高中物理“万有引力与航天”教学研究.doc

专题讲座高中物理“万有引力与航天”教学研究 李春鹰（北京市第八一中学，高级教师） 第一部分 本主题的学科知识的深层次理解 一、知识结构二、地位与作用 在学习万有引力之前，学生对力、质量、速度、加速度、向心力、向心加速度等概念有较好的理解，并且掌握自由落体、抛体和匀速圆周运动的运动学规律，能熟练运用牛顿运动定律解决动力学问题。可以说，万有引力定律的学习对于运动和力这部分知识起到进一步深化和综合运用的作用。 本专题渗透解决问题的主要方法：理想模型、利用数学工具解决物理问题（推理、估算）、曲线运动处理问题的方法、将不易测量的物理量转化为易测量的物理量、利用牛顿第二定律解决天体问题。 通过万有引力定律的发现过程及其定律的应用的教学，激发学生的好奇心和学习兴趣，体会科学研究方法对人们认识自然的重要作用，体会科学定律对人类探索未知世界的作用。培养学生良好思维习惯的形成。 第二部分 本主题的教学策略 一、万有引力定律的建立过程的教学设计 建议在教学中，通过启发式的设问，激发学生的兴趣与想像力，体会科学家们实事求是的态度、勇于探索的科学精神推动了认识发展。 （一）人类对行星运动认识的发展过程 （二）追寻牛顿的足迹万有引力发现的过程 重视演绎推理，培养学生的良好的思维习惯。 （三）月地检验 这个大胆的想法如何由事实检验？ 用数据说明上述设想的正确性，牛顿的大胆设想经受了事实的检验。至此，平方反比律已经扩展到太阳与行星间、地球与月球间、地球与地面物体间。 总结万有引力的发现过程，你从中受到什么启示？ 使学生体会：物理学的许多重大理论的发现，不是简单的实验结果的总结，它需要直觉和想像力、大胆的猜想和假设，再引入合理的模型，深刻的洞察力、严谨的数学处理和逻辑思维，常常是一个充满曲折和艰辛的过程。 二、万有引力定律的理解及应用 （一）理解万有引力（画出草图，具体说明） 1. 力是相互的 M 与 m 的受到的 万有引力力大小相等、反向相反。 2. 对质点的理解体现在： rR ， Rm 的半径， r=R+h 3. G 是引力常量，适用于任何两个物体；它在数值上等于两个质量都是 1kg 的物体相距 1m 时的相互作用力。 根据学生情况介绍引力常量的测定 卡文迪许扭秤实验。 引力常数的普适性成为万有引力定律正确性的见证引力；常量的测定使万有引力定律有了实际的意义。 4. 为什么我们感觉不到旁边同学的引力呢？ 下面我们粗略地来计算一下两个质量为 50kg ，相距 0.5m 的人之间的引力？（为什么说是粗略？） F=GMm/R2 =6.6710-7 N 那么太阳与地球之间的万有引力又是多大？ 已知：太阳的质量为 M=2.0 1030kg ，地球质量为 m=5.9 1024 kg ，日地之间的距离为 R=1.51011 m 则 F=GMm/R2 =3.51023 N 通过学生计算得出：引力在天体与天体间，天体与物体间比较显著，但通常物体间的引力可忽略不计。 （二） 万有引力与重力 学生们在初中学习重力的定义是：由于地球的吸引而使物体受到的力，学完万有引力后要使学生明确万有引力与重力的关系。 通过计算得出，由于随地球自转的向心加速度很小，在地球表面的物体， F万 FN ，则 F万 G 。 结论： 1. 重力是万有引力的一个分力，重力与万有引力无论大小还是方向都相差不多，不考虑地球自转，万有引力等于重力。 2. 随着纬度而升高，重力加速度逐渐增大。 （三）万有引力定律的应用 设置几个问题，在具体情境下引导学生思维，要求学生画出草图，确定研究对象，建立模型，规范解题。 问题 1 ：现有下列器材：测力计、天平。 请设计称量地球质量的实验方案。（地球半径已知） 问题 2 ： 在高山上的重力加速度和地球表面一样吗？距离地面高为 h 的地方重力加速 度 g 是 多少呢？ 问题 3 ：在不同星体表面，重力加速度是否相等？ 问题 4 ：地球的质量你能测出来，那么太阳的质量你能用同样的方法测出来吗？ 问题 5 ：用问题 4 的方法能否测出地球的质量？ 问题 6 ：知道环绕体的线速度 v 、轨道半径 r ，能不能求出中心 天体的质量？ 问题 7 ：如何求出月球及其它行星的质量？ 求中心天体质量的解题思路 万有引力提供向心力： r 与 T 是一一对应的关系。 用测定环绕天体（如卫星）的轨道和周期方法测量天体的质量，不能测定环绕天体的质量，只能求中心天体的质量。 重力近似等于万有引力： r 与 g 是一一对应的关系。 （ 2 ） G=F ， 随着高度的增加，重力加速 度逐渐减小。 三、宇宙速度 （一） 引入宇宙速度的概念 站在高山上，水平抛出一个物体，当速度逐渐增大，结合动画，模拟物体运动的轨迹，并用学过的知识解释：物体抛出时，加速度一样大，速度越大飞的越远。由此得出三个宇宙速度。 物体抛出时的速度 v 运动情况 v 7.9km /s 物体落回地面 v= 7.9km /s 物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动 7.9km /s v 11.2km /s 物体绕地球运转，运动轨迹是椭圆。 11.2km /s v 16.7km /s 物体绕太阳运动 16.7km /s v 物体飞出太阳系 （二） 求第一宇宙速度的思路 地球半径为 R ，质量为 M ，地面附近的重力加速度为 g ，万有引力常量为 G ，则靠近地面运转的人造地球卫星环绕速度 ? 建立模型：卫星绕地球做匀速圆周运动 介绍近地卫星：近地卫星在 100 -200km 的高度飞行，与地球半径 6400km 相比完全可以说是在地面附近飞行。 基本思路 1 ：万有引力提供向心力 通过练习不仅掌握求第一宇宙速度的思路，也要练习数学估算的方法。 讨论：不同天体的第一宇宙速度相同吗？ 已知地球是月球质量的 81 倍，地球半径为月球半径的 3.8 倍，在地球表面上发射卫星，至少需要 7.9km /s 的速度，求在月球上发射一颗环绕月球表面运行的飞行物至少需要多大的速度？ 说明：第一宇宙速度是由中心天体的质量 M 、半径 R 决定的；练习利用比值的方法求解。 四、人造地球卫星 按照知识的难易程度及同学们的认知规律设置几个问题。 问题 1 、卫星的轨道圆心在哪儿？ 由卫星的运动状态匀速圆周运动引导学生进行分析得出：所有卫星的轨道圆心都在地心上，并判断卫星的轨道，介绍不同轨道不同用途的卫星。 问题 2 、两颗人造地球卫星，都在圆形轨道上运行，它们的质量相等，轨道半径不同，比较它们的向心加速度 an 、线速度 v 、角速度 、周期 T 。 结合动画模拟不同轨道卫星的运动情况 画出草图 建立模型 设地球质量为 M ，地球半径为 R ， 卫星距地面高为 h ，卫星质量为 m 列方程推导 结论：随 h 增大， an 减小， v 减小， 减小， T 增大。 说明： 若两颗人造地球卫星的质量不等相等，结论不变，向心加速度 an 、线速度 v 、角速度 、周期 T 只由轨道半径 r 决定，只是向心力不能确定。 若卫星在近地轨道上运行，则有 h=0 （ rR ）是环绕地球运行的最大速度即也是第一宇宙速度。 问题 3 、若有一颗卫星相对地球静止，你能否形象的描述它的轨道？ 结合动画模拟同步卫星的运动情况，是学生有感性认识，然后讨论得出所有同步卫星都具有如下特点：只能分布在一个确定的赤道轨道上。 周期与地球自转的周期相同， T 24h 。 通过计算得出：离地面高度： h= 36000km 。线速度： v = 3.1km /s 。 问题 4 、如何发射同步卫星？ 结合动画模拟同步卫星的发射过程，用学过的知识引导学生分析几个问题： （ 1 ）不同轨道的同一点速度大小与轨道的关系。 （ 2 ）卫星的轨道是椭圆轨道，如何比较各点的速度。 （ 3 ）不同的圆轨道，轨道半径越大速度越小，机械能也越小吗？为什么？ 第三部分 常见的错误与问题的分析与解决策略 一、物理题当成数学题做 例 1 、对于万有引力定律的表达式 下面说法中正确的是： A 公式中 G 为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的 B 当 r 趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C m1 与 m2 受到的引力总是大小相等的，与 m1 、 m2 是否相等无关 D m1 与 m2 受到的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力 学生认为 B 也对，实际对万有引力定律的没有考虑适用条件或对质点的概念理解不到位造成的，通过分析使学生明确使用物理公式及规律首先要使用的条件及范围。 例 2 、 a 、 b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是 R 和 2R(R 为地球半径 ). 下列说法中正确的是 ( ) A a 、 b 向心力之比 1 ： 3 B a 、 b 的线速度大小之比是 1 C a 、 b 的周期之比是 1 2D a 、 b 的向心加速度大小之比是 9 4 错解（ 1 ）乱套公式用运动学公式 F=mV2 /r 、 V=2 r/T- （ 2 ）不画草图，没有好的解题习惯误认为 ra ： rb =1 ： 2 解决策略：教师进行板演要规范并本专题开始教学对学生提出要求：明确物理情景，画出草图选好研究对象，根据运动状态选物理规律列方程。 例 3 、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道 1 ，然后经点火，使其沿椭圆轨道 2 运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道 3 ，轨道 1 、 2 相切于 Q 点，轨道 2 、 3 相切于 P 点，如图所示。则在卫星分别在 1 、 2 、 3 轨道上 正常运行时，以下说法正确的是： A 卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 1 上的速率。 B 卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点时的速度。 C 卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点时的加速度。 D 卫星在轨道 2 上经过 P 点时的加速度等于它在轨道 3 上经过 P 点时的加速度。 比较轨道 1 上经过 Q 点时的速度和轨道 2 上经过 Q 点时的速度只能用物体做离心、向心运动的条件，因为同一点 Q ，同一物体的向心力相同。 C 选项错误。根据牛顿第二定律可得 ，即卫星的加速度 a 只与卫星到地心的距离 r 有关，所以 C 选项错误， D 选项正确。 二、不分中心天体 一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为 g 0 ，行星的质量 M 与卫星的质量 m 之比 M / m= 81 ，行星的半径 R0 与卫星的半径 R 之比 R0 / R 3.6 ，行星与卫星之间的距离 r 与行星的半径 R0 之比 r / R0 60 。设卫星表面的重力加速度为 g ，则在卫星表面有 经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的 1/3600 。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。 解析：题中所列关于 g 的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。正确的解法 是 即 g = 0.16 g0 。 教学策略：画出草图，确定研究对象的中心天体，即明确是哪个天体对卫星的万有引力其主要作用。 三、混淆连续物和卫星群 例、根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群。可测出环中各层的线速度 V 与该层到土星中心的距离 R 之间的关系。 下列判断正确的是： A 若 V 与 R 成正比，则环为连续物； B 若 V2 与 R 成正比，则环为小卫星群； C 若 V 与 R 成反比，则环为连续物； D 若 V2 与 R 成反比，则环为小卫星群。 错解：选 BD 。 分析纠错：连续物是指和天体连在一起的物体，其角速度和天体相同，其线速度 V 与 r 成正比。而对卫星来讲，其线速度 ，即 V 与 r 的平方根成反比。由上面分析可知，连续物线速度与 r 成正比；小卫星群 V2 与 R 成反比。故选 AD 。 四、混淆稳定运动和变轨运动 例、如图所示， a 、 b 、 c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的 3 颗卫星，下列说法正确的是： A b 、 c 的线速度大小相等，且大于 a 的线速度； B b 、 c 的向心加速度大小相等，且大于 a 的向心加速度； C c 加速可追上同一轨道上的 b ， b 减速可等候同一轨道上的 c ； D a 卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。 错解： c 加速可追上 b ，错选 C 。 分析纠错：因为 b 、 c 在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等。又 b 、 c 轨道半径大于 a 的轨道半径，由 知， Vb=VcVa ，故 A 选项错；由加速度 a=GM/r2 可知 ab=acaa ，故 B 选项错。当 c 加速时， c 受到的万有引力 Fmv2 /r ， 故它将偏离原轨道做向心运动。 所以无论如何 c 也追不上 b ， b 也等不到 c ，故 C 选项错。对这一选项，不能用 来分析 b 、 c 轨道半径的变化情况。对 a 卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视为稳定运行，由 知， r 减小时 V 逐渐增大，故 D 正确。 第四部分 学习目标检测 1. 2009 年 2 月 11 日 ，俄罗斯的 “ 宇宙 -2251” 卫星和美国的 “ 铱 -33” 卫星在西伯利亚上空约 805km 处发生碰撞。 这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（ D ） A. 甲的运行周期一定比乙的长 B ： 甲距地面的高度一定比乙的高 C. 甲的向心力一定比乙的小 D. 甲的加速度一定比乙的大 2 . 在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（ A ） A 它们的质量可能不同 B 它们的速度可能不同 C 它们的向心加速度可能不同 D 它们离地心的距离可能不同 解析：同步卫星绕地球近似作匀速圆周运动所需的向心力由同步卫星的地球间的万有引力提供。设地球的质量为 M ，同步卫星的质量为 m ，地球半径为 R ，同步卫星距离地面的高度为 h ，由 F 引 = F 向 ， ，可见同步卫星离地心的距离是一定的。 由以上各式均可看出地球同步卫星的除质量可以不同外，其它物理量值都应是固定的。所以正确选项为 A 。 点评：需要特别提出的是：地球同步卫星的有关知识必须引起高度重视，因为在高考试题中多次出现。所谓地球同步卫星，是相对地面静止的且和地球有相同周期、角速度的卫星。其运行轨道与赤道平面重合。 3 . 已知地球半径 R 6.4 106 m ，地面附近重力加速度 g = 9.8 m /s2 ，计算在距离地面高为 h 2 106 m 的圆形轨道上的卫星做匀速率圆周运动的线速度 v 和周期 T 。 解析：卫星做圆周运动的向心力是它与地球间的万有引力，即 点评：在已知地球半径和地面附近重力加速度的情况下，可以使用变换 GM g R2 ，使计算变得简单，也称其为黄金代换。 4 . 把地球绕太阳公转看作匀速率圆周运动，轨道平均半径约为 1.5 108 km ，已知万有引力常量 G 6.6710-11 Nm2 /kg2 ，则可估算出太阳的质量大约是多少 kg ？（结果取一位有效数字） 解析： 题干给出地球轨道半径： r=1.5 108 km ，虽没直接给出地球运转周期数值，但日常知识告诉我们：地球绕太阳公转一周为 365 天，故周期 T 365243600 3.2107 s 点评： 在一些天体运行方面的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以利用 . 如在地球表面物体受到地球的引力近似等于重力 . 地面附近的重力加速度 g 9.8 m /s2 ；地球自转周期 T =24h ，公转周期 T 365 天，月球绕地球运动的周期约为 27 天等。 本方法利用的是卫星运动的有关参量（如 r 、 T ），求出的质量 M 是中心天体的，而不是卫星本身质量 m ，同学们应切记这一点。 本题要求结果保留一位有效数字，有效数字运算规则告诉我们：在代入数据运算时，只要按四舍五入的方法代入二位（比要求多保留一位）有效数字即可，这样可避免无意义的冗长计算，最后在运算结果中，再按四舍五入保留到所要求的一位即可，望同学们体会运用。 5 . 有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的 4 倍，则该星球的质量将是地球质量的（ D ） 点评：比值解题的前提对物理情景明确，找出两个过程的关系，是学生学习的难点，要多加练习。 6 . 一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现：（ B ） A 速度变小； B 动能增大； C 角速度变小； D 半径变大。 错解：当卫星受到阻力作用时，由于卫星克服阻力做功，故动能减小，速度变小，为了继续环绕地球，由于卫星速度 可知， V 减小则半径 R 必增大，又因 ，故 变小，可见应该选 A 、 C 、 D 。 分析纠错：当卫星受到阻力作用后，其总机械能要减小，卫星必定只能降至低轨道上飞行，故 R 减小。由 可知， V 要增大，动能、角速度也要增大。可见只有 B 选项正确。 7 . 宇航员在月球上将一小石块水平抛出，最后落在月球表面上 . 如果已知月球半径 R ，万有引力常量 G. 要估算月球质量，还需测量出小石块运动的物理量是 ( B ) A. 抛出的高度 h 和水平位移 xB. 抛出的高度 h 和运动时间 t C. 水平位移 x 和运动时间 t D. 抛出的高度 h 和抛出点到落地点的距离 L 解析： 点评：天体表面的抛体运动经常与万有引力定律结合来求解围绕天体做匀速圆周运动物体的有关物理量，解决问题的办法是通过抛体运动求天体表面的重力加速度，再根据万有引力定律求 T 、 、天体质量或密度 . 也可以先根据万有引力定律求重力加速度，再分析抛体运动。 8 . 在天体运动中，将两颗彼此距离较近的 行星称为双星，由于两星间的引 力等于向心力而使它们在运动中距离保持不变，已知两个行星的质量分别为 M1 、 M2 ，相距为 L ，求它们的角速度。 解析：如图 44 2 所示，设 M1 的轨道半径为 r1 ， M2 的轨道半径为 r2 ，两个行星都绕 O 点做匀速圆周运动的角速度为 ；由于两个行星之间的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有 点评：双星之间的万有引力大小相等，方向相反，这两个行星之所以能在引力作用下不相互靠近而保持距离不变，是因为它们都绕着二者联线上的同一点 ( 质心 ) 做匀速圆周运动，并且它们的角速度相同这就是双星的物理模型。