高中数学完整讲义-二项式定理1.二项展开式1求展开式中的指定项.docx

求展开式中的指定项知识内容1二项式定理二项式定理这个公式表示的定理叫做二项式定理二项式系数、二项式的通项叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项： 二项式展开式的各项幂指数二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是各项的次数都等于二项式的幂指数字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到几点注意通项是的展开式的第项，这里二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念设，则得公式： 通项是中含有五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值2二项式系数的性质杨辉三角形：对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1其余各数都等于它肩上两个数字的和”二项式系数的性质：展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：当时，的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等事实上，这一性质可直接由公式得到增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大由于展开式各项的二项式系数顺次是，其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，）因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，等值时，的值转化为不递增而递减了又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项这两项的二项式系数相等并且最大，最大为二项式系数的和为，即奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题典例分析【例1】 的展开式中的第四项是 【例2】 的展开式中，的系数等于_ _【例3】 的展开式中的系数是A B C2 D4【例4】 若的展开式中的系数是，则 【例5】 展开式中的系数为10，则实数等于A B C1 D2【例6】 若，则的值是（ ）A B C D【例7】 的展开式中项的系数是（ ）A B C D【例8】 若，则的值为（ ）A270 B270 C 90 D90【例9】 的展开式中的系数是_（用数字作答）【例10】 在的展开式中，的系数为_（用数字作答）【例11】 在的展开式中，的系数为_（用数字作答）【例12】 在的展开式中，的系数为_（用数字作答）【例13】 求展开式中含项系数【例14】 在的展开式中，项的系数是（用数字作答）【例15】 的展开式中的系数等于_（用数字作答）【例16】 展开式中的系数是_（用数字作答）【例17】 在的展开式中的系数是（ ）A14 B14 C28 D28【例18】 在的展开式中，含的项的系数是（ ）A B85 C D274【例19】 在的展开式中，含项的系数是 （用数字作答）【例20】 求展开式中的系数【例21】 的展开式中的系数是_（用数字作答）【例22】 在的展开式中，的系数为_（用数字作答）【例23】 在的展开式中，的系数为_（用数字作答）【例24】 在的展开式中，的系数为_（用数字作答）【例25】 求展开式中含项系数【例26】 在的展开式中，项的系数是（用数字作答）【例27】 的展开式中的系数等于_（用数字作答）【例28】 展开式中的系数是_（用数字作答）【例29】 在的展开式中的系数是（ ）A14 B14 C28 D28【例30】 在的展开式中，含的项的系数是（ ）（A） （B）85 （C） （D）274【例31】 在的展开式中，含项的系数是 （用数字作答）【例32】 求展开式中的系数【例33】 在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）A B C D【例34】 的展开式中的系数是_，的系数为_【例35】 的展开中含的项的系数为（ ）ABCD【例36】 的展开式中的系数是（ ）A B C3 D 4【例37】 求展开式中的系数；【例38】 在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）A B C D【例39】 的展开式中的系数是（ ）A B C D【例40】 在的展开式中，的系数为 （用数字作答）【例41】 在的展开式中，的系数为 _ （用数字作答）【例42】 的二项展开式中含的项的系数为（ ）A B C D【例43】 若的二项展开式中的系数为则 （用数字作答）【例44】 设常数，展开式中的系数为，则_【例45】 已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则 【例46】 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等 【例47】 的二项展开式的第项的系数为（ ）A B C D【例48】 若的二项展开式中的系数为则（用数字作答）【例49】 若与的展开式中含的系数相等，则实数的取值范围是（ ）A B C D【例50】 已知，则二项式 展开式中含项的系数是 【例51】 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，那么【例52】 已知（是正整数）的展开式中，的系数小于，则_【例53】 的展开式中的系数为 【例54】 若的展开式中，的系数是的系数的倍，求；【例55】 的展开式中，的系数与的系数之和等于_【例56】 已知为实数，展开式中的系数是，则_【例57】 二项式的展开式中第三项系数比第二项系数大，求第项的系数【例58】 求的二项展开式中含的项的二项式系数与系数【例59】 若的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中项的系数为_【例60】 令为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为【例61】 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，求的值【例62】 已知，则 【例63】 在展开式中，与的系数分别为，如果，那么的值为（ ）ABCD【例64】 若的展开式中的系数是， 则实数的值是_【例65】 设常数，展开式中的系数为，则 【例66】 若展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则等于（ ）ABCD【例67】 设为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为_ 【例68】 已知展开式的第二项与第三项的系数比是，则_【例69】 在的展开式中，如果第项和第项的二项式系数相等，则第项为_【例70】 若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是【例71】 已知展开式中最后三项的系数的和是方程的正数解，它的中间项是，求的值【例72】 设数列是等比数列，公比是的展开式的第二项用表示通项与前项和；若用表示