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第十节导数的概念及其运算1导数的概念及几何意义(1)了解导数概念的实际背景(2)理解导数的几何意义2导数的运算(1)能根据导数的定义求函数yC(C为常数)，yx，y，yx2，yx3，y 的导数(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数(3)能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数知识点一导数的概念及几何意义导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率li li 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)li li .(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x)li 为f(x)的导函数易误提醒1求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者2曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别自测练习1(2015陕西一检)已知直线yxm是曲线yx23ln x的一条切线，则m的值为()A0 B2C1 D3解析：因为直线yxm是曲线yx23ln x的切线，所以令y2x1，得x1，x(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线yxm上，所以m2，故选B.答案：B2(2015洛阳期末)函数f(x)exsin x的图象在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为()A. B.C. D.解析：因为f(x)exsin xexcos x，所以f(0)1，即曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为1，所以在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为，故选C.答案：C知识点二导数的运算1基本初等函数的导数公式(sin x)cos_x，(cos x)sin_x，(ax)axln_a，(ex)ex，(logax)，(ln x).2导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)3复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积易误提醒1利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)nxn1中n0且nQ，(cos x)sin x.2注意公式不要用混，如(ax)axln a，而不是(ax)xax1.3利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆自测练习3下列求导运算正确的是()A.1B(log2x)C(3x)3xlog3eD(x2cos x)2sin x解析：x1；(3x)3xln 3；(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x.答案：B4若函数f(x)2xln x且f(a)0，则2aln 2a()A1 B1Cln 2 Dln 2解析：f(x)2xln 2，由f(a)2aln 20，得2aln 2，则a2aln 21，即2aln 2a1.答案：B考点一导数的运算|1(2015济宁模拟)已知f(x)x(2 014ln x)，f(x0)2 015，则x0()Ae2 B1Cln 2 De解析：由题意可知f(x)2 014ln xx2 015ln x由f(x0)2 015，得ln x00，解得x01.答案：B2若函数f(x)ln xf(1)x23x4，则f(1)_.解析：f(x)2f(1)x3，f(1)12f(1)3，解得f(1)2，f(1)1438.答案：83已知f1(x)sin xcos x，记f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn(x)fn1(x)(nN*，n2)，则f1f2f2 016_.解析：f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)(cos xsin x)sin xcos x，f4(x)cos xsin x，f5(x)sin xcos x，以此类推，可得出fn(x)fn4(x)，又f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)0，f1f2f2 0165040.答案：0求导运算应遵循的两个原则(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等式等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量考点二导数的几何意义|导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前几问，难度较低归纳起来常见的命题探究角度有：1求切线方程问题2确定切点坐标问题3已知切线问题求参数4切线的综合应用探究一求切线方程问题1(2015云南一检)函数f(x)的图象在点(1，2)处的切线方程为()A2xy40 B2xy0Cxy30 Dxy10解析：f(x)，则f(1)1，故该切线方程为y(2)x1，即xy30.答案：C探究二确定切点坐标问题2(2015洛阳期末)已知直线m：x2y30，函数y3xcos x的图象与直线l相切于P点，若lm，则P点的坐标可能是()A. B.C. D.解析：因为直线m的斜率为，lm，所以直线l的斜率为2.因为函数y3xcos x的图象与直线l相切于点P，设P(a，b)，则b3acos a且y|xa3sin a2，所以sin a1，解得a2k(kZ)，所以b6k(kZ)，所以P(kZ)，当k0时，P，故选B.答案：B探究三已知切线求参数范围3(2015河北五校联考)若曲线C1：yax2(a0)与曲线C2：yex存在公共切线，则a的取值范围为()A. B.C. D.解析：结合函数yax2(a0)和yex的图象可知，要使曲线C1：yax2(a0)与曲线C2：yex存在公共切线，只要ax2ex在(0，)上有解，从而a.令h(x)(x0)，则h(x)，令h(x)0，得x2，易知h(x)minh(2)，所以a.答案：C探究四切线的综合应用4(2015重庆一诊)若点P是函数f(x)x2ln x图象上的任意一点，则点P到直线xy20的最小距离为()A. B.C. D3解析：由f(x)2x1得x1(负值舍去)，所以曲线yf(x)x2ln x上的切线斜率为1的点是(1,1)，所以点P到直线xy20的最小距离为，故选B.答案：B导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下三个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解4.混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误【典例】若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于()A1或 B1或C或 D或7解析因为yx3，所以y3x2，设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为k3x，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或x0，当x00时，由y0与yax2x9相切，可得a，当x0时，由yx与yax2x9相切，可得a1，所以选A.答案A易误点评没有对点(1,0)的位置进行分析，误认为是切点而失误防范措施(1)对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握(2)对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解跟踪练习(2015兰州一模)已知直线y2x1与曲线yx3axb相切于点(1,3)，则实数b的值为_解析：因为函数yx3axb的导函数为y3x2a，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3a，所以解得答案：3A组考点能力演练1(2015太原一模)曲线yx2上点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标为()A(0,0) B(2,4)C. D.解析：因为yx2，所以y2x，tan2x，所以x，代入yx2，得y，因此点P的坐标为，故选D.答案：D2(2015宝鸡质检)曲线y1在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：y1，y，y|x12，曲线在点(1，1)处的切线的斜率为2，所求切线的方程为y12(x1)，即y2x1，故选A.答案：A3.已知函数yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)kA，即f(xA)f(xB)，故选B.答案：B4已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A1 B0C2 D4解析：由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，所以g(3)130.答案：B5已知函数f(x)ln xtan 的导函数为f(x)，若使得f(x0)f(x0)成立的x0满足x01，则的取值范围为()A. B.C. D.解析：f(x)，f(x0)，由f(x0)f(x0)，得ln x0tan ，tan ln x0.又0x01，即tan 1，又，故选B.答案：B6(2015长春二模)若函数f(x)，则f(2)_.解析：由f(x)，得f(2).答案：7如果f(x)是二次函数，且f(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线yf(x)上任意一点的切线的倾斜角的取值范围是_解析：根据已知可得f(x) ，即曲线yf(x)上任意一点的切线的斜率ktan ，结合正切函数的图象，可知.答案：8(2015高考全国卷)已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.解析：法一：y1，y|x12，yxln x在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，y2x1.又切线与曲线yax2(a2)x1相切，当a0时，y2x1与y2x1平行，故a0，由得ax2ax20，a28a0，a8.法二：y1，y|x12，yxln x在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，y2x1，又切线与曲线yax2(a2)x1相切，当a0时，y2x1与y2x1平行，故a0.y2ax(a2)，令2axa22，得x，代入y2x1，得y2，点在yax2(a2)x1的图象上，故2a2(a2)1，a8.答案：89已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解：f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意得解得b0，a3或1.(2)曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，a.a的取值范围是.10(2016临沂一模)已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围解：(1)由题意得f(x)x24x3，则f(x)(x2)211，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，解得1k0或k1，故由1x24x3k1，则下列结论中一定错误的是()AfCf解析：取满足题意的函数f(x)2x1，若取k，则ff11，所以排除D；取满足题意的函数f(x)10x1，若取k2，则ff41，所以排除B.故结论一定错误的是C.答案：C2(2014高考江西卷)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_解析：yln xx1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln ee.即P(e，e)答案：(e，e)3(2015高考全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.解析：因为f(x)ax3x1，所以f(x)3ax21，所以f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为k3a1，又f(1)a2，所以切线方程为y(a2)(3a1)(x1)，因为点(2,7)在切线上，所以7(a2)3a1，解得a1.答案：14(2015高考天津卷)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_解析：f(x)aa(ln x1)，因为f(1)3，所以f(1)a3.答案：35(2015高考陕西卷)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_解析：yex，则yex在点(0,1)处的切线的斜率k切1，又曲线y(x0)上点P处的切线与yex在点(0,1)处的切线垂直，所以y(x0)在点P处的切线的斜率为1，设P(a，b)，则曲线y(x0)上点P处的切线的斜率为y|xaa21，可得a1，又P(a，b)在y上，所以b1，故P(1,1)答案：(1,1)
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