全等三角形作辅助线经典例题.doc

全等三角形作辅助线经典例题常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.2：如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3：如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.中考应用1、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0AD+AE.五、旋转1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 2：D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1）当绕点D转动时，求证DE=DF。（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。3.如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；中考应用：1、已知四边形中，：，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于（1）当绕点旋转到时（如图1），易证（2）当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图1）（图2）（图3）2、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q= （用、L表示）六、构造全等例1： 已知：如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC的中点，CEAD于E，交AB于F，连接DF求证：ADC=BDF2如图，ABC中，AB=AC，过点A作GEBC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明 3已知ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G求证：EG=GF 4 已知：ABC中，BD=CD，12求证：AD平分BAC说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等（2）利用角的平分线构造全等三角形：过角平分线上一点作两边的垂线段练习：如图22，ABCD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分ABC、BCD求证：AE=ED以角的平分线为对称轴构造对称图形例： 如图，在ABC中，AD平分BAC，C=2B求证：AB=AC+CD分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就可以了延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例： 如图，在ABC中，AD平分BAC，CEAD于E求证：ACE=B+ECD分析：注意到AD平分BAC，CEAD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图，在ABC中，AD平分BAC，过点D作DEAB，DE交AC于点E易证AED是等腰三角形因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形 例 如图，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，DEBD于D，交BC于点E求证：CD=BE练习：1如图，在ABC中，B=90，AD为BAC的平分线，DFAC于F，DE=DC求证：BE=CF 2已知：如图，AD是ABC的中线，DEAB于E，DFAC于F，且BE=CF求证：（1）AD是BAC的平分线；（2）AB=AC 3在ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q求证：AB+BP=BQ+AQ 4如图，在ABC中，AD平分BAC，AB=AC+CD求证：C=2B 5已知，E为ABC的A的平分线AD上一点，ABAC求证：AB-ACEB-EC 6如图，在四边形ABCD中，BCBA，AD=CD，BD平分ABC 求证：A+C=1807如图所示，已知ADBC，1=2，3=4，直线DC过点E作交AD于点D，交BC于点C求证：AD+BC=AB 8已知，如图，ABC中，ABC=90，AB=BC，AE是A的平分线，CDAE于D求证：CD=AE 9ABC中，AB=AC，A=100，BD是B的平分线求证：AD+BD=BC 10如图36，B和C的平分线相交于点F，过点F作DEBC交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（）A9 B8 C7 D6 11如图，ABC中，AD平分BAC，AD交BC于点D，且D是BC的中点求证：AB=AC 12已知：如图，ABC中，AD是BAC的平分线，E是BC的中点，EFAD，交AB于M，交CA的延长线于F求证：BM=CF 1.如图，在RtABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且DAE=450，将ADC绕点A顺时针旋转900后，得到AFB，连接，下列结论：（）；（）；（）；（）其中正确的是（）A（2）（4） B（1）(4) C(2) (3) D(1) (3)2.在ABC中，AB6，AC8，BC10，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 3.如图，在等腰梯形ABCD中，C=60，ADBC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P .（1）求证：AF=BE；（2）请你猜测BPF的度数，并证明你的结论 .4.已知：如图，在ABC中，ACB=，于点D,点E 在AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F .求证：AB=FC5如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是ABC的平分线，AFDC，连接AC、CF，求证：CA是DCF的平分线.6.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：(1)求证：EAF = 45o ; (2)ECF的周长是否有变化？请说明理由.7.如图，ABC中，ABC=BAC=45，点P在AB上，ADCP，BECP，垂足分别为D、E ，已知DC=2，求BE的长。ABCDEF8如图，在矩形ABCD中，AE平分DAB交DC于点E，连接BE，过E作EFBE交AD于E.(1)DEF和CBE相等吗？请说明理由；来源:学。科。网(2)请找出图中与EB相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由.9.将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如图所示的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上。（1）求证：ABED。（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。10.如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=ECD=900，D为AB边上一点。求证：（1）ACEBCD； （2）。11已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45时,求AB及PD的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.