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中考热点专题讲练-数与式（二）山东 李其明专讲一：代数式1整体动向：用字母与代数式表示数量关系的过程中，体会字母表示数的意义以及实际问题抽象成数学问题的“数学建模”思想；通过本章的学习，可以更好地培养你的探索精神，发展你的符号感，运用符号解决问题的能力，进行判断和推理的能力以及符号运算的能力2重点、难点、疑点学习代数式要注意以下几点：（1）代数式是用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，不含有等号或不等号，单独的一个数或字母，也是代数式（2）书写代数式要规范，尤其是有乘法或除法运算时，要按规定规范书写（3）表示代数式的意义时，实际问题中的字母和数要有意义，符合实际，其中的运算要正确表述其运算结果及运算顺序（4）列代数式的关键在于仔细审题，弄清题中的数量关系和运算顺序，在实际问题中列代数式，要弄清楚各量之间的关系式3思想方法用字母表示数的特点(）任意性：字母可任意表示数或式；（）限制性：字母取值应使具体代数式有意义，如中，a（）确定性：字母取值一旦确定，代数式的值也随之确定（）抽象性：字母取代数更准确地反映事物的规律，更具一般性，如用2n(n为整数)表示偶数等4典例剖析例1（2006年汉川市）观察下列各式：0，x，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，。试按此规律写出的第10个式子是 。析解：由所式子观察规律：系数为：前两项系数的和为后一项的系数，指数为（n-1），所以第10项为：34x9例2（2006年南昌市）用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 张（2）第n个图案中有白色纸片 张析解：由观察知：第1个图案有白色纸片4张，第2个图案有白色纸片7张，即后一个都比前一个多3张，所以第4个图案中有白色纸片13张，第n个图案中有白色纸片（3n+1）张，答案应是：(1)13；(2)3n+l专练一：1扑克牌游戏小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步 分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步 从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步 从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步 左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌的张数是 2（2006年威海市）标价为x元的某件商品，按标价八折出售仍能盈利b元，已知该件商品的进价为a元，则x等于 （A） （B） （C） （D）3（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n的“F”运算：当n为奇数时，结果为3n5；当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行例如，取n26，则：26134411第一次F第二次F第三次F若n449，则第449次“F运算”的结果是_4（2006年维坊市）1883年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集上图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段时，余下的所有线段的长度之和为专讲二：整式1整体动向：整式的有关概念与运算、求代数式的值、乘法公式的应用、整式的恒等变形的技能技巧等是整式部分的重要考点，试题多为选择填空等基本题；因式分解则是必考考点，题目难度中等，因式分解的思想方法还常常渗透在其他题目的解答中2重点、难点、疑点（1）整式的有关概念：单项式、多项式、同类项（2）整式的有关运算：整式的加减：合并同类项，有括号要先去括号整式的乘除：幂的运算法则、单项式相乘、多项式与单项式相乘、多项式与多项式相乘、单项式相除、多项式除以单项式、乘法公式（平方差公式和完全平方公式）（3）因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式分解因式注意事项：要正确理解分解因式的概念，必须注意以下几点：分解因式的对象必须是多项式，如把分解成就不是因式分解，因为不是多项式；再如：把分解为也不是因式分解，因为是分式，不是整式分解因式的结果必须是积的形式，如就不是因式分解，因为结果不是积的形式分解因式结果中每个因式都必须是整式，如：就不是因式分解，因为是分式，不是整式 搞清分解因式与整式乘法的关系分解因式与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，例如：分解因式整式乘法 因此，我们可以利用整式乘法来检验分解因式的结果是否正确注意掌握分解因式的一般方法（提公因式法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而把多项式化成两个整式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法这种方法实质上是逆用乘法分配律运用公式法把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解，这种分解因式的方法叫运用公式法平方差公式，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积完全平方公式，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方 注意分解因式的一般步骤对于一个多项式，首先观察能否提公因式，再看可否利用公式法分解分解因式必须分解到每个多项式不能再分解为止为了便于记忆请同学们记住以下“顺口溜”：“因式分解并不难，首先提取公因式，然后考虑用公式，两种方法反复试，结果必是连乘积”，请同学们还要注意“反复试”的目的，就一直分解到每个因式都不能再分解为止，然后检查分解因式的结果是否正确，也可以简记为“一提二公三查”3思想方法本专题涉及到分类、换元、类比、归纳、猜想、数形结合等数学思想方法，试题中常渗透着对学生运算能力、观察能力、分析能力、语言文字表达能力以及抽象概括问题的能力的考查4典例剖析例1（2006年益阳）有一串单项式：，（1）你能说出它们的规律是什么吗？（2）写出第2006个单项式；（3）写出第n个，第（n+1）个单项式分析：本题是一般性的探索性问题，较简单，只要经过观察、分析、比较、类比、归纳等探索大会就能找出规律来解：（1）每个单项式的系数的绝对值与x的指数相等；奇数项系数为负；偶数项系数为正；（2）；（3）当n为为奇数时，第n个单项式为，第（n+1）个单项式为；当n为为偶数时，第n个单项式为，第（n+1）个单项式为评注：新课程的基本理念体现在以学生发展为本，同时要求学生在学习实践中应发挥学生的自主性、能动性和创造性例2（嘉兴市）一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（）A.x3xx(x21)B.x22xyy2(xy)2C.x2yxy2xy(xy)D.x2y2(xy)(xy)分析利用因式分解的基本方法和一般步骤去判断.解：对于B、C、D分解都是正确的，只有A，分解时没有分解到最后一步，即x21还可以继续分解，所以A做得不够完整.故应选A.评注：本题主要考察学生灵活地进行因式分解的能力。例3（2006年南昌市）计算：分析：本题只要按照平方差公式和完全平方公式展开计算即可解：原式= = = 评注:此题要掌握和区分平方差公式和完全平方公式,才能较容易做出此题, 还要注意去括号、去符号的处理.专练二：1（2006年浙江省）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平分差，那么称这个正整数为“神秘数”如：， ， ，因此4，12，20都是“神秘数”（1）28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方数（取正数）是神秘数吗？为什么？2（2006年威海市）在多项式加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么所添加的单项式还可以是 3（2006年临安市）阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为的三边，且满足，试判断的形状。解： 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；（2）错误的原因为： ；（3）本题正确的结论为： 4李老师给学生出了一道题：当a=0.35，b= -0.28时，求的值题目出完后，小聪说：“老师给的条件a=0.35，b= -0.28是多余的”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的”你认为他们谁说的有道理？为什么？专讲三：分式1整体动向：作为数与代数的基础内容，分式仍然是中考命题的一个重要考点，但新课程克服了过去繁难偏旧运算的考查，而注重分式概念与运算的思想方法的考查，因此近年来各地直接考查分式运算的题型有减少的趋势，但对新情境下分式知识与方法的灵活运用的题型考查逐步增多，这也中考的新亮点2重点、难点、疑点（1）分式的有关概念要把握好分式的两个特征：分式是两个整式的商，其中分子是被除式，分母是除式，而分数线则可理解为除号，这是分式的形式特征；分式的分子可含字母，也可不含字母，但分母必须含有字母，这是区分整式和分式的根本特征这两个特征是判断一个有理式是分式的标准，要认真把握好还要明确分母不能为零是分式概念的重要组成部分分式表示所得的商所以，分母的值不能为零，否则分式无意义不能将分式无意义与分式的值为零相混淆要明确分式的值为零以分式有意义为前提，是分式有意义的一种特殊情形分式无意义分母的值为零；分式有意义分母的值不为零；分式的值为零分子为零且分母不为零（2）分式的基本性质分式的基本性质是：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变即，（M是不等于0的整式）学习时要注意：理解分式基本性质的实质是恒等变形，即“形”变而“分式的值”不变，不能等同于等式的性质明确基本性质中的“都”与“同”的含义，否则容易漏乘（3）分式的运算约分：约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分分式约分的依据：分式的基本性质分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）分式的乘法：乘法法测：=.分式的除法：除法法则：=分式的乘方：求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是()n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：()n=(n为正整数) 分式的加减：同分母的分式相加减的法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示是：=（其中a、b既可以是数，也可以是整式，c是含有字母的非零的整式）.异分母的分式相加减：异分母的分式的加减法转化成同分母分式的加减法.3思想方法因式分解与整式的运算是分式运算的基础，类比与化归、整体代换思想是学习与冀教分式问题的重要方法4典例剖析例1（1）（2006年南平市）当 时，分式有意义（2）（2006年南昌市）若分式的值为零，则x的值为 分析：首先要考虑使分式有意义的条件是什么？使分式的值为零的条件是什么？解：使分式有意义的条件是分母的值为零，所以当x+10，即x-1时，分式有意义；使分式值为零的条件是分式分子的值不能为零，分母的值不等于零，所以当，且x+10，即x=1时，分式的值为零。例2（2006年芜湖市）计算：分析：本题是异分母分式的加减运算，只要按照运算法则进行就可以了解：原式=说明：当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分注意对分子、分母符号的处理例3（2006年常德市）先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的的值代入求值分析：本题只要先将代数式化简，再选取一个使原式有意义的，你喜欢的的值代入求值即可解：原式=，当x=0时，原式=1说明：你所选的你喜欢的的值一定要使使原式有意义，本题只要不取-1或+1即可专练三：1（2006年义乌市）已知分式的值是零，那么x的值是（ ）A-1B0C1D2（2006年湖州市）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）A、 B、 C、D、3（2006年长春市）计算：4（2006年鸡西市）先化简(1+)，再选择一个恰当的x值代人并求值福州请在下面“、”中分别填入适当的代数式，使等式成立： + =5（2006年威海市）先化简，再求值：，其中a =6（2006年张家界市）已知分式：，下面三个结论：，相等，互为相反数，互为倒数，请问哪个正确？为什么？7（2006年泉洲市）先化简下列代数式，再求值：，其中（结果精确到0.01）.专讲四：根式1整体动向：根式的知识点是新课程的基本考查内容之一，去除了繁难偏旧的题型，一般要求不高，常常以客观题形式进行考查，重点要求熟练掌握基本运算2重点、难点、疑点平方根与算术平方根的区别与联系（1）区别定义不同：如果=a，那么x叫a的平方根；如果=a且x0，那么x就叫a的算术平方根，即正数a的正的平方根个数不同：一个正数有两个平方根，它们是互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个且是正数表示方法不同：正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示为结果性质不同：非负数的算术平方根一定是非负数；非负数的平方根则是一对相反数平方根等于它本身的数是0，而算术平方根等于它本身的数是0或1（2）联系包含关系：平方根包含算术平方根；算术平方根是平方根中的一个存在条件：平方根和算术平方根都只有非负数才具有运算关系：求平方根和算术平方根都是开平方运算且都是平方运算的逆运算零的平方根也是零的算术平方根二次根式运算问题：性质：；（a0）运算法则：法则：（a0，b0）；（a0，b0），如计算：=运算律：和实数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用，如：=，=（）=；+=（2+3）=3思想方法本专题涉及到了类比、归纳、猜想、数形结合等数学思想方法、对学生运算能力、分析能力、抽象概括问题等方面的能力有较高的要求4典例剖析例1已知，求的值评析：化简求值题是常考题型之一，它往往要求的是先化简所给的式子，再将数值代入求值；有时不但要化简、变形所给的代数式而且还要化简所给的条件，本类型题目方法灵活多变，技巧性较强，有时较难，希望同学们多加练习例2用计算器探索：=？=？=？ 由此猜想= 。评析：新教材要求学生会使用计算器计算一类数字运算题。对于本题，考生要观察题中所给数据的特殊性，即121（1+2+1）=112=（112）=22，12321（1+2+3+2+1）=1113=（1113）=333，1234321（1+2+3+4+3+2+1）=11114=（11114）=4444，由此猜想：1234567654321（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1）=7777777=7777777专练四：1（2006年芜湖市）16的平方根是（ ）A、4 B、4 C、-4 D、82（2006年临安市）化简的结果是（ ） A2 B2 C2 D43（2006年东营市）下列计算正确的是 （A） （B）=1（C） （D）4（2006年荆门市）当m0时,化简的结果是( )(A)-1. (B)1. (C)m. (D)-m.5（2006年荆门市）设=a,=b,用含a,b的式了表示,则下列表示正确的是( )(A)0.3ab. (B)3ab. (C)0.1ab2. (D)0.1a2b.6（2006年荆门市）化简:=_参考答案专练一：15；2B；38；4专练二：1解：28=47=；2012=4503=所以是神秘数；（2）因此由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数（3）由（2）知神秘数可表示为4的倍数但一定不是8的倍数因为两个连续奇数为2k+1和2k-1则，即两个连续奇数的平方差不是神秘数2所添加的单项式是、1，等中的任何一个3解：本题重点考查因式分解的有关知识，只要认真阅读，问题便不难解决，答案为：(1) C；(2)没有考虑； (3)4解：原式=，合并得结果为0，与a、b的取值无关，所以小明说的有道理专练三：1C；2A；3x-2；4X+1；5，；6解：互为相反数正确，因为：7原式=，当时，原式= =1.65专练四：1B；2C；3A；4A；5A；62