江苏省2019届中考数学专题复习 第三章 圆 第1讲 圆的有关性质课件.ppt

第三章圆第一讲圆的有关性质 考点梳理过关 考点1圆的有关概念及对称性 考点2垂径定理及其推论 提示 过圆心 平分弦 垂直于弦 平分弦所对的劣弧 平分弦所对的优弧 若一条直线具备这五项中任意两项 则必具备另外三项 考点3圆心角 弧 弦之间的关系 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧或两条弦中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量也分别相等 考点4圆周角定理及推论 拓展 等弧只存在于同圆或者等圆中 是指能够完全重合的弧 在学习了弧长公式后 等弧可以定义为 弧长和度数都相等的弧 典型例题运用 类型1垂径定理及其推论的运用 例1 如图 CD是 O的直径 弦AB CD于点E BCD 30 下列结论 AE BE OE DE AB BC BE DE 其中正确的是 A B C D D D根据垂径定理及等边三角形的性质和判定定理即可作出判断 CD是 O的直径 AB CD AE BE 故 正确 BCD 30 BOD 60 又 OB OD OBD是等边三角形 AB CD OE DE BE DE 故 正确 ACB 2 BCD 60 又 AC BC ABC是等边三角形 AB BC 故 正确 故选D 技法点拨 在应用垂径定理及其推论进行计算时 往往构造如图所示的直角三角形 根据垂径定理和勾股定理有 根据公式 在r d a三个量中 知道其中任何两个量就可以求出第三个量 变式运用 1 如图 AB为 O的直径 弦CD AB 垂足为点E 连接OC 若CD 6 OE 4 则OC等于 A 3B 4C 5D 6 C 变式运用 2 2017 历城区模拟 在直径为50cm的圆中 有两条弦AB和CD AB CD 且AB为40cm CD为48cm 求AB与CD之间距离 解 当两弦位于圆心的一旁时 如图1所示 过O作OM AB交AB于M 交CD于N 连接OB OC AB CD ON CD 在Rt BMO中 BO 25cm 由垂径定理得 当两弦位于圆心的两旁时 如图2所示 过O作OM AB交AB于M 交CD于N 连接OB OC AB CD ON CD 在Rt BMO中 BO 25cm 由垂径定理得 类型2圆心角 弧 弦之间的关系 例2 已知 如图 BD CE是 O的两条弦 AO平分 DAE 求证 AB AC 思路分析 作OM BD于M ON CE于N 根据角平分线的性质得到OM ON 根据圆心角 弧 弦之间的关系得到BD CE 证明 AMO ANO 得到AM AN 进而求证AB AC 自主解答 如图 作OM BD于M ON CE于N AO平分 DAE OM ON BD CE OM BD ON CE MB NC 在 AMO和 ANO中 AMO ANO AAS AM AN AB AC AMO ANO MAO NAO OA OA 变式运用 3 已知 如图 O的两条半径OA OB C D是的三等分点 OC OD分别与AB相交于点E F 求证 CD AE BF 证明 如图所示 连接AC BD C D是的三等分点 AC CD BD AOC COD OA OC OD ACO DCO ACO DCO OEF OAE AOE 45 30 75 OCD OEF OCD CD AB AEC OCD ACO AEC 故AC AE 同理 BF BD 又 AC CD BD CD AE BF 类型3圆周角及其推论的运用 例3 如图 AB CD是 O的直径 DF BE是弦 且DF BE 求证 D B 自主解答 方法 二 证明 如图 连接CF AE AB CD是 O的直径 F E 90 直径所对的圆周角是直角 AB CD DF BE Rt DFC Rt BEA HL D B 技法点拨 利用 在同圆或等圆中 相等的弧所对的圆周角相等 是证明角相等的重要方法之一 解答此类问题的方法往往不唯一 变式运用 4 2017 黄冈中考 已知 如图 在 O中 OA BC AOB 70 则 ADC的度数为 B A 30 B 35 C 45 D 70 变式运用 5 2018 原创 如图 O是 ABC的外接圆 D是的中点 DE BC交AC的延长线于点E 若AE 10 ACB 60 求BC的长 六年真题全练 命题点1圆周角的运用 1 2017 泰安 12 3分 如图 ABC内接于 O 若 A 则 OBC等于 A 180 2 B 2 C 90 D 90 D D连接OC ABC内接于 O A BOC 2 A 2 OB OC OBC OCB 2 2016 泰安 10 3分 如图 点A B C是圆O上的三点 且四边形ABCO是平行四边形 OF OC交圆O于点F 则 BAF等于 A 12 5 B 15 C 20 D 22 5 B连接OB 四边形ABCO是平行四边形 OC AB 又OA OB OC OA OB AB AOB为等边三角形 OF OC OC AB OF AB BOF AOF 30 由圆周角定理得 BAF BOF 15 B 3 2012 泰安 23 3分 如图 在半径为5的 O中 弦AB 6 点C是优弧AB上一点 不与A B重合 则cosC的值为 D 得分要领 1 圆周角定理及推论的应用 由于直径所对的圆周角是直角 所以在圆中有直径时 构造直径所对的圆周角 利用解直角三角形的知识解决问题 在圆中 常利用等弧所对的圆周角相等证明角相等 2 利用圆内接四边形求角度 往往将所求角与已知角进行等量代换 因此需要熟练掌握圆内接四边形的性质 命题点2垂径定理的运用 4 2015 泰安 9 3分 如图 O是 ABC的外接圆 B 60 O的半径为4 则AC的长等于 A D 5 2012 泰安 11 3分 如图 AB是 O的直径 弦CD AB 垂足为M 下列结论不成立的是 A CM DMB C ACD ADCD OM MD D D已知CD AB 利用垂径定理得到M为CD的中点 B为劣弧的中点 可得出A和B选项成立 再由AM为公共边 AMC AMD CM DM 利用SAS可得出 ACM与 ADM全等 根据全等三角形的对应角相等可得出C选项成立 而OM不一定等于MD 所以D选项不一定成立 6 2014 泰安 23 3分 如图 AB是半圆的直径 点O为圆心 OA 5 弦AC 8 OD AC 垂足为E 交 O于D 连接BE 设 BEC 则sin 的值为 得分要领 解决与垂径定理有关的问题时 垂径定理涉及垂直关系 利用弦心距 圆心到弦的距离 半径和弦的一半组成直角三角形 用三角函数值或勾股定理来解决 在圆中常作的辅助线是连接圆上的点与圆心作半径 过圆心作已知弦的垂线