 1 5t 10 1 8t 78 1 10t 整理 得10t2 t 0 解得t1 0 t2 0 1 a1 0 不符合题意 舍去 a2 10 a 10 10分 解题要领 本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用 解题的关键是 根据点的坐标 利用待定系数法求出函数表达式 找准等量关系 正确列出一元二次方程 9 2018 宁夏 某企业2018年初获利润300万元 到2020年初计划利润达到507万元 设这两年的年利润平均增长率为x 应列方程是 A 300 1 x 507B 300 1 x 2 507C 300 1 x 300 1 x 2 507D 300 300 1 x 300 1 x 2 507 10 2018 大连 如图 有一张矩形纸片 长10cm 宽6cm 在它的四角各减去一个同样的小正方形 然后折叠成一个无盖的长方体纸盒 若纸盒的底面 图中阴影部分 面积是32cm2 求剪去的小正方形的边长 设剪去的小正方形边长是xcm 根据题意可列方程为 A 10 6 4 6x 32B 10 2x 6 2x 32C 10 x 6 x 32D 10 6 4x2 32 B B 11 因国际马拉松赛事即将在某市举行 某商场预计销售一种印有该市设计的马拉松图标的T恤 定价为60元 每天大约可卖出300件 经市场调查 每降价1元 每天可多卖出20件 已知这种T恤的进价为40元一件 在鼓励大量销售的前提下 商场还想获得每天6080元的利润 应将销售单价定位在多少元 解 设降低了x元 则每天销售 300 20 x 件 根据题意 得 60 40 x 300 20 x 6080 化简 得x2 5x 4 0 解得x1 1 x2 4 要求销售量大 x 4 60 x 56 答 应将销售单价定位在56元 件 12 2018 德州 为积极响应新旧动能转换 提高公司经济效益 某科技公司近期研发出一种新型高科技设备 每台设备成本价为30万元 经过市场调研发现 每台售价为40万元时 年销售量为600台 每台售价为45万元时 年销售量为550台 假定该设备的年销售量y 单位 台 和销售单价x 单位 万元 成一次函数关系 1 求年销售量y与销售单价x的函数表达式 2 设此设备的销售单价为x万元 台 则每台设备的利润为 x 30 万元 销售数量为 10 x 1000 台 根据题意 得 x 30 10 x 1000 10000 整理 得x2 130 x 4000 0 解得x1 50 x2 80 此设备的销售单价不得高于70万元 x 50 答 该设备的销售单价应是50万元 台 2 根据相关规定 此设备的销售单价不得高于70万元 如果该公司想获得10000万元的年利润 则该设备的销售单价应是多少万元