线性代数矩阵及其运算.ppt

第二章矩阵及其运算 Matrix Operation 矩阵是线性代数的一个主要研究对象 也是数学上的一个重要工具 矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学 人文科学 社会科学在内的各个领域 在矩阵理论中 矩阵的运算起着重要的作用 本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧 某班级同学早餐情况 这个数表反映了学生的早餐情况 为了方便 常用下面右边的数表表示 2 1 1矩阵的引入 1 定义2 1由m n个aij i 1 2 m j 1 2 n 排成的m行n列的数表 称m行n列矩阵 简称m n矩阵 记作 2 1 2矩阵的定义 2 说明 矩阵与行列式不同 形式不同矩阵的行列数可不同 但行列式必须行列数同 内容不同矩阵是一个数表 但行列式必是一个数 3 实矩阵 复矩阵 5 矩阵相等充要条件是 4 同型矩阵 两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵 2 1 2一些特殊矩阵 1 方阵若A为n行n列的矩阵 称A为n阶方阵 2 行矩阵 列矩阵 行矩阵只有一行的矩阵 列矩阵只有一列的矩矩阵 3 零矩阵 单位矩阵 n阶单位矩阵 4 对角矩阵与数量矩阵 5 上 下 三角形矩阵 2 2矩阵的运算 2 2 1 矩阵的加法与数乘 注 矩阵的加法只能在两个同型矩阵之间进行 两个矩阵相加时 对应元素进行相加 1 矩阵的加法 定义2 2 A aij B bij 2 矩阵的数乘定义2 3数 与矩阵 的乘积记为 A或A 并规定 负矩阵 A aij 减法 B B 3 矩阵线性运算律 1 A B B A 2 A B C A B C 3 A A O 4 1A A 5 kl A k lA 6 k l A kA lA 7 k A B kA kB 例1 若X满足 其中 求X 解X 2 2 2 矩阵的乘法 1 矩阵的乘法定义 定义2 5 设矩阵A为m s阶矩阵 矩阵B为s n阶矩阵 A aij m s B bij s n 则矩阵A与B的乘积为一m n阶矩阵C cij m n 记C AB 且 就是说 矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的所有元素与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和 例2计算 例3 非齐次线性方程组的矩阵表示 记 则非齐次线性方程组可简记为 关于矩阵乘法的注意事项 1 矩阵A与矩阵B做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等 2 矩阵的乘法中 必须注意矩阵相乘的顺序 AB是A左乘B的乘积 BA是A右乘B的乘积 2 矩阵乘法与加法满足的运算规律 3 AB与BA不一定同时会有意义 即是有意义 也不一定相等 4 AB O不一定有A O或B O A X Y O且A O也不可能一定有X Y 例4 定理2 1若矩阵A的第i行是零行 则乘积AB的第i行也是零 若矩阵B的第j行是零列 则乘积AB的第j列也是零 若A 或B 是零矩阵 则乘积AB也是零矩阵 例5设 求AB与BA 解 只有方阵 它的乘幂才有意义 由于矩阵的乘法满足结合律 而不满足交换律 因而有下面的式子 1 AnAm An m 2 An m Anm 3 AB k AkBk 3 矩阵的乘幂 设A是n阶方阵 定义 例6 解 4 方阵A的n次多项式 5 矩阵的转置定义2 6A的转置矩阵 记作AT 是将A的行列互换后所得矩阵如果A是一个m n阶矩阵 AT是一个n m阶矩阵 矩阵的转置的性质 证明 1 2 3 易证 下证明 4 设矩阵A为m s阶矩阵 矩阵B为s n阶矩阵 那么 AB T与BTAT是同型矩阵 又设C AB 因为CT的第i行第j列的元素正好是C的cji 即cji aj1b1i aj2b2i ajsbsi b1iaj1 b2iaj2 bsiajs而b1i b2i bsi正好是BT的第i行 aj1 aj2 ajs正好是AT的第j列 因此cji是BTAT的第i行第j列的元素 故 AB T ATBT 6 对称矩阵与反对称矩阵设A为n阶方阵 若AT A 即aij aji i j 1 2 n 称矩阵A为对称矩阵 若AT A 即aij aji i j 1 2 n 称矩阵A为反对称矩阵 如右边的矩阵A为对称矩阵 7 方阵的行列式 1 方阵A的行列式 记为 A 或detA 注意 行列式与方阵是两个不同的概念 且它们的记号也是不同的 2 方阵的行列式满足以下运算规律 设A B为n阶方阵 为实数 1 伴随矩阵 设A aij n n 矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵 8 再讲几类特殊的矩阵 称矩阵A的伴随矩阵 记为A 矩阵运算举例 设对于n阶方阵A 若存在n阶方阵B使得AB BA E恒成立 则称矩阵A可逆或满秩矩阵 或非奇异矩阵 B称为A的逆矩阵 记为A 1 B 1 若矩阵A可逆 则A的逆矩阵是唯一的 证明 设A有两个逆矩阵B1 B2 则B1 B1E B1 AB2 B1A B2 EB2 B2 1 可逆矩阵的定义 定义2 8 2 可逆矩阵的唯一性 存在性及性质 证明 充分性由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有 AA A A A E 又 A 0 2 定理2 2A可逆的充要条件是 A 0 且A可逆时有 3 对于n阶方阵A B若有AB E则 A B均可逆 且它们互为可逆矩阵 证明 AB E A B 1故 A 0且 B 0 A B均可逆 又BA BABB 1 BB 1 E 故A 1 B 必要性证明 A可逆 AA 1 A 1A E故 A A 1 1 即 A 0 A可逆 同时还有 奇异矩阵与非奇异矩阵 若n方阵 的行列式 A 0 称矩阵A为非奇异矩阵 否则矩阵A称为奇异矩阵 4 逆矩阵的性质如果A B均可逆 那么AT与AB都可逆 且 A 1 1 A AT 1 A 1 T AB 1 B 1A 1 kB 1 k 1A 1 k为非零 A 1 A 1证明 A B均可逆 AA 1 A 1A E故 AA 1 T A 1 TAT ET E AT 1 A 1 T同理 AB B 1A 1 B 1A 1 AB E A 1 1A 1 有关逆矩阵例题 本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法 即矩阵的分块 将矩阵A用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵 每一个小矩阵称为矩阵A的子块 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 特别在运算中 把这些小矩阵当做一个数来处理 2 4分块矩阵 即Aij与Bij有相同的列数与行数 则 A与B的和就是以Aij与Bij为元素的形式矩阵相加 2 4 1分块矩阵的加法 设矩阵A 矩阵B为 2 4 2分块矩阵的乘法 设矩阵Am n Bn p且矩阵A列的分法与矩阵B的行的分法相同 2 4 3分块矩阵的转置 它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵 而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵 则称A为准对角矩阵 或对角块矩阵 对于准对角矩阵 有以下运算性质 若A与B是具有相同分块的准对角矩阵 且设 2 4 4准对角矩阵若矩阵A的分块矩阵具有以下形式 则 若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆 则矩阵A也可逆 且 2 4 5矩阵分块的应用 2 4 6矩阵按列分块 1 矩阵按列分块 2 线性方程组的系数矩阵按列分块后线性方程组的等价形式 如果把系数矩阵A按列分成n块 则线性方程组可记作 2 5初等变换与初等矩阵 2 5 1矩阵的初等变换 Elementaryoperation 1初等变换定义 定下面的三种变换称为矩阵的初等变换 i 对调两行 ii 以非0数乘以某一行的所有元素 iii 把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去把定义中的 行 换成 列 即得矩阵的初等列变换的定义 矩阵的初等行变换和初等列变换 统称为初等变换 显然 每一种初等变换都是可逆的 并且其逆变换也是同一种初等变换 例18设 1 用行初等变换把A化为阶梯形 进一步化为行标准形 2 再用列初等变换把A化为标准形 解 1 行阶梯形 2行阶梯形矩阵 定义2 11一个矩阵称为行阶梯形矩阵 如果从第一行起 每行第一个非零元素前面零的个数逐行增加 一旦出现零行 则后面各行 如果有的话 都是零行 如下面的阶梯形矩阵 行标准型 下面形式的矩阵称为行标准型 下面形式的矩阵称为标准型 3 定理2 3 设A是一个m行n列矩阵 通过行初等变换可以把A化为如下行标准型 4定理矩阵A可经初等变换化为标准形 1 已知分别将A的第一 二行互换和将A的第一列的 2倍加到第二列 求出相应的初等矩阵 并用矩阵乘法将这两种变换表示出来 解交换A的第一 二行 可用二阶初等矩阵左乘A 将A的第一列的 2倍加到第二列 即用三阶初等矩阵右乘A 2 5 2初等矩阵 1 初等矩阵的定义 定义2 12 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 对应于三种行初等变换 可以得到三种行初等矩阵 人们从大量的实际计算中发现 对经过一次初等变换等同于对矩阵左乘或右乘一个适当的矩阵 此矩阵就是下面的所谓初等矩阵 对于n阶单位矩阵I 交换E的第行 得到的初等矩阵记作 2 用非零数k乘以I的第行 得到的初等矩阵记作 3 将I的第行的倍加到第行 得到的初等矩阵记作 4 同样用列初等变换可以得到相应的的初等矩阵 2 初等矩阵之间的关系 3 可以直接验证 初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵 4 初等矩阵与初等变换之间的关系 1 先看下面的例题 1 行初等矩阵左乘矩阵 3 列初等矩阵右乘矩阵 2 结论 定理2 4A为矩阵 对A进行初等行变换等同于用相应的行初等矩阵左乘A 对A进列变换等同于用相应的列初等矩阵右乘A 5 矩阵等价 定义2 13若矩阵A经过行 列 初等变换可化为B则称A与B行 列 等价 若矩阵A经过初等变换可化为B则称A与B等价 6 初等矩阵可逆性 初等矩阵是可逆的 且有 7 结论 定理2 6可逆矩阵A可表示为有限个初等矩阵的积 进一步可以表示为有限个行初等矩阵的积 也可以表示为有限个列初等矩阵的积 证明 因为任意矩阵A 有行 列初等矩阵 使得 因A可逆 所以A的标准形中不可能有零行 从而r n 即有 于是有 证毕 初等矩阵的逆还是初等矩阵 故A初等矩阵的积 又行初等矩阵与列初等矩阵可以互换 故A可以是行初等矩阵的积或列初等矩阵的积 定理2 5矩阵A与B等价当且仅当存在可逆的P与Q 使得PAQ B 特别地 矩阵A等价于A的标准形 证明 初等矩阵的积是可逆 任何矩阵一定可以经过初等变换化为标准形 可逆矩阵一定可以表成有限初等矩阵的积 8 可逆矩阵的逆的求法 A可逆 则有行初等行矩阵 使得 则有 记 则有行初等矩阵 使得 上面的推导 提供了一种新的求矩阵的简单方法 举例如下 例4求A的逆矩阵 例5求A的逆矩阵 解 2 6矩阵的秩 2 6 1矩阵的秩的概念 Rankofamatrix 1 定义在m n矩阵A中 任取k行k列 k m k n 位于这些行列交叉处的k2个元素 不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式 2 定义2 14如果矩阵A有一个不等于零的r阶子式D 并且所有的r 1阶子式 如果有的话 全为零 则称D为矩阵A的最高阶非零子式 称r为矩阵A的秩 记为R A r 并规定零矩阵的秩等于零 4 由矩阵的秩的定义易得 1 矩阵A的秩既不超过行数也不超过列数 2 矩阵A的秩等于矩阵A的转置矩阵的秩 不为零的常数k与矩阵A的积的秩等于矩阵A的秩 3 n阶矩阵A的秩等于n充要条件是A为可逆矩阵 满秩矩阵 4 若A有一个r阶子式不等于零 则r A 大于等于r 若A所有一个r 1阶子式等于零 则r A 小于等于r 例20求下列矩阵的秩 解 A是一个阶梯型矩阵 容易看出 A中有一个三阶子式不为0 而所有的四阶子式全为0 故R A 3 对于B 可以验证R B 2 因为中有一个二阶子式不为0 而所有的三阶子式 四个 全为0 2 6 2用初等变换求矩阵的秩 定理2 7初等变换不改变矩阵的秩 证明从前面的讨论显然有上面的结论 从上面的例题很容易看出 阶梯型矩阵的秩易求 因此我们用初等变换方法求矩阵的秩 例21用初等变换求下列矩阵的秩 故A的秩为3 定理2 8设矩阵A 可逆的P与Q 则 r PA r A 2 6 3矩阵秩的不等式 r AQ r A r PAQ r A 证明从前面的讨论显然有上面的结论 以下结论很重要 会经常应用 定理2 9两个矩阵积的秩不超过每个因子的秩 设A是m n矩阵 B是n k矩阵 则 证明设r A r 由定理2 5可逆的P与Q 使得 于是 将 分块 于是有 再由定理2 8 有 同理可证 定理2 10 Sylvester公式 A是m n矩阵 B是n k矩阵 则 特别 定理2 11A B是m n矩阵 则 证明 将A B排成m 2n的矩阵 则有 由定理2 9有 综上 有 由定理2 7 例22设A为n阶幂等矩阵 即 证明 证明 由 有 由定理2 10 有 另一方面 由定理2 11 有 故有