空间解析几何与向量代数(同济六版).ppt

第八章空间解析几何与向量代数 目录上页下页返回结束 向量代数 平面与直线 空间曲线与曲面 曲线与曲面表示法 向量 向量运算 加减法 数量积 向量积 向量 空间直角坐标系 平面 法向量 直线 方向向量 距离 夹角 目录上页下页返回结束 1向量及其线性运算 2数量积 向量积 3平面及其方程 4空间直线及其方程 5曲面及其方程 6空间曲线及其方程 目录上页下页返回结束 第一次课 四 利用坐标作向量的线性运算 一 向量的概念 二 向量的线性运算 三 空间直角坐标系 五 向量的模 方向角 投影 1向量及其线性运算 2 向量的大小 模 1 向量 又称矢量 既有大小 又有方向的量称为向量 4 单位向量 3 零向量 一 向量的概念 方向任意 记为 5 平行向量 方向相同 或相反 零向量与任何向量平行 6 相等向量 大小相等 方向相同 目录上页下页返回结束 二 向量的线性运算 1 向量的加减法 三角形法则 1 加法 平行四边形法则 3 加法满足交换律 结合律见P2 2 三角形法则可推广到多个向量相加 4 减法 5 三角不等式 目录上页下页返回结束 2 向量与数的乘法 1 定义 向量与数 的乘法记为 2 向量与数的乘法满足结合律 分配律 见P4 4 定理1 1 设 则 目录上页下页返回结束 5 与同向的单位向量为 解 如图M为四边形ABCD对角线的交点 则 由已知 所以 所以ABCD为平行四边形 目录上页下页返回结束 三 空间直角坐标系 坐标原点 坐标轴 横轴 纵轴 竖轴 坐标面 卦限 八个 zox面 1 空间直角坐标系 右手系 目录上页下页返回结束 向径 在直角坐标系下 坐标轴上的点P Q R 坐标面上的点A B C 点M 特殊点的坐标 原点O 0 0 0 称为点M的坐标 目录上页下页返回结束 坐标轴 坐标面 目录上页下页返回结束 2 向量的坐标表示 1 设点M x y z 则 分别表示坐标轴x y z上的单位向量 目录上页下页返回结束 四 利用坐标作向量的线性运算 1 设 为实数 则 目录上页下页返回结束 2 已知两点 则 3 平行向量对应坐标成比例 例2 P8例2 目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束 例3 已知两点 及实数 1 在直线AB上求一点M 使 解 设M的坐标为 如图所示 由已知 由 得定比分点公式 当 1时 点M为AB的中点 于是 得中点公式 目录上页下页返回结束 五 向量的模 方向角 投影 1 向量的模 设 则由勾股定理得有 设A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 则 2 两点间的距离公式 例 P10例4 5 6 目录上页下页返回结束 3 方向角与方向余弦 1 夹角 2 方向角 向量与三坐标轴的夹角 称为方向角 的方向余弦 3 方向余弦 目录上页下页返回结束 例4 P11例8 方法2 设 则由 目录上页下页返回结束 4 向量在轴上的投影 1 定义 过M作平面 交轴于 设轴上的单位向量为 则 称为 在上的投影 记为 注 投影 是一个数 当与同向时为正 反向时为负 目录上页下页返回结束 2 向量在轴上的投影 则 3 投影的性质 目录上页下页返回结束 作业 P12Ex8 14 5 11 12 14 17 19 目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束 第二次课 2数量积 向量积 一 数量积 的数量积等于两向量的长度与它们夹 1 De2 1 角的余弦的乘积 记为 即 2 由投影性质 目录上页下页返回结束 3 性质 1 1 1 0 0 0 0 0 0 5 运算规律 见P14 15 例5 P15例1 目录上页下页返回结束 6 数量积的坐标表示法 设 特别 则 目录上页下页返回结束 5 向量夹角余弦的坐标表达式 例6 P16例2 目录上页下页返回结束 例7 试在所确定的平面内找一个与垂直的 解 由于 故与确定一个平面 设 单位向量 其中 取 1 则 3 故所求的单位向量 目录上页下页返回结束 二 向量积 的向量积是满足下列条件的一个向量 1 De2 2 2 性质 记为 与都垂直 构成右手系 有一个为零向量 目录上页下页返回结束 4 运算规律 目录上页下页返回结束 5 向量积的坐标表示法 设 则 目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束 解 可取 例8 求与都垂直的单位向量 其中 故所求的单位向量 例9 P19例5 作业 P22Ex8 21 3 6 7 8 目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束 第三次课 3平面及其方程 一 点法式平面方程 给出平面 上一点P0 x0 y0 z0 及垂直于 1 引例1 平面 的一个向量 解 设P x y z 为 上任意一点 则 由题意有 目录上页下页返回结束 已知点 x0 y0 z0 A B C 则 2 点法式平面方程 例 P38例1 例10 P38例2 点法式方程 目录上页下页返回结束 平面一般方程 二 平面的一般方程 将点法式方程进行化简并合并同类项 得 说明 D 0 过原点 A 0 平行于x轴 B 0 平行于y轴 C 0 平行于z轴 对于 法向量 z轴 z轴上的所有向量 例11 P40例3 目录上页下页返回结束 三 截距式平面方程 设 与x y z轴的截距分别为a b c 即 1 引例2 P a 0 0 Q 0 b 0 R 0 0 c 解 设 将P Q R代入得 求平面 的方程 截距式平面方程 目录上页下页返回结束 例11 求过点 解 P1 1 0 1 P2 2 1 3 且与向量 平行的平面方程 又过点P1 1 0 1 所以 即 目录上页下页返回结束 三 两平面的夹角 两平面法向量的夹角 锐角 1 De2 3 目录上页下页返回结束 2 性质 例 P41例5 例12 P41例6 目录上页下页返回结束 四 点到平面的距离 求P0到 的距离P0N 引例3 任取 则由数量积的性质 目录上页下页返回结束 内容小结 1 平面基本方程 一般式 点法式 截距式 目录上页下页返回结束 2 点到平面的距离 3 平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直 平行 夹角公式 目录上页下页返回结束 作业 P42Ex8 51 2 3 4 单数 5 7 9 目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束 第四次课 4空间直线及其方程 一 直线的一般方程 两平面的交线 二 直线的对称式方程与参数方程 引例 求过点M0 x0 y0 z0 且与向量 在L上任取一点M x y z 平行的直线方程L 目录上页下页返回结束 1 对称式方程 由 则对应元素成比例 即 1 当分母有一个为0时 分子也为0 对称式方程 2 当分母有两个为0时 另一个分子任意 例如 例如 目录上页下页返回结束 2 参数方程 令 参数方程 1 方向 则 3 说明 称为方向向量 2 m n p称为直线L的一组方向数 L方向余弦 3 的方向余弦 称为直线 目录上页下页返回结束 直线方程L为 例13 求过点P0 1 0 2 且垂直于平面 x y 3z 1 0 的直线方程L 解 设 的法向量 由 从而可取 目录上页下页返回结束 例14 将直线L 化为对称式方程 解 设 由 1 1的交线均垂直于 故可取直线L的 目录上页下页返回结束 不妨取 在L上任取一点 不妨取z 0 则 L上一点M0 1 2 0 L的对称式方程为 例14 将直线L 化为对称式方程 目录上页下页返回结束 例15 求过点P0 1 4 3 且与L1 都垂直的直线方程L L2 解 L1的方向向量 L2的方向向量 L的方向向量 L的直线方程 目录上页下页返回结束 三 两直线的夹角 1 计算公式 设 例16 P47例4 例17 P47例5 两直线方向向量的夹角 例 P45例2 目录上页下页返回结束 2 性质 目录上页下页返回结束 四 直线与平面的夹角 直线与它在平面上投影直线的夹角 L的方向向量 的法向量 设 目录上页下页返回结束 取 的距离 过P0作 L 交L于N 解 例18 求过点P0 1 1 1 到直线 令 则 代入到 中得t 1 N 0 0 2 P0到L的距离 将t 1代入 得 例19 P47例6 目录上页下页返回结束 五 平面束方程 设 作 则称 为过L的平面束方程 该方程为过L但除 2 的所有平面方程 例20 P48例7 1 空间直线方程 一般式 对称式 参数式 内容小结 目录上页下页返回结束 直线 2 线与线的关系 直线 夹角公式 目录上页下页返回结束 平面 L L 夹角公式 3 面与线间的关系 直线 目录上页下页返回结束 作业 P49Ex8 61 2 3 5 7 8 11 13 15 目录上页下页返回结束 课堂练习 目录上页下页返回结束 第五次课 5曲面及其方程 一 曲面方程的定义 二 一些特殊的曲面方程 三 二次曲面 目录上页下页返回结束 一 曲面方程的定义 设动点P x y z 组成的曲面S与三元方程 2 不在S上的任意点都不满足 F x y z 0 有如下关系 1 S上的任意一点P都满足方程 则称 为S的方程 目录上页下页返回结束 二 一些特殊的曲面方程 1 球面 与定点M0 x0 y0 z0 保持距离为R的点 的轨迹称为球 设轨迹上的点P x y z 则 2 旋转曲面 定义 一条平面曲线绕其 平面上一条定直线旋转一周 所形成的曲面叫做旋转曲面 该定直线称为旋转轴 例如 目录上页下页返回结束 故旋转曲面方程为 当绕z轴旋转时 若点 则有 则有 该点转到 1 yoz面内曲线C f y z 0 y 0 绕z轴旋转 一周后所得的曲面方程 目录上页下页返回结束 3 xoy面内曲线C f x y 0绕x轴旋转一周后 所得的曲面方程 4 xoy面内曲线C f x y 0绕y轴旋转一周后 所得的曲面方程 2 yoz面内曲线C f y z 0绕y轴旋转一周后 所得的曲面方程 目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束 3 柱面 平行于定直线 并沿着曲线C移动的直线 L形成的轨迹叫柱面 平行于z轴 圆柱面 抛物柱面 平行于x轴 平行于y轴 三 二次曲面 三元二次方程 其基本类型有 椭球面 抛物面 双曲面 锥面 的图形通常为二次曲面 二次项系数不全为0 目录上页下页返回结束 1 椭球面 1 范围 2 与坐标面的交线 椭圆 目录上页下页返回结束 2 圆锥面 椭圆锥面 y z绕着z轴旋转一周而得的曲面 a b为正数 在平面z t上的截痕为圆 在平面z t上的截痕为椭圆 直纹面 目录上页下页返回结束 1 单叶双曲面 a b c为正数 直纹面 3 双曲面 目录上页下页返回结束 2 双叶双曲面 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别 双曲线 1单叶双曲面 1双叶双曲面 a b c为正数 在平面y y1上的截痕为 在平面x x1上的截痕为 在平面z z1 z1 c 上的截痕为 目录上页下页返回结束 4 抛物面 1 椭圆抛物面 2 双曲抛物面 鞍形曲面 特别 当a b时为绕z轴的旋转抛物面 目录上页下页返回结束 作业 P31Ex8 31 2 5 6 8 1 3 目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束 5空间曲线及其方程 一 空间曲线的一般方程 二 空间曲线的参数方程 三 空间曲线在坐标面上的投影 一 空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线 其一般方程为方程组 目录上页下页返回结束 C 表示圆柱面与平面的交线 例21 画出下列曲线 目录上页下页返回结束 表示上半球面与圆柱面的交线C 目录上页下页返回结束 目录上页下页返回结束 P37题1 1 P37题1 2 目录上页下页返回结束 P37题1 3 目录上页下页返回结束 P37题2 1 思考 当 b 3时 交线情况如何 P37题2 2 对平面y b 当 b 3时 交线情况如何 目录上页下页返回结束 二 空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x y z表示成参数t的函数 称为空间曲线的参数方程 例如 圆柱螺旋线 的参数方程为 当 2 时上升高度 称为螺距 目录上页下页返回结束 例22 将曲线化为参数方程 解 根据第一方程引入参数 代入到第二个方程得 所以参数方程为 目录上页下页返回结束 三 空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 消去z得投影柱面 则C在xoy面上的投影曲线C 为 消去x得C在yoz面上的投影曲线方程 消去y得C在zox面上的投影曲线方程 目录上页下页返回结束 例23 求下列曲线的投影曲线方程 在xoy面上的投影曲线方程为 目录上页下页返回结束 所围圆域 在xoy面上的投影曲线方程为 目录上页下页返回结束 P37题7 目录上页下页返回结束 4 求曲线 绕z轴旋转的曲面与平面 的交线在xoy平面的投影曲线方程 解 旋转曲面方程为 交线为 此曲线向xoy面的投影柱面方程为 此曲线在xoy面上的投影曲线方程为 它与所给平面的 目录上页下页返回结束 作业 Ex8 44 5 1