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E A B C D O A D CB P Q 初二数学培优班精编材料 11 学生姓名 家长签名 知识梳理 例题讲析 例 1 如图 ABE 和 ACE 都是等边三角形 BD 与 CE 相交于点 O 1 EC BD 吗 为什么 若 BD 与 CE 交于点 O 你能求出 BOC 的度数是多少吗 2 如果要 ABE 和 ACD 全等 则还需要什么条件 在此条件下 整个图形是轴对称图 形吗 此时 BOC 的度数是多少 答案 证 AEC 和 ADB 全等 BOC 60 度 例 2 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC E 为 CD 的中点 AD BC AB 则 1 AE BE 分别平分 DAB ABC 吗 为什么 2 AE BE 吗 为什么 答案 延长 AE 一倍 用倍长中线的方法 构造等腰三角形 证明他们三线合一 例 3 已知 如图 OA 平分 12 BAC 求证 ABC 是等腰三角形 答案 过 O 点作 AB AC 的垂线 之后得到他们相等 再证明三角形全等 例 4 在梯形 ABCD 中 B 90 0 AB 14cm AD 18cm BC 21cm 点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1 cm s 的速度移动 点 Q 从点 C 开始沿 CB 向点 B 以 2cm s 的速度移动 如 果点 P Q 分别从两点同时出发 多少秒后 梯形 PBQD 是等腰梯形 答案 1 秒 A D E CB 第15第 21 A B C 例 5 已知 点 A B 分别在直线 l 的同侧 在直线 l 上找一点 P 使 PA PB 最短 A B l A B 变形 1 正方形 ABCD 中 点 E 是 AB 边上的一点 在对角线 AC 上找一点 P 使 PA PB 最短 变形 2 已知点 A 1 6 点 B 6 4 在 x 轴和 y 轴上各找一点 D C 使四边形 ACDB 的周长最短 提示 用轴对称的知识点 例 6 如图 在等腰梯形 中 ABCD 等腰直角三角形 的斜边ABDC 45 10cmAB4cCD PMN 点与 点重合 和 在一条直线上 设等腰梯形 不动 10cmMNNM 等腰直角三角形 沿 所在直线以 的速度向右移动 直到点 与点 重合为P s 止 1 等腰直角三角形 在整个移动过程中与等腰梯形 重叠部分的形状 ABC 由 形变化为 形 2 设当等腰直角三角形 移动 时 等腰直角三角形 与等腰梯形 s xPN 重叠部分的面积为 求 与 之间的函数关系式 ABCD2 cyy 3 当 时 求等腰直角三角形 与等腰梯形 重叠部分的面积 4 s x PMND 提示 当 0 x 6 秒 241xy 当 6 x 10 秒 y 3x 9 A N M P D C B A NM P D C B 1PAOyxP A M N CB 例 7 如图 将边长为 1 的正三角形 沿 轴正方向连续翻转 2008 次 点 依次落在OAPx 点 的位置 则点 的横坐标为 123208P 208 提示 2008 精编习题 1 如图 在边长为 4 的等边三角形 ABC 中 AD 是 BC 边上的高 点 E F 是 AD 上的两 点 则图中阴影部分的面积是 提示 2 如图 在 ABC 中 AB AC 5 BC 6 点 M 为 BC 中点 MN AC 于点 N 求 MN 提示 勾股定理 3 如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒 规格为 5 6 10 单位 在上盖中 开有一孔便于插吸管 吸管长为 13 小孔到图中边 AB 距离为 1 到上盖中与 AB 相邻的两边距离相等 设插入吸管后露在盒外面的管长为 h 则 h 的最小值大约为 精确到个位 参考数据 21 4 3 7 52 提示 2 4 如图 8 C 为线段 BD 上一动点 分别过点 B D 作 AB BD ED BD 连接 AC EC 已知 A B 10 5 6 吸管 第 3 题图 AB 5 DE 1 BD 8 设 CD x 1 用含 x 的代数式表示 AC CE 的长 2 请问点 C 满足什么条件时 AC CE 的值最小 3 根据 2 中的规律和结论 请构图求出代数式 的最小值 9 12 42 xx 5 在一张长 12cm 宽 5cm 的矩形纸片内 要折出一个菱形 李颖同学按照取两组对 边 中 点 的 方 法 折 出 菱 形 EFGH 见 方 案 一 张 丰 同 学 沿 矩 形 的 对 角 线 AC 折 出 CAE DAC ACF ACB 的方法得到菱形 AECF 见方案二 请你通过计算 比较李颖 同学和张丰同学的折法中 哪种菱形面积较大 答案 方案一 4152562EHSS A矩 形菱 形 30 cm 方案二 设 BE x 则 CE 12 x 225AEBx 由 AECF 是菱形 则 AE2 CE2 5 1 x 924 ABESS矩 形菱 形 19524 3 m 比较可知 方案二张丰同学所折的菱形面积较大 6 如图 在直角坐标系中 四边形 OABC 为直角梯形 OA BC BC 14 厘米 A 16 0 C 0 2 1 若点 P Q 分别从 C A 同时出发 点 P 以 2cm s 速度由 C 向 B 运动 点 Q 以 4cm s 速 度由 A 向 O 运动 当点 Q 停止运动时 点 P 也停止运动 设运动时间为 0 t 4 求当 为多少时 四边形 PQAB 为平行四边形 求当 为多少时 直线 PQ 将梯形 OABC 分成左右两部分的面积比为 1 2 求出此时直线 PQ 的解析式 2 若点 P Q 为线段 BC AO 上任意两点 不与线段 BC AO 的端点重合 且四边形 OQPC 面积为 10 试说明直线 PQ 一定经过一定点 并求出定点坐标 E D CB A 图 8 A D E H FB C G 方案一 A D E F B C 方案二 解 1 t 秒后 BP 14 2t AQ 4t 由 BP AQ 得 14 2t 4t t 当 t 秒时 BP AQ 又 BC AO37 四边形 PQAB 为平行四边形 C 0 2 A 16 0 OC 2 OA 16 cm2 梯 形 BCOSBC 1 30 146 2 t 秒后 PC 2t OQ 16 4t 2t 16 4t 2 16 2t2PQ四 边 形 PQ 将梯形 OABC 分成左右两部分面积比为 1 2 10 秒 OCS四 边 形 16 t 0t3 秒时 直线 PQ 将梯形 OABC 分成左右面积比为 1 2 两部分 t 3 此时 PC 6 OQ 4 Q 4 0 P 6 2 设直线 PQ 解析式为 ykx b 20bk 4 直线 PQ 解析式为 2 取 OC 中点 M PQ 中点 N 当 CP OQ 时 四边形 OQPC 为矩形 M 为 OC 中点 N 为 PQ 中点 MN 平行且等于 CP MN y 轴 CPSOQ 矩 形 10 CP 5 MN 5 N 5 1 当 CP OQ 时 MN 为梯形 OQPC 的中位线 MN CP MN y 轴 CP OQ OC 10 CP OQ 10 PC梯 形 2 MN CP OQ 5 N 5 1 直线 PQ 一点过定点 N 5 1 或经过 PQ 中点 任作一条直线 分别与 OA CB 交于两点 通过三角形全等证得也可 7 在直角坐标系中 直线 L1的解析式为 直线 L2过原点且 L2与直线 L1交于点12 xy P 2 a 1 试求 a 的值 2 试问 2 a 可以看作是怎样的二元一次方程组的解 3 设直线 L1与 x 轴交于点 A 你能求出 APO 的面积吗 试试看 4 在直线 L1上是否存在点 M 使点 M 到 x 轴和 y 轴的距离相等 若存在 求出点 M 的坐标 不存在 说明理由 答案 1 a 5 2 3 S APO xy25145 4 存在 M 1 1 1 M2 4 8 某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件 该机器运行过程分为加油过程与加工过程 加工过程中 当油箱中油量为 10 升时 机器自动停止加工过程转入加油过程 将油箱加满 后继续加工 如此往复 已知机器需运行 185 分钟才能将这批工件加工完 图是油箱中油 量 y 升 与机器运行时间 x 分 之间的函数图象 根据图象回答下列问题 1 求在第一个加工过程中 油箱中油量 y 升 与机器运行时间 x 分 之间的函数关系式 不必写出自变量的取值范围 2 机器运行多少分钟时 第一个加工过程停止 3 加工完这批工件 机器耗油多少升 提示 9 国际象棋 中国象棋和围棋号称世界三大棋种 国际象棋中的 皇后 的威力可比中国 象棋中的 车 大得多 皇后 不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格 而 且还能控制 斜 方向的两条直线上的每一个小方格 如图甲是一个 4 4 的小方格棋 盘 图中的 皇后 Q 能控制图中虚线所经过的每一个小方格 在如图乙的小方格棋盘中有一 皇后 Q 她所在的位置可用 2 3 来表示 请说明 皇后 Q 所在的位置 2 3 的意义 并用这种表示法分别写出棋盘中不 能被该 皇后 Q 所控制的四个位置 如图丙也是一个 4 4 的小方格棋盘 请在这个棋盘中放入四个 皇后 Q 使这四 个 皇后 Q 之间互不受对方控制 在图丙中的某四个小方格中标出字母 Q 即可 0 x y 3010 100 80 y 升 x 分 3 4 2 Q 3 4 2 Q 列 1 2 3 4 1 2 3 4 丙 答案 1 1 3 1 4 2 4 4 2 1 2 2 4 3 1 4 3 10 如图 两个矩形 ABCD 和 EFGH 相交 EH DC 相交于点 M EF DA 相交于点 P FG AB 相交于点 N GH BC 相交于点 Q 且 MN DA PQ EH 已知 MN lO PQ 9 矩形 EFGH 的周 长等于 34 则矩形 ABCD 的周长为 答案 34 4 11 一个纸质的正方形 仙人掌 假设 仙人掌 在不断地生长 新长的叶子是 缺角的 正方形 这些 正方形 的中心在先前正方形的角上 它们的边长是先前正方形的一半 如图所示 若第 1 个正方形的边长是 1 则生长到第 4 次后 所得图形 的面积是 答案 645 1 2 1 3 4 甲 1 2 1 3 4 行 乙