中考数学复习 第一部分 中考基础复习 第四章 图形的认识 第2讲 三角形 第2课时 等腰三角形与直角三角形.ppt

第2课时 等腰三角形与直角三角形 1 理解等腰三角形的有关概念 探索并证明等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 底边上的高线 中线及顶角平分线重合 探索并掌握等腰三角形的判定定理 有两个底角相等的三角形是等腰三角形 2 探索等边三角形的性质定理 等边三角形的各角都等于60 探索等边三角形的判定定理 三个角都相等的三角形 或有一个角是60 的等腰三角形 是等边三角形 3 探索并证明角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 反之 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上 4 理解线段垂直平分线的概念 探索并证明线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 反之 到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 5 了解直角三角形的概念 探索并掌握直角三角形的性质定理 直角三角形的两个锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 掌握有两个角互余的三角形是直角三角形 6 探索勾股定理及其逆定理 并能运用它们解决一些简单 的实际问题 1 2017年浙江丽水 等腰三角形的一个内角为100 则顶 角的度数是 答案 100 2 2017年黑龙江绥化 在等腰三角形ABC中 AD BC交 答案 30 或150 或90 3 2017年浙江台州 如图4 2 26 点P是 AOB平分线上一点 PD OB 垂足为D 若PD 2 则点P到边OA的距 离是 图4 2 26 A 1 B 2 C D 4 答案 B 4 2017年江西 如图4 2 27中的图甲是一把园林剪刀 把它抽象为图乙 其中OA OB 若剪刀张开的角为30 则 A 度 图4 2 27答案 75 5 如图4 2 28 在 ABC中 AC BC C 90 D是AB的中点 DE DF 点E F分别在AC BC上 求证 DE DF 图4 2 28 解 如图D13 连接CD 图D13 C 90 D是AB的中点 AC BC CD AB ACD B 45 CDF BDF 90 ED DF EDF 90 EDC CDF 90 EDC BDF ECD FBD DE DF 续表 等腰 边 三角形的性质与判定 例1 2017年北京 如图4 2 29 在 ABC中 AB AC A 36 BD平分 ABC交AC于点D 求证 AD BC 图4 2 29 思路分析 由等腰三角形性质及三角形内角和定理 可求出 ABD A C BDC 再根据等角对等边 及等量代换即可求解 C BDC A ABD AD BD BC AD BC 名师点评 本题主要考查等腰三角形的性质 三角形的内角和定理 三角形的外角性质 邻补角的定义等 熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键 试题精选 1 2017年吉林 如图4 2 30 在 ABC中 以点B为圆心 以BA长为半径画弧交边BC于点D 连接AD 若 B 40 C 36 则 DAC的度数是 图4 2 30 A 70 B 44 C 34 D 24 答案 C 2 2017年湖北鄂州 如图4 2 31 AB CD E为CD上一点 射线EF经过点A EC EA 若 CAE 30 则 BAF 图4 2 31 A 30 B 40 C 50 D 60 答案 D 3 如图4 2 32 在 ABC中 AB AC AD是BC边上的 中线 BE AC于点E 求证 CBE BAD 图4 2 32 证明 AB AC AD是BC边上的中线 BE AC CBE C CAD C 90 CAD BAD CBE BAD 名师点评 解决与等腰三角形相关的计算问题时 一定要分清顶角和底角 底边和腰 适当情况下应该分类讨论 找出正确答案 证明两条线段 两个角相等的常用方法 若它们在同一个三角形中 可利用角证边或用边证角 若它们在不同的三角形中 则通过证两个三角形全等来实现 角平分线与垂直平分线例2 2017年湖北荆州 如图4 2 33 在 ABC中 AB AC A 30 AB的垂直平分线l交AC于点D 则 CBD的 度数为 图4 2 33A 30 B 45 C 50 D 75 思路分析 根据 等边对等角 及三角形的内角和定理 求出 C 再根据线段垂直平分线的性质 推得 A ABD 30 由外角的性质求出 BDC的度数 从而得出 CBD 45 解析 AB AC A 30 ABC ACB 75 AB的垂直平分线交AC于D AD BD A ABD 30 BDC 60 CBD 180 75 60 45 答案 B 例3 如图4 2 34 在 ABC中 CD平分 ACB交AB于点D DE AC于点E DF BC于点F 且BC 4 DE 2 则 BCD的面积是 图4 2 34 解析 CD是 ACB的平分线 DE AC DF BC DE DF 2 答案 4 易错陷阱 角平分线上的点到角的两边的距离相等 注意 必须是垂直距离 否则不成立 试题精选 4 2016年湖北黄石 如图4 2 35 线段AC的垂直平分线交 线段AB于点D A 50 则 BDC 图4 2 35A 50 B 100 C 120 D 130 答案 B 5 2016年浙江湖州 如图4 2 36 AB CD BP和CP分别平分 ABC和 DCB AD过点P 且与AB垂直 若AD 8 则 点P到BC的距离是 图4 2 36 A 8 B 6 C 4 D 2 答案 C 勾股定理及其应用例4 2017年湖北荆州 九章算术 中的 折竹抵地 问题 今有竹高一丈 末折抵地 去根六尺 问折高者几何 意思是 一根竹子 原高一丈 一丈 10尺 一阵风将竹子折断 其竹梢恰好抵地 抵地处离竹子底部6尺远 问折断处离地面的高度是多少 设折断处离地面的高度为x尺 则可列方程为 A x2 6 10 x 2B x2 62 10 x 2C x2 6 10 x 2D x2 62 10 x 2 思路分析 根据题意画出图形 设折断处离地面的高度 为x尺 再利用勾股定理列出方程即可 解析 如图4 2 37 设折断处离地面的高度为x尺 则AB 10 x BC 6 图4 2 37 在Rt ABC中 AC2 BC2 AB2 即x2 62 10 x 2 答案 D 试题精选 6 小明听说 武黄城际列车 已经开通 便设计了如下问题 如图4 2 38 以往从黄石A坐客车到武昌客运站B 现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C 再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B 设AB 80km BC 20km ABC 120 请你帮助小明解决以下问题 图4 2 38 1 求A C之间的距离 参考数据 4 6 2 若客车的平均速度是60km h 市内的公共汽车的平均速度为40km h 城际列车的平均速度为180km h 为了最短时间到达武昌客运站 小明应该选择哪种乘车方案 请说明理由 不计候车时间 解 1 过点C作AB的垂线 交AB的延长线于点E 如图 D14 图D14 选择先乘坐城际列车 再坐市内公共汽车的乘车方案 名师点评 解决直角三角形问题的关键 一是能熟练运用勾股定理及其逆定理分析与解决实际问题 二是解题时能灵活运用直角三角形的一些性质 如两锐角之间的关系 斜边与斜边上中线的关系 三是当几何问题中给出了线段长度时 往往要构造直角三角形 如勾股数或添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形 1 2014年广东 如图4 2 39 ABC绕点A顺时针旋转45 得到 AB C 若 BAC 90 AB AC 则图中阴影部分的面积等于 图4 2 39 图D15 2 2012年广东 如图4 2 40 在 ABC中 AB AC ABC 72 1 用直尺和圆规作 ABC的平分线BD交AC于点D 保 留作图痕迹 不要求写作法 2 在 1 中作出 ABC的平分线BD后 求 BDC的度数 图4 2 40 解 1 如图D16 BD即为所求 图D16 2 在 ABC中 AB AC ABC 72 A 180 2 ABC 180 144 36 BD是 ABC的平分线 BDC是 ABD的外角 BDC A ABD 36 36 72 3 2015年广东 如图4 2 41 在边长为6的正方形ABCD中 E是边CD的中点 将 ADE沿AE对折至 AFE 延长EF交边BC于点G 连接AG 求BG的长 图4 2 41 解 在正方形ABCD中 AD AB BC CD D B C 90 将 ADE沿AE对折至 AFE AD AF DE EF D AFE 90 AB AF B AFG 90 在Rt ABG和Rt AFG中 ABG AFG HL BG FG 设BG FG x 则GC 6 x E为CD的中点 CE EF DE 3 EG 3 x 在Rt CEG中 32 6 x 2 3 x 2 解得x 2 BG 2