泰安专版2019版中考数学第一部分基础知识过关第四章图形的初步认识与三角形第15讲全等三角形与尺规作图.ppt

第15讲全等三角形与尺规作图 总纲目录 泰安考情分析 基础知识过关 知识点一全等三角形的性质与判定 温馨提示判定两个三角形全等的条件中至少有一条边对应相等 知识点二角平分线的性质1 角平分线的性质定理 1 定理 角平分线上的点到角两边的距离 相等 如图 OP平分 AOB PD OA于点D PC OB于点C 则PC PD 2 逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在 角的平分线上 2 1 三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例 2 如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例 那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 知识点三线段垂直平分线的性质 定理 如图 线段AB的垂直平分线为直线MN 则有AM BM 推论 若AM BM 则点M在线段AB的垂直平分线上 知识点四三角形中位线定理三角形中 两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的一半 在这个定理中 包含两个结论 一个是位置关系的 平行 一个是数量关系的 相等 推论 经过三角形一边的中点 且平行于另一边的直线 必平分第三边 这条推论是应用三角形中位线定理添加辅助线的基础 定理 如图 ABC中 点D和点E分别是AB和AC的中点 则DE BC 且DE BC 推论 若点D为AB的中点 且DE BC 则E为AC的中点 且DE BC 知识点五尺规作图1 尺规作图 限定用直尺 没有刻度 和圆规作图 2 尺规作图的类型 泰安考点聚焦 考点一全等三角形的性质和判定中考解题指导全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边 对应角 对应中线 对应高 对应角平分线 周长 面积等之间的等量关系 属于泰安中考的必考考点 例1如图 AD是 ABC的角平分线 DE AC 垂足为E BF AC交ED的延长线于点F 若BC恰好平分 ABF AE 2BF 给出下列四个结论 DE DF DB DC AD BC AC 3BF 其中正确的结论共有 A A 4个B 3个C 2个D 1个 解析 BF AC C CBF BC平分 ABF ABC CBF C ABC AB AC AD是 ABC的角平分线 BD CD AD BC 故 正确 在 CDE与 BDF中 CDE BDF ASA DE DF CE BF 故 正确 AE 2BF AC 3BF 故 正确 故选A 变式1 1 2018临沂 如图 ACB 90 AC BC AD CE BE CE 垂足分别是点D E AD 3 BE 1 则DE的长是 B A B 2C 2D 解析 BE CE AD CE E ADC 90 EBC BCE 90 BCE ACD 90 EBC ACD 在 CEB和 ADC中 CEB ADC AAS BE DC 1 CE AD 3 DE EC CD 3 1 2 故选B 考点二角平分线的性质中考解题指导涉及角平分线的应用时 常需作辅助线以便于运用其性质 例2如图 AB CD BP和CP分别平分 ABC和 DCB AD过点P 且与AB垂直 若AD 8 则点P到BC的距离是 C A 8B 6C 4D 2 解析过点P作PE BC于点E AB CD PA AB PD CD BP和CP分别平分 ABC和 DCB PA PE PD PE PA PD PA PD AD 8 PA PD 4 PE 4 故点P到BC的距离是4 变式2 1如图 AD是 ABC中 BAC的平分线 DE AB于点E S ABC 7 DE 2 AB 4 则AC的长是 A A 3B 4C 6D 5 解析S ABC 7 S ABD AB DE 4 S ACD 3 根据角平分线的性质 ACD中AC边上的高线 DE 2 AC 3 考点三线段垂直平分线的性质中考解题指导线段垂直平分线中有两组线段相等 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 线段被垂足分为两条相等的线段 例3如图 在 ABC中 按以下步骤作图 分别以点B C为圆心 以大于BC的长为半径作弧 两弧相交于M N两点 作直线MN交AB于点D 连接CD 若CD AC B 25 则 ACB的度数为105 解析 MN为BC的垂直平分线 BCD为等腰三角形 B 25 BCD 25 CDA B BCD AC CD CAD CDA 50 在 ACD中 ACD 80 ACB 105 变式3 1如图 在 ABC中 AB AC BAC 36 DE是线段AC的垂直平分线 若BE a AE b 则用含a b的代数式表示 ABC的周长为3b 2a 解析 DE是线段AC的垂直平分线 AE EC b 易证 B BEC 72 在 BCE中 BC EC b 又 AC AB a b ABC的周长为3b 2a 考点四三角形中位线定理中考解题指导三角形的中位线定理中 既涉及位置关系 又涉及数量关系 在具体应用时 应灵活选择应用 尤其当图形中出现多个线段中点时 往往连接两个中点构造三角形的中位线 例4如图 在矩形ABCD中 M N分别是边AD BC的中点 E F分别是线段BM CM的中点 若AB 8 AD 12 则四边形ENFM的周长为20 解析 M N分别是边AD BC的中点 AB 8 AD 12 AM DM 6 四边形ABCD为矩形 A D 90 BM CM 10 E F分别是线段BM CM的中点 EM FM 5 EN FN都是 BCM的中位线 EN FN 5 四边形ENFM的周长为5 5 5 5 20 变式4 1 2018临沂 如图 点E F G H分别是四边形ABCD边AB BC CD DA的中点 则下列说法 若AC BD 则四边形EFGH为矩形 若AC BD 则四边形EFGH为菱形 若四边形EFGH是平行四边形 则AC与BD互相平分 若四边形EFGH是正方形 则AC与BD互相垂直且相等 其中正确的个数是 A A 1B 2C 3D 4 解析因为一般四边形的中点四边形是平行四边形 当对角线BD AC时 中点四边形是菱形 当对角线AC BD时 中点四边形是矩形 当对角线AC BD 且AC BD时 中点四边形是正方形 故只有 正确 故选A 考点五尺规作图例5 2018青岛 已知 如图 ABC 射线BC上一点D 求作 等腰 PBD 使线段BD为等腰 PBD的底边 点P在 ABC内部 且点P到 ABC两边的距离相等 解析如图所示 等腰 PBD即为所求 变式5 1 2018潍坊 如图 木工师傅在板材边角处作直角时 往往使用 三弧法 其作法是 1 作线段AB 分别以A B为圆心 以AB长为半径作弧 两弧的交点为C 2 以C为圆心 仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D 3 连接BD BC 下列说法不正确的是 D A CBD 30 B S BDC AB2C 点C是 ABD的外心D sin2A cos2D 1 解析由 1 可知 AB AC BC ABC为等边三角形 A ACB ABC 60 S ABC AB2 由 2 可知CD AC BC AB CBD D ACB 30 S BDC S ABC AB2 点C是 ABD的外心 故选项A B C说法正确 故选D 一 选择题1 如图 下列条件中 不能证明 ABC DCB的是 D 随堂巩固训练 A AB DC AC DBB AB DC ABC DCBC BO CO A DD AB DC A D 2 如图 在方格纸中 以AB为一边作 ABP 使以点A B P为顶点三角形与 ABC全等 从P1 P2 P3 P4四个点中找出符合条件的点P 则点P有 C A 1个B 2个C 3个D 4个 3 如图 ABC中 AB AC AD是角平分线 DE AB DF AC E F为垂足 对于结论 DE DF BD CD AD上任一点到AB AC的距离相等 AD上任一点到点B C的距离相等 其中正确的是 D A B C D 二 填空题4 2018山西 如图 直线MN PQ 直线AB分别与MN PQ相交于点A B 小宇同学利用尺规按以下步骤作图 以点A为圆心 以任意长为半径作弧交AN于点C 交AB于点D 分别以C D为圆心 大于CD长为半径作弧 两弧在 NAB内交于点E 作射线AE交PQ于点F 若AB 2 ABP 60 则线段AF的长为2 解析过点B作BG AF交AF于点G 由尺规作图可知 AF平分 NAB NAF BAF MN PQ NAF BFA BAF BFA BA BF 2 BG AF AG FG ABP 60 BAF BFA 30 在Rt BFG中 FG BFcos BFA 2 AF 2FG 2 5 如图 在 ABC中 已知 1 2 BE CD AB 5 AE 2 则CE 3 解析在 ABE和 ACD中 ABE ACD AAS AD AE 2 AC AB 5 CE BD AB AD 3 故答案为3 6 如图 已知 ABC AB 10 AC 8 BC 6 DE是AC的垂直平分线 DE交AB于点D 连接CD CD 5 解析 AB 10 AC 8 BC 6 根据勾股定理逆定理得 ABC为直角三角形 又 DE是AC的垂直平分线 点E和点D分别为AC和AB的中点 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 AB 10得CD 5 三 解答题7 如图 在 ABC中 C 60 A 40 1 用尺规作图作AB的垂直平分线 交AC于点D 交AB于点E 保留作图痕迹 不要求写作法和证明 2 求证 BD平分 CBA 解析 1 如图1所示 图1 2 证明 连接BD 如图2所示 图2 C 60 A 40 CBA 80 DE是AB的垂直平分线 A DBA 40 DBA CBA BD平分 CBA