空间向量数量积运算.ppt

复习 如果一个物体在力F的作用下产生位移s 那么力F所作的功 为了在数学中体现 功 的这样一个标量 我们引入了 数量积 的概念 1 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量 则叫做的数量积 记作 即 A B 向量的夹角 B 4 平面向量的夹角 复习 2 平面向量的数量积的主要性质设a b是两个非零向量 1 a ba b 0数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件 2 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 用于计算向量的模 3 用于计算向量的夹角 3 平面向量数量积满足的运算律 1 交换律 2 对数乘的结合律 3 分配律 数量积不满足结合律 即 3 1 3空间向量的数量积运算 知识要点 1 两个向量的夹角的定义如图 已知两个非零向量a b 在空间任取一点O 可以作OA a OB b 则角 AOB叫做向量a与b的夹角 记作 a b 1 空间两个向量的夹角的定义 思考 1 a b 与 b a 相等吗 2 a b 与 a b 相等吗 注意 a b b a a b a b 3 1 3空间向量的数量积运算 2 两个向量的数量积 注 两个向量的数量积是数量 而不是向量 零向量与任意向量的数量积等于零 3 空间向量的数量积性质 对于非零向量 有 求角的依据 证明垂直的依据 求向量的长度的依据 4 空间向量的数量积满足的运算律 下列命题成立吗 若 则 若 则 思考 1 向量a b之间的夹角为30 且 a 3 b 4 则a b a2 a 2b a b 范围 0 a b 在这个规定下 两个向量的夹角就被唯一确定了 并且 a b b a 如果 a b 2 则称a与b互相垂直 并记作a b 题型一利用数量积求夹角 如图 在空间四边形OABC中 OA 8 AB 6 AC 4 BC 5 OAC 45 OAB 60 求OA与BC所成角的余弦值 例1 2 空间向量数量积的定义设OA a 则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模 记作 a 已知空间两个非零向量 则叫做的数量积 记作 即 1 两个向量的数量积是数量 而不是向量 2 规定 零向量与任意向量的数量积等于零 3 若m n是平面 内的两条相交直线 且l m l n 则l l m n 4 线面垂直的判定定理 必修2 1 2006年四川卷 如图 已知正六边形P1P2P3P4P5P6 下列向量的数量积中最大的是 A B C D A 解析 如图 已知正六边形P1P2P3P4P5P6 设边长则 P2P1P3 6 数量积中最大的是 1 已知向量a b满足 a 1 b 2 a b 3 则 a b 1 填空 1 方法一 发现 a b 2 a b 2 2 a 2 b 2 带入求得 有其他方法吗 方法二 由 a b 2 a 2 2a b b 2带入求得a b 2 a b 2 a 2 2a b b 2得 a b 1方法三 数形结合法 发现形的特殊性 2 已知则a b所成的夹角为 分析 根据两向量夹角公式 可得到所求结果 2 选择设a b c是任意的非零空间向量 且相互不共线 则 a b c c a b 0 a b a b b c a c a b不与c垂直 3a 2b 3a 2b 9 a 2 4 b 2中 真命题是 A B C D D