直线与平面垂直的判定定理.ppt

2 3 1直线与平面垂直的判定定理 复习引入 1 直线和平面的位置关系是什么 1 直线在平面内 无数个公共点 2 直线和平面相交 有且只有一个公共点 3 直线和平面平行 没有公共点 2 在直线和平面相交的位置关系中 有一种相交是很特殊的 我们把它叫做垂直相交 这节课我们重点来探究这种形式的线面相交 实例研探 探究 什么叫做直线和平面垂直呢 当直线与平面垂直时 此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢 生活中线面垂直的实例 旗杆与地面垂直 路灯与地面垂直 实例研探 探究 什么叫做直线和平面垂直呢 当直线与平面垂直时 此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢 生活中线面垂直的实例 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子 随着时间的变化 尽管影子的位置在移动 但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直 如图 事实上 旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的 1 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直 则称直线与平面互相垂直 记作 直线叫做平面的垂线 平面叫做直线的垂面 它们惟一的公共点P叫做垂足 画法 通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 1 直线与平面垂直的定义 注1 定义中的 任意一条直线 与 所有直线 是同义词 但与 无数条直线 不同 该定义作用 线面垂直 线线平行 这是判断两条直线垂直时经常使用的一种方法 即 辨析 1 能不能像判定直线与平面平行那样 利用直线与平面内的一条直线垂直来判定直线与平面垂直呢 有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢 探究 2 一条直线不行 那么又能不能像判断平面与平面平行那样 利用直线l与平面内两条直线m n都垂直来判定直线与平面垂直呢 当平面内m n平行的时候 这并不能判定l垂直于 有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢 活动 请同学们准备一块三角形的纸片 我们一起来做如图所示的试验 过 ABC的顶点A翻折纸片 得到折痕AD 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 BD DC与桌面接触 问 折痕AD与桌面垂直吗 如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直 探究 当且仅当折痕AD是BC边上的高时 AD所在直线与桌面所在平面垂直 1 定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 则这条直线垂直于这个平面 2 直线与平面垂直的判定定理 该定理作用 线线垂直 线面垂直 注2 该定理的条件中 平面内的两条相交直线 是关键性词语 不能用 两条直线 无数条直线 替换 即 应用该定理 关键是证明在平面 内有两条相交直线与已知直线垂直 至于这两条直线是否与已知直线有公共点则是无关紧要的 例如图 已知 求证 根据直线与平面垂直的定义知 证明 在平面内作两条相交直线m n 因为直线 例正方体中 求证 小结论 正方体中 面的对角线垂直于过另一条面的对角线的对角面 正方体中 异面的体对角线和面对角线互相垂直 练如图为直四棱柱 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱 其底面ABCD是一个菱形 求证 P66探究 直四棱柱中 底面四边形满足什么条件时 能使得 探究 课本P66 底面四边形的对角线互相垂直 3 直线和平面所成角 1 斜线 2 斜足 3 斜线在平面内的射影 和平面相交 但不垂直的直线叫做平面的斜线 斜线和平面相交的交点 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影 平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫做直线和平面所成的角 说明 若直线垂直平面 则直线和平面所成的角为90 若直线与平面平行或直线在平面内 则直线和平面所成的角为0 直线和平面所成角的取值范围为 0 90 例如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 求 1 直线A1B和平面BCC1B1所成的角 2 直线A1B和平面A1B1CD所成的角 O 分析 关键是找出平面BCC1B1和平面A1B1CD内的垂线 一 直线与平面垂直 1 定义 2 判定定理 3 线线垂直的常用证明方法 a 平面内的两直线 b 空间内的两直线 4 两条平行线垂直于同一个平面 垂直于同一一个面的两直线平行