高中数学利用定积分证明数列和型不等式.doc

利用定积分证明数列和型不等式湖北省阳新县高级中学邹生书我们把形如(为常数)或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.一、(为常数)型例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)已知正整数，求证.分析这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解.证明构造函数并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函数图象可知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图1即，因为，所以.所以.例2求证.证明构造函数，又，而函数在上是凹函数，由图象知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图2即，所以.例3证明。证明构造函数，因，又其函数是凹函数，由图3可知，在区间上个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图3即.所以.二、型例4若，求证:.证明不等式链的左边是通项为的数列的前项之和，右边通项为的数列的前项之和，中间的可当作是某数列的前项之和.故只要证当时这三个数列的通项不等式成立即可.构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间，即，而，故不等式成立，从而所证不等式成立.图4例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数的图象在点处的切线方程为.（）用表示出；（）若在内恒成立，求的取值范围；（）证明:.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.证明（）不等式左边是通项为的数列的前项之和，我们也可把右边当作是通项为的数列的前项之和，则当时，此式适合，故只要证当时，即，也就是要证.由此构造函数，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面积，即.图5而，所以，故原不等式成立.点评本解法另辟蹊径，挖掘新的待证不等式左右两边的几何意义，通过构造函数利用定积分的几何意义来解决问题，解法虽然综合性强，但由于数形结合解法直观便于操作.积分法是在新课标下证明不等式的一个新方法新亮点，很值得品味.由例4例5可知，要解决这类复杂问题的关键是要善于联想善于分析问题和转化问题，这样才能化繁为简、化难为易，精彩的解法不是空穴来风而是理性思维的必然结果.作者简介：邹生书，男，1962年12月出生，湖北阳新县人.现任教于阳新县高级中学，中学数学高级教师，黄石市骨干教师.近四年来在数学通讯、数学通报、中学数学教学参考、中学数学教学、中学数学月刊、中学数学、中学教研、中学数学研究、中小学数学、高中数学教与学、中学生数学、河北理科教学研究、数理天地、数理化解题研究等近二十种期刊上发表教学教研文章百余篇，在人教网中学数学栏目发表文章二十多篇.