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一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分。）1一射手向目标射击3 次，表示第次射击中击中目标这一事件，则3次射击中至多2次击中目标的事件为( )：2. 袋中有10个乒乓球，其中7个黄的，3个白的，不放回地依次从袋中随机取一球。则第一次和第二次都取到黄球的概率是( )； ； ； ； 3. 设随机变量的概率密度为且 ，则有( )； 4设，为的一个样本， 下列各项为的无偏估计，其中最有效估计量为（ ）。 5. 设是来自总体的一个样本，对于已知和未知时的期望的假设检验，应分别采用的方法为（ ）。 A U检验法和T检验法 B T检验法和U检验法 C U检验法和检验法 D T检验法和F检验法二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。）1. 若X服从自由为n的t分布，则X2服从自由度为 ， 的F分布。2在长度为的时间间隔内到达某港口的轮船数服从参数为的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）某天12时至15时至少有一艘轮船到达该港口的概率为 。3设相互独立，且同服从于参数为的指数分布，则的分布函数为： 4设随机变量X与Y相互独立，且，则= 5从服从正态分布的的总体中抽取容量为9的样本，样本均值，样本标准差为，则总体均值的置信水平为95%的置信区间为 三、计算下列各题（14小题每题8分，5、6小题每题10分，共52分）1. 设事件A发生的概率为p ，那么在n次独立重复试验中，事件A发生多少次的概率最大？2. 据统计男性有5%是患色盲的，女性有0.25%的是患色盲的，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？3. 由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率为90% 为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件正常工作，求整个系统能正常运行的概率4. 设随机变量在区间上服从均匀分布，求随机变量的概率密度5. 设随机变量在上服从均匀分布，其中由轴轴及直线所围成， 求的边缘概率密度， 计算。6. 某工厂生产的设备的寿命(以年计)的概率密度为工厂规定，出售的设备若在一年之内损坏可予以调换若出售一台设备可赢利150元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望四、（10分）总体的概率密度为，是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量.五、（8分） 若某地区一天出生的婴儿人数服从参数为的泊松分布，以表示其中男婴的个数，每一新生婴儿为男性的概率是，求：（1） 已知某一天出生的婴儿人数为，其中有个是男婴的概率（2） 与的联合概率分布（3） 的概率分布律附：；。 武汉理工大学教务处一1C； 2.A； 3.D； 4.B； 5.A。二 11,n； 2； 3 ； 4 5。三1. 设A发生次概率最大，因A发生次数X服从二项分布B(n，p)，,故,解得 8分；2.设，已知 ，则有 8分；3. 令. 则有,相互独立. 3分；于是 . 8分；4. 当时， ； 3分；当时，；当时，。 5分；于是， 8分；5. 的联合概率密度为 (1) ， 5分； 。 10分；6. 设赢利为，则有 4分； . 10分；四. 矩估计法： ，令 ，得 。 5分极大似然估计法：，令 ，则有 ，于是 。 10分五. （1）； 3分； （2） ； 3分； （3） . 2分.武汉理工大学考试试题纸 （ A 卷）一、 单项选择题(每小题3分，满分15分)（1）设A、B是两个互相对立的事件，且，则下列结论正确的是(A) (B) (C) (D) . 【 】（2）设X是连续型随机变量，是X的分布函数，则在其定义域内一定是 （A）非阶梯形间断函数 （B）可导函数（C）阶梯函数 （D）连续但不一定可导的函数. 【 】（3）设，且X与Y相互独立，则下列结论正确的是（A） (B) (C) (D) . 【 】（4）设随机变量X与Y相互独立，则等于（A） 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44. 【 】（5）设总体，是取自总体X的简单随机样本. 又设样本的均值为，样本标准差为S，则统计量 服从的分布是(A) (B) (C) (D) . 【 】二、填空题（每小题3分，满分15分）（1）袋中有50个乒乓球，其中20个是黃球，30个是白球，两人依次从袋中各取一球，取后不放回. 则第二个人取到黃球的概率是 .（2）若随机变量，且，则= .（3）设射手每次击中目标的概率为0.4，今射手向目标射击了10次，若表示射手击中 目标的次数，则 .（4）设随机变量X的方差是2，则由切比雪夫不等式可得 .（5）设是取自总体的样本，并且是参 数的无偏估计量，则常数 C = . 三、计算题（满分10分） 已知，求随机变量函数的概率密度. 四、计算题（满分10分）设事件A、B满足条件，. 定义随机变量X、Y 如下： 求二维随机变量（X，Y）的联合分布律. 五、计算与解答题（满分10分） 设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为： （1）求常数A ； （2）计算协方差； （3）说明X与Y的相关性. 六、计算题(满分10分) 设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率. 七、计算题（满分10分） 设总体X的概率密度为： 是来自总体X的简单随机样本，求参数的矩估计量和极大似然估计量. 八、计算题（满分10分） 从正态总体中抽取容量为n的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？ 九、计算题（满分10分）设某种电子元件的使用寿命服从正态分布，现随机抽取了10个元件进行检测， 得到样本均值，样本标准差. 求总体均值的置信概率为99的置信区间. 附表： ， ，武汉理工大学教务处| 课程名称概率论与数理统计（ 卷）| 一. 选择题（每小题3分，共15分） 1.C 2.D 3.B 4.C 5.A装 二. 填空题（每小题3分，共15分）| 1.0.4 2. 0.2 3.18.4 4. 5.| 三. （10分） 4分 8分 10分| 四. （10分）的可能取值（0，0），（0，1）（1，0）（1，1）2分 4分 6分 8分 10分 五. （10分）（1）由，得1 2分（2） 6分 9分 （3） 与不相关 10分六.（10分）设同时开着的灯数为， 2分 （近似） 5分 10分七.（10分） 3分 解，得的矩估计量为 5分 7分 令 得的极大似然估计量为 10分八.（10分） 3分 7分解 得 至少取35 10分九.（10分） 4分 8分所求为（1485.61，1514.39） 1武汉理工大学考试试题纸（A卷）（闭卷）1填空题（15分）（1）设随机事件,互不相容，且，则（2）设随机变量服从（-2，）上的均匀分布，则随机变量的概率密度函数为.（3）设随机变量和的期望分别为和2，方差分别为1和4，由切比雪夫不等式， （4）设某种清漆干燥时间（单位：小时），取容量为n的样本,其样本均值和方差分别为，则的置信度为1-的单侧置信上限为：.（5）设为取自总体的样本，参数均未知，则对于假设作检验时，使用的检验统计量 （用与等表示）. 2（10分）设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。3. （10分）设随机变量的概率分布为，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，试确定常数，并求概率。4. （15分）设二维随机变量（，）的概率分布为求：（1）随机变量X的密度函数；（2）概率。5. （10分）已知随机变量、分别服从正态分布和，且与的相关系数，设，求：（1）数学期望，方差；（2）与的相关系数。6. （10分）证明：（马尔科夫定理）如果随机变量序列，满足则对任给，有.7. （15分）设，是取自总体的简单随机样本，为样本均值，为样本二阶中心矩，为样本方差，问下列统计量：（1），（2），（3）各服从什么分布？8（15分）设总体服从区间0，上的均匀分布，0未知，是来自的样本,（1）求的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？1（15分）（1）4/7；（2）;（3） (4)上限为; （5） 2（10分）解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的”（）。 则，且，两两互不相容，（1） 由全概率公式得 （2）由贝叶斯公式得 = 3. （10分）解：由归一性所以=2。即 所以，从而 =4. （15分）解：（1）时，=0； 时，=故随机变量的密度函数= （2）5. （10分）解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得 （2） 从而有与的相关系数 6. （10分）证明： ，由切贝雪夫不等式，得，根据题设条件，当时, ，但概率小于等于1，故马尔科夫定理成立.7. （15分）解：（1）由于，又有，因此；（2）由于，又有，因此；（3）由得：，由分布的定义得：.8（15分）解：（1），令，得的矩估计量；似然函数为：其为的单调递减函数，因此的极大似然估计为。（2） 因为，所以为的无偏估计量。又因为的概率密度函数为：所以因此为的有偏估计量，而为的无偏估计量。（3） ，于是比更有效。武汉理工大学考试试题纸（ A卷）课程名称 概率论与数理统计专业班级题号一二三四五六七八九十总分题分 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设连续随机变量的概率密度为 则( )A 0B 0.25C 0.5 D 12. ，则是 。A、是随机变量的分布函数，但既非离散也非连续型随机变量的分布函数B、不是随机变量的分布函数C、离散型随机变量的分布函数 D、连续型随机变量的分布函数3 设随机变量概率密度函数，则常数A=（ ）A、 B、 C、 D、4 X服从参数的指数分布，则P=（ ）A、 B、 C、 D、F()F()5 设总体，为来自总体样本， ,在显著性水平下,假设， (为已知数)，则当（ ），拒绝.A、 B、C、 D、二、填空题(本大题共5空，每空3分，共15分)1、设两两独立的三个随机事件A，B，C满足ABC=，且P（A）=P（B）=P（C）=x，则当x= 时， 2、设随机事件A与B相互独立，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，且，则P（B）= .3、设随机变量即指数分布，则的密度函数为 ， 4、设二维随机向量的概率密度为则当时，关于的边缘概率密度 . 5、设为随机变量，且，则 以下每题12分三 已知一批产品中有90是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率是0.05.求：(1)任意抽查一件产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率.四 设试求(1)分布函数 (2)五 在长为的线段上任取两点，求两点间距离的数学期望。六 设总体,是从此总体中抽取的一个样本,指出下面估计量, ,是的无偏估计,并指出哪一个更有效.七 设总体在区间服从均匀分布。未知，为来自于总体的样本，求 的矩估计量。八 （10分）加法器在做加法运算时根据四舍五入原则先对每个加数取整后再运算。多少个数相加时，可使误差总和的绝对值不超过10的概率大于0.95?( )武汉理工大学教务处一 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、B 2、A 3、C 4、A 5、D 二 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、 2、 3、 , 4、 5、1三 表示合格品事件，产品检验合格事件 (1) (2)四 五 ，=六 , , 故都是的无偏估计 4分, , 4分 因为, 故更有效. 2分七 注：答案不唯一，方法和答案正确，参照此给分 八 =2作业2（修改200810）4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为,若以表示直至掷到正、反面都出现为止所需投掷的次数,求的概率分布.解 对于,前次出现正面,第次出现反面的概率是,前次出现反面,第次出现正面的概率是,因而有概率分布,.5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是, 前4个都不能正确回答的概率是. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为,则有分布01235/815/565/561/566. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.解 设一天中某人收到位朋友的电子邮件,则,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是. 1) 用二项分布公式计算. 2) 用泊松近似律计算.8. 设服从泊松分布,分布律为.问当取何值时最大？解 设,则,数列是一个递减的数列. 若,则最大. 若,则当且时,最大.由此得 1) 若,则最大. 2) 若,则. 由上面的1)和2)知,无论或,都有.12. 设随机变量的概率密度为.求的分布函数,并作出与的图形.解 .11. 设随机变量的概率密度为.求常数和的分布函数,并求概率.解 , . .15. 设随机变量的密度为.求常数.解 .由上式得.15. 离散型随机向量有如下的概率分布:012300.10.10.10.1100.10.10.12000.10.2求边缘分布.又问随机变量是否独立？解 有分布 0120.40.30.3有分布 01230.10.20.30.4因为,所以,不独立.18 设随机向量服从矩形上的均匀分布,求条件概率.解 , , .22. 随机向量有联合密度,其中.求系数和落在圆内的概率.解 因而.而 .27. 设,分别找出,使得.其中, ,.解1 . .代入的值查得,.解2 设,则. . .代入的值查得,.28. 某商品的每包重量.若要求,则需要把控制在什么范围内.解 设,则. .28. 设服从自由度为的分布,即有密度.求的密度.解1 当时,.当时, .因而.解2 设,则. 设, ,则有反函数, ,其中.因而有密度 .29. 由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell)分布,即密度为.其中参数.求分子的动能的密度.解1 当时,.当时, .因而.解2 设,则. 设, ,则有反函数, ,其中.因而有密度 .30. 设服从上的均匀分布,.求的分布.解 有密度.有分布函数 .31. 质点随机地落在中心在原点,半径为的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.解 设落点极坐标是,则服从上的均匀分布,有密度.设落点横坐标是,则,的分布函数为.当时,.当时,.当时.因而落点的横坐标有概率密度.34. 设随机变量服从在上的均匀分布,求的分布.解 设,则. 设, ,则有反函数, ,其中.因而有密度 .36. 设和独立,密度分别为和,求的密度.解 .37. 设系统由两个相互独立的子系统联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统损坏时,系统开始工作),如图7.1所示.和的寿命为和,分别有密度和,其中且.请就这三种联接方式分别写出系统的寿命的密度.解 ,独立,分别服从参数为和的指数分布,因此分别有分布函数和. 1) 联接的方式为串联时, , . 2) 联接的方式为并联时, , . 3) 联接的方式为备用时, . 因此, 当时, , 当时, .38. 相互独立,.证明.(提示:称为函数,由微积分的知识知)解 (见命题A.2.1)43. 设独立,都服从参数为的威布尔分布,即都有密度.证明仍服从威布尔分布.证 有分布函数 , .设,则有分布函数 . , 接下来的证明过程可以有两种。其一： 与有相同的形式，从而仍服从威布尔分布.其二： 因而有密度函数,从而仍服从威布尔分布.一、 填空题（每题2分，共20分）1、记三事件为A，B，C. 则用A，B，C及其运算关系可将事件，“A，B，C中只有一个发生”表示为 .2、匣中有2个白球，3个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么，白球比红球早出现的概率是 2/5 。3、已知P(A)=0.3，P（B）0.5，当A，B相互独立时，。4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。5、若随机变量在区间 上服从均匀分布，则对以及任意的正数，必有概率 6、设服从正态分布，则 N ( 3-2 , 42 ) .7、设8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以表示取出3只球中的最大号码。则的数学期望 4.5 。9、设随机变量的分布律为XY12310.120.100.2820.1800.12300.150.05则条件概率 2/5 .10、设来自正态总体, ,当常数= 1/4 时，服从分布。二、计算题（每小题10分，共70分）1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求：（1）没有一台机器要看管的概率（2）至少有一台机器不要看管的概率（3）至多一台机器要看管的概率解：以Aj表示“第j台机器需要人看管”，j=1，2，3，则:P( A1 ) = 0.1 , P( A2 ) = 0.2 , P( A3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得2、甲袋中有n只白球、m只红球；乙袋中有N只白球、M只红球。今从甲袋任取一球放入乙袋后，再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少？解：以W甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”，R甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”， W乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”，则所求概率为 3、设随机变量X的概率密度为, 试求（1）常数A;(2) 分布函数; (3) 概率。解：（1） 由归一性可得：，从而 4、（1）已知X的分布律为-1 0 1 2 3 计算。（5分）解：（2）、设，求的概率密度.（5分） 解：Y的密度函数为：5、设的概率密度为. (1) 试求分布函数； (2) 求概率其中区域由轴, 轴以及直线所围成.解: 6、设二维随机变量的概率密度为,求常数及边缘概率密度.并讨论随机变量的相互独立性。解：由归一性知：显然 ，故X与Y不相互独立。7、设总体的概率密度为, 其中为未知参数. 若是来自母体的简单子样，试求的矩估计与极大似然估计.解：（1） 令 解得的矩估计为 （2）似然函数 对数似然函数 令 解得的极大似然估计为 三、证明题（每题5分，共10分） 1、为来自总体X的样本，证明当时，为总体均值的无偏估计。证明：设总体均值= ，由于为来自总体X的样本，因此 而 为总体均值的无偏估计，故应该有 从而 2、设是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为的泊松分布，证明服从参数为的泊松分布。证明：由题知 ，即 令，且由的相互独立性可得： 即 服从参数为的泊松分布32
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