小学数学中若干科学性问题的探讨.doc

小学数学中若干科学性问题的探讨张奠宙一、“分数”的份数定义需要修改，突出引进“新”数的意义许多小学数学教材和教案，都把分数定义为：“把一个整体平均分以后，表示其中一份或几份的数叫分数。”这个定义含混不清，表示“一份或几份”的数，究竟是自然数还是分数？分数是自然数的扩展，对学生来说，是要认识一种“新”的数。任何“数”都是表示数量大小的。因此，我建议分数的定义中加“大小”两个字，即：将一个整体平均分之后，表示其中一份或几份的“大小”的数，叫做分数。二、估算的基础是精确计算，没有精确度的估算是“胡算”小学不要过分强调估算。精确计算是基础，估算只是辅助。从数学上看，估算必须有精确度的标准。没有精确度的估算是胡算、瞎算。小学的估算不可能正面谈近似计算，也不宜提精确度。那么应该如何处理呢？答案是：我们不可以笼统地、一般地谈估算，只能学习几种具体的估算方法，如四舍五入、截尾法、进位法等。具体的方法里已经有精确度的要求。此外，对一张上海南京路照片上密密麻麻淡然人头数目进行估计，乃是“估数”。这和前面“在算法上简化”的估算不是一回事。三、统计是新内容，许多教材内容不科学首先，关于数据的收集上有许多不确切的表述。现在强调联系学生的日常生活，教材要求学生做许多调查，收集数据，这是好事。但是出现的问题也不少。如：统计班级同学睡眠时间（学生不知道自己每天的准确睡眠时间，往往随便说。）统计去年过年收的贺卡数（学生根本没记录，即使记录了数据也早忘了，只能是胡编造数据。而且统计贺卡多少有何意义？是越多越好吗？）某地绿化亩数增加，于是降雨量增加（这样的数据之间是否存在着因果关系？难以判明。）四、大数的进率和数的读法，需要顾及国际化我国处理大数是四位一级制。这是中华民族的习惯，当然要学习。但是国际上通用的是三位一级制。我们的导向是和国际接轨，不放少量地介绍一下国际上三位一级制。这对英文教学也是一个数学上的铺垫。此外，在大数的读法上，也不能强求汉语的唯一读法。例如2010年，不必一定要读两千零一十年，直接读数字反而是常用的。五、小数教学的本质在于“位置计数法”的拓展，而不在“十分之几”的表述日常生活中小数比分数有用。学生离开学校后，如果只是简单地在社会上从事工作和生活，几乎可以不接触分数，却时时不能离开小数。元、角、分的货币自不必说老式的“几尺几寸、几斤几两”仍在使用。小数有自己的概念系统，不能也不必都依赖于分数的理解。小学教育界的流行观点是“小学数学要给予分数教学，否则是科学性错误”，未免耸人听闻。确实，小数乃是一种特殊的分数。理论上先出分数，再叙述其特殊情形小数，从一般到特殊，在逻辑上有一定道理。但在教学安排上却未必都从一般出发。事实上，我们也可以从特殊推广到一般，正如先有自然数，在逐步推广到分数、实数一样。在实际教学中，小数因其具体而易学，分数则因抽象而难以把握。因为小数有其独立的价值体系，所以可以独立于分数教学而存在。小数的本质在于“位置计数法”的拓展，而不在“”十分之几的表述。也就是说，小数是将个、十、百、千等不断扩大的位置计数方式，朝着另一个方向进行“不断缩小”的计数方式加以延伸：即增加了十分位、百分位等新位置的设置，使之成为更完善的一种位置计数制度。小数的教学，可以抓住这一总的线索展开。不要什么都回到分数意义上理解。六、什么是代数？只说字母代数是不够的。什么是方程？“含有未知数的等式叫方程”的定义要淡化代数学的原意是“还原与对消的科学”。什么叫做对消？大家知道有正负对消，就是解方程时所谓的移项。还原，就是把本来淹没在方程中的未知数x暴露出来，还原x的本来面目。所以方程式是和代数紧密联系的。简单用字母代表数，还不是代数。例如加法交换律写为a+b=b+a，虽然也用字母代表数却和代数思想方法没有关系。用字母代表数，即设某量为x这样的做法，只是运用代数方法的第一步。代数思想方法的核心是基于含有x的“式”的运算来求得未知数，最后解决数学问题。从数的运算到“式”的运算，是算术与代数的根本区别。“含有未知数的等式叫方程”，大家都把他当做方程的定义，以为非常正确。其实，这是一个不大好、也不重要的表述。把他过分地渲染，就会问“x=1是不是方程” “0x=0，x-x=0，a+b=b+a是不是方程”等这样的怪问题。其实这句话只谈了方程的表面，实在不重要。方程的本质是为了求未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等式关系。这样讲，就把“方程”说活了。这好比要结识“朋友”，就得通过别人介绍，借助中介关系，如此而已。现在，既然方程的本意就是要求未知数，如果x=1，未知数已经出来了，也就没有方程的问题了。0x=0，x-x=0，a+b=b+a等，虽然有字母，但和求未知数的目标无关，因而和方程只是没有关系。七、问题解决与应用题的教学在新课程改革中，以前特别熟悉的应用题不见了，取而代之的是解决问题，这在逻辑上说不通。事实上，数学问题分为两类：一类是纯数学问题，像哥德巴赫猜想等；另一类称为应用题，是各行各业提出来的数学问题。问题和应用题是严格的包含关系，不能用问题取代应用题。应用题是客观存在的，似乎不必回避。我们反对的是过去小学数学中那些“矫揉造作”的、远离现实的、使学生得不到什么教育的应用题。新的应用题，其情境更有真实性，方法上强调数学模型的建立。条件可以冗余，数据需要取舍，模型需要建立，结果需要验证。应用题可以改进，却不宜取消。数学应用题的本质是数学建模。把一个用文字叙述的复杂情境里的数量关系，用数学符号加以描述，并通过式的运算，得出满足问题条件的答案，这和高等数学中的数学建模程序大体相同。因此，我们要用数学建模的思想改造应用题教学，而不是取消。长期以来，为了强调某种关系的理解，我们常常强化某种类型的解题方法。如行程问题、工程问题等，弄得非常复杂，一直是小学数学教学的难点，也一直为大家所诟病。近年，则索性一刀切砍掉，全盘否定。不过进行这样的分类是正确现象。在微积分课程里要讨论瞬时速度问题、切线问题、曲线梯形问题，微分方程课程里有热传导方程、电磁波方程、等周问题、投影问题、掷骰子问题等，将一类情景中发生的问题给予特殊的名称，未尝不可。但是，作为一个研究领域来说，上述的问题都只是一个名称，未尝不可。但是作为一个研究领域来说，便于称呼而已，并非一个数学领域。比如行程问题，尽管题目花样翻新，也可以出的很难，但总不过是s=vt这样的数量关系的各种不同的变式。宏观地看，没有单独设立一个数学课题的必要。无论如何，以下的7种类型是应该正面提出的，让学生认真学习的。行程问题：路程=速度时间工程问题：工作量=工作时间工作效率价格问题：总价=单价数量利息问题：利息=本金利率利润问题：利润=成本利润率折扣问题：金额=价格折扣率百分数问题：数量=总量百分比其中涉及的利息、利润、速度、效率等概念，是生活需要的常识，又是语文、社会等其它学科不会详细涉及的。它们并非数学问题，却是小学数学应用题教学的任务，责无旁贷。八、小学几何有哪些新增的内容新课程在“图形与几何”的领域多了一些新的内容。为什么要增加？几何学的内容很丰富。首先是直观几何学，就是对平面图形、立体图形的认识；其次是一些求面积、体积的问题，属于度量几何。在新课标以前，小学数学主要包括这两部分内容。后来我们发现，大学数学的许多问题，它的原始思想是非常简单的、非常朴实而又非常重要的。于是就增加了以下三个方面的内容：第一演绎几何，比如垂直、平行、线段、射线这些名词都属于演绎几何的范畴；第二是运动几何的平移、旋转和对称；第三是引进了坐标。总体看来，现在小学数学里的几何学，从高哟取得两块扩大到五块，扩大了我们几何学的视野和感受，是十分有意义的改革。小学数学当中，直观几何最根本的或者最核心的内容就是用平面来描述立体。因为我们每个人所处的世界的事物都是立体的，但是留在眼睛视网膜上的、画在教科书上的都是平面的，因此，空间图形平面化，通过平面图形想象空间物体是直观几何的重要内容。新课标通过照相机从“不同角度拍照片“，通过三视图科学描述简单对象，都是如此。这里强调一下运动几何的诠释。小学里原来就有图形的运动。例如，求平行四边形的面积，要通过三角形的运动拼成矩形，这就是平移运动。面积是平移运动下的不变量。那么为什么在知道了平移和旋转之后，还要谈轴对称变化呢？可以从数学上思考这三者原始的价值。我们分几步考虑；（1）从一点到另一点的运动，只要知道方向和距离，用平移就能实现。（2）如果是两条一样长的有方向线段，如火柴棒，先将一根移动过去，使得火柴头和火柴头重合，但是火柴尾不一定重合，还得转一转才行。（3）如果是两个一模一样好的三角形ABC和A?B?C?，如何看它们的运动过程呢？首先，平移运动使得A和A?重合，然后转动，使得AB和A?B?重合。这时两个三角形可能已经重合了，但也可能不重合，还需要反射一下才行。因此，我们在平面上通过运动定义两个图形重合，需要平移、旋转、轴对称三种不同的变换。这三种变换及其合成，称之为“刚体运动”。九、小学里渗透平面坐标思想要“源于定位，但高于定位”这时坐标几何学的内容。新的数学课程标准，在小学里就引入了平面直角坐标系，不过只有第一象限，也只有整数坐标。那么小学数学的学习为什么要渗透平面坐标思想？很多的教案都认为，坐标的核心思想就是确定位置，其实不准确。学习坐标确定位置，好像用经纬线确定地球表面上的位置一样，是地理学的研究目标。数学课程中更重要的是用坐标来表示几何图形。小学数学中引入坐标系，学习的重点和难点是坐标系的建立，尤其是坐标原点的设置。许多教案从电影院找座位引入，当然可以，问题就在于这时的电影院排座位的坐标在哪里？第一排第一座是原点吗？可是我们还有0排0座怎么办？电影院若用单双号方法排座位，就无法设原点，也够不成熟学意义上的坐标轴。其实，还是把教室中座位排紧，可以构成符合坐标系要求的座位图。我们不妨设左上角为原点：0排0座。其它座位就都有（自然数排列）坐标了。如果将它定为第一排第一座，那就需要假想虚拟的原点和坐标轴。小学的坐标教学，既要基于“定位”，又要高于“定位”。用坐标来表示数学对象，才是我们的目标。例如，观察“两个坐标都一样点”“第一个坐标为1的点”等，他们都能表示一条直线。有些小学教材，就注意到用坐标来表示几何图形。比如，将只有第一象限、整数坐标的坐标系看作动物园所在地，已知熊猫馆是一个矩形，我们给出了其中三个坐标，让小学生确定第四点的坐标，就是凸显坐标的价值的好题。十、什么是面积、体积？不要求严密定义，但要突出面积、体积的特性小学教材中对面积和体积只是进行描述，不是严格定义。因为总是先有面积、体积的定义，才能谈面积、体积的大小。在严格的面积、体积的定义里不能出现“大小”这一词语。概念有两种，其中一种是生活中自然形成的，比如说面积、体积，大家都明白，不必给出严格的定义。把体积说成“占有空间的大小”，要理解什么是空间，比理解体积本身更困难，实际上是越解释越糊涂。数学教学应该进行一些教学实验，让学生体会面积、体积的一些特性。其中包括：*面积、体积是对一类几何图形而言的，都能对应一个数。（可测性）*边长为1的正方形的面积为1，棱长为1的正方体的体积为1。（正则性）*不相交的两个图形的面积（体积）是两个图形的面积（体积）之和。（有限可加性）*图形经过运动之后，其面积、体积不变。（运动不变性）*如果图形A包含图形B，那么图形A的面积（体积）大于图形B的面积（体积）。（顺序性）以上的面积、体积特性是容易接受的、日常生活中已经使用的公理性结论，又是严格的面积、体积公理的出发点。事实上，在求不规则图形的面积时，我们使用画方格的办法加以近似，仔细考察起来，其中的每一步都会用到上述这些特性。小学数学不必讲上述的几个特性，但应该通俗地指出来。十一、篮球是圆的吗？数学出版物上认为“篮球不是圆的”，既违背常识又失去了数学的精确性生活中的“圆的”和数学中的“圆”不是同一个概念。数学上的“圆”是名词，专指平面上与定点等距离的点的轨迹；生活中的“圆的”则是形容词，用来描述含有圆的成分的物体的形状。因为球、圆柱、圆锥的某些截面都含有圆的成分，因而可以用圆形来形容某些物体的形状。在这个意义上，篮球是圆的，轮胎是圆的，漏斗是圆的，因为都“含有圆的成分”，从而也都是正确的说法。请注意，圆形物体之所以被形容为“圆的”，其理由正是因为具有数学中“圆”的成分。把“圆的”和“圆”区别开来，说明彼此有区别又有联系，是“圆的认识”一课的教学任务。“圆的”和“圆”二者可以相容，并无矛盾，我们何必去否定它、自找麻烦呢？当然，如果说“篮球是圆、轮胎是圆、漏斗是圆”，那是不对的。十二、量一量、拼一拼不是数学证明，应该适度地区分数学上的演绎证明和物理学上的实验论证一个命题是否正确，需要论证和证明。论证和证明的方法很多，其目的都是为了使人确认命题的正确性。只要能够使人信服的论证都有其独特的价值。以下是我们经常使用的一些论证方法：*引用权威的话（如引用孔夫子的话来论证结论）。例如，我们会用刘徽的“割圆术”来论证圆周率。*举例说明。用几个正面的例子说明命题的正确性。例如，加法和乘法的交换律就是用例子来说明，使人信服而加以运用。*举不出反例。在论证中常常会反问“难道不是这样吗”加以论证。例如我们说：21的质因数是1、3、7、21，还有别的因数吗？举不出来，那就说明结论是正确的。*用类比、联想、描述等方法说明命题的合理性。比如，三角形内角和定理，可以解释为一支铅笔转了三个角，恰好掉了头，即旋转了180度，这样解释说明也会使人信服。*实验证明。通过可以重复的实验得到一些规律性的认识。对三角形内角和定理，小学就是用量一量、拼一拼的实验操作方法加以论证的。*演绎证明。从一些不证自明的公理出发，按照逻辑规则推演得出的结论。例如借助于平行公理和平行线性质定理证明三角形内角和定理。由此可见，论证的方法很多。数学证明，即演绎证明，是许多论证方法中的一种，数学证明并不能排斥其他的论证方式。但是，数学证明是保证绝对正确、令人毋庸置疑的一种思维形式。正因为数学证明的严谨性，数学课程就不进要求学生掌握数学知识，更重要的是理解数学证明的价值，以体验理性思维的深刻和完美。不过，数学证明虽好，却不是处处都能用的。许多命题无法用数学演绎的方法进行证明，只能用其他方法进行论证。(摘自小学教学2011.01.02.03期)