安徽省2019年中考数学一轮复习 第二讲 空间与图形 第五章 四边形 5.2 矩形、菱形与正方形课件.ppt

5 2矩形 菱形与正方形 理解矩形 菱形 正方形的概念 理解平行四边形 矩形 菱形 正方形之间的关系 能够熟练运用矩形 菱形 正方形的性质和判定证明或解决有关问题 考点扫描 考点1 考点2 考点3 素养提升 矩形的性质与判定 8年5考 1 矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2 矩形的性质 1 矩形的对边平行且相等 2 矩形的四个角都是直角 3 矩形的对角线相等且互相平分 3 矩形的判定 1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 2 有三个角是直角的四边形是矩形 3 对角线相等的平行四边形是矩形 考点扫描 考点1 考点2 考点3 素养提升 典例1如图 DB AC 且DB AC E是AC的中点 1 求证 BC DE 2 连接AD BE 若要使四边形DBEA是矩形 则给 ABC添加什么条件 为什么 解析 1 由已知条件先判定四边形DBCE是平行四边形即可证得结论 2 从矩形的判定入手 根据对角线相等的平行四边形是矩形即可添加条件 考点扫描 考点1 考点2 考点3 素养提升 答案 1 E是AC的中点 EC AC DB AC DB EC 又 DB AC 四边形DBCE是平行四边形 BC DE 2 添加条件AB BC 理由如下 连接AD BE DB AE 且DB AE 四边形DBEA是平行四边形 BC DE AB BC AB DE 平行四边形DBEA是矩形 考点扫描 考点1 考点2 考点3 素养提升 方法指导 以矩形为背景的相关计算对于以矩形为背景的相关计算 可采取以下思路 1 矩形的四个角都是直角 一条对角线将矩形分成两个直角三角形 用勾股定理或三角函数求线段长 2 矩形的对角线相等且互相平分 故可借助对角线的关系得到全等三角形 3 矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形 运用时建立线段或角度的等量关系 4 矩形中出现30 角 60 角 120 角时 里面常常暗含等边三角形 解题时要留意 考点扫描 考点1 考点2 考点3 素养提升 提分训练1 如图 已知BA AE DC AD EC CE AE 垂足为E 1 求证 DCA EAC 2 只需添加一个条件 即 可使四边形ABCD为矩形 请加以证明 DCA EAC SSS 2 添加AD BC 答案不唯一 可使四边形ABCD为矩形 理由 AB DC AD BC 四边形ABCD是平行四边形 CE AE E 90 由 1 得 DCA EAC D E 90 平行四边形ABCD为矩形 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 菱形的性质与判定 8年5考 1 菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2 菱形的性质 1 菱形的四条边都相等 2 菱形的对角相等 3 菱形的对角线互相垂直平分 并且每一条对角线平分一组对角 3 菱形的判定 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2 四条边都相等的四边形是菱形 3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 4 菱形面积的特殊求法菱形面积等于对角线乘积的一半 规律总结顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形 顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 典例2 2018 广西 如图 在 ABCD中 AE BC AF CD 垂足分别为E F 且BE DF 1 求证 ABCD是菱形 2 若AB 5 AC 6 求 ABCD的面积 解析 1 利用全等三角形的性质证明AB AD即可解决问题 2 连接BD交AC于点O 利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 答案 1 四边形ABCD是平行四边形 B D AE BC AF CD AEB AFD 90 BE DF AEB AFD AB AD 平行四边形ABCD是菱形 2 连接BD交AC于点O 四边形ABCD是菱形 AC 6 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 提分训练2 如图 O是菱形ABCD的对角线AC BD的交点 E F分别是OA OC的中点 下列结论 S ADE S EOD 四边形BFDE也是菱形 四边形ABCD的面积为EF BD ADE EDO DEF是轴对称图形 其中正确的结论有 A 5个B 4个C 3个D 2个 B 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 3 如图 ABCD的对角线AC BD相交于点O 且AE BD BE AC OE CD 1 求证 四边形ABCD是菱形 2 若AD 2 则当四边形ABCD的形状是时 四边形AOBE的面积取得最大值是 答案 1 AE BD BE AC 四边形AEBO是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形 DC AB OE CD OE AB 平行四边形AEBO是矩形 BOA 90 AC BD 平行四边形ABCD是菱形 2 正方形 2 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 正方形的性质与判定 8年5考 1 正方形的定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 2 正方形的性质 1 正方形的四条边都相等 2 正方形的四个角都是直角 3 正方形的对角线相等 并且互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 3 正方形的判定 1 有一个角是直角的菱形是正方形 2 有一组邻边相等的矩形是正方形 名师点睛判定正方形的总的思路就是要证明 既是菱形又是矩形 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 典例3 2018 北京 如图 在正方形ABCD中 E是边AB上的一动点 不与点A B重合 连接DE 点A关于直线DE的对称点为F 连接EF并延长交BC于点G 连接DG 过点E作EH DE交DG的延长线于点H 连接BH 1 求证 GF GC 2 用等式表示线段BH与AE的数量关系 并证明 解析 1 连接DF 根据对称得 ADE FDE 再由HL证明Rt DFG Rt DCG即可求解 2 作辅助线 构建AM AE 先证明 EDG 45 得DE EH 证明 DME EBH 则EM BH 根据等腰直角 AEM得EM AE 从而得出结论 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 答案 1 如图1 连接DF 四边形ABCD是正方形 DA DC A C 90 点A关于直线DE的对称点为F ADE FDE DA DF DC DFE A 90 DFG 90 在Rt DFG和Rt DCG中 Rt DFG Rt DCG HL GF GC 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 理由 如图2 在线段AD上截取AM 使AM AE AD AB DM BE 由 1 知 1 2 3 4 ADC 90 1 2 3 4 90 2 2 2 3 90 2 3 45 即 EDG 45 EH DE DEH 90 DEH是等腰直角三角形 AED BEH AED 1 90 DE EH 1 BEH 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 提分训练4 1 如图矩形ABCD的对角线AC BD交于点O 过点D作DP OC 且DP OC 连接CP 判断四边形CODP的形状并说明理由 2 如果题目中的矩形变为菱形 结论应变为什么 说明理由 3 如果题目中的矩形变为正方形 结论又应变为什么 说明理由 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 答案 1 四边形CODP的形状是菱形 理由 四边形ABCD是矩形 OC OD DP OC DP OC 四边形CODP是平行四边形 OC OD CODP是菱形 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 2 四边形CODP的形状是矩形 理由 四边形ABCD是菱形 AC BD DOC 90 DP OC DP OC 四边形CODP是平行四边形 DOC 90 CODP是矩形 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 3 四边形CODP的形状是正方形 理由 四边形ABCD是正方形 DOC 90 OD OC DP OC DP OC 四边形CODP是平行四边形 DOC 90 OD OC CODP是正方形 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 初高中衔接中点四边形顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形 顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 提分训练5 如图 在任意四边形ABCD中 AC BD是对角线 E F G H分别是线段BD BC AC AD上的点 对于四边形EFGH的形状 某班的学生在一次数学活动课中 通过动手实践 探索出如下结论 其中错误的是 A 当E F G H是各条线段的中点时 四边形EFGH为平行四边形B 当E F G H是各条线段的中点 且AC BD时 四边形EFGH为矩形C 当E F G H是各条线段的中点 且AB CD时 四边形EFGH为菱形D 当E F G H不是各条线段的中点时 四边形EFGH可以为平行四边形 B 考点1 考点2 考点3 考点扫描 素养提升 考点扫描 素养提升 解决类比探究问题的方法和思路 1 找特征 中点 特殊角 折叠等 找模型 相等 相似 三线合一 面积等 2 借助几问之间的联系 寻找条件和思路 3 照搬上一问的方法和思路解决问题 4 找结构 寻找不变的结构 利用不变结构的特征解决问题 考点扫描 素养提升 1 是否存在型问题典例1问题情境 如图1 四边形ABCD是正方形 M是BC边上的一点 E是CD边的中点 AE平分 DAM 探究展示 1 证明 AM AD MC 2 AM DE BM是否成立 若成立 请给出证明 若不成立 请说明理由 拓展延伸 3 若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形 其他条件不变 如图2 探究展示 1 2 中的结论是否成立 请分别做出判断 不需要证明 考点扫描 素养提升 解析 1 从平行线和中点这两个条件出发 延长AE BC交于点N 易证 ADE NCE 从而有AD CN 只需证明AM MN即可 2 作FA AE交CB的延长线于点F 易证AM FM 只需证明FB DE即可 3 仿照 1 中的证明思路即可证得AM AD MC仍然成立 采用反证法 假设AM DE BM成立 在图2中 过点A作AQ AE 交CB的延长线于点Q 可证得AM QM 则BQ DE 所以AB AD 这与已知条件 AB AD 矛盾 故假设不成立 即AM DE BM不成立 考点扫描 素养提升 答案 1 延长AE BC交于点N 如图所示 四边形ABCD是正方形 AD BC DAE ENC AE平分 DAM DAE MAE ENC MAE AM MN ADE NCE AAS AD NC AM MN NC MC AD MC 考点扫描 素养提升 2 AM DE BM成立 证明 过点A作AF AE 交CB的延长线于点F 如图所示 四边形ABCD是正方形 BAD D ABC 90 AB AD AB DC AF AE FAE 90 FAB 90 BAE DAE ABF ADE ASA BF DE F AED AB DC AED BAE FAB EAD EAM AED BAE BAM EAM BAM FAB FAM F FAM AM FM AM FM BF BM DE BM 3 1 成立 2 不成立 考点扫描 素养提升 方法指导 探索性问题的关键是对题型中的变量过程进行分析 把握原有图形的特点 探究变化量的特点 借用类比思想逐步解题 一般情况下 每一问采取的方法步骤基本相同 可概括为 方法类似 思路顺延 类比渗透 知识迁移 考点扫描 素养提升 2 研究型问题典例2探究问题 1 方法感悟 如图1 在正方形ABCD中 点E F分别为DC BC边上的点 且满足 EAF 45 连接EF 求证 DE BF EF 感悟解题方法 并完成下列填空 将 ADE绕点A顺时针旋转90 得到 ABG 此时AB与AD重合 由旋转可得 AB AD BG DE 1 2 ABG D 90 ABG ABF 90 90 180 因此 点G B F在同一条直线上 考点扫描 素养提升 EAF 45 2 3 BAD EAF 90 45 45 1 2 1 3 45 即 GAF 又AG AE AF AF GAF EF 故DE BF EF 考点扫描 素养提升 2 方法迁移 如图2 将Rt ABC沿斜边翻折得到 ADC 点E F分别为DC BC边上的点 且 EAF DAB 试猜想DE BF EF之间有何数量关系 并证明你的猜想 3 问题拓展 如图3 在四边形ABCD中 AB AD E F分别为DC BC上的点 满足 EAF DAB 试猜想当 B与 D满足什么关系时 可使得DE BF EF 请直接写出你的猜想 不必说明理由 考点扫描 素养提升 解析 1 利用角之间的等量代换得出 GAF EAF 再利用SAS得出 GAF EAF 得出答案 2 仿照 1 中思路 将 ADE绕点A旋转得到 ABG 由类似方法进行证明即可 3 根据角之间的关系 只要 B D 180 时 就可得到三角形全等 即可得到结论 考点扫描 素养提升 答案 1 EAF EAF GF 2 DE BF EF 理由 假设 BAD的度数为m 将 ADE绕点A顺时针旋转m 得到 ABG 此时AB与AD重合 由旋转可得 AB AD BG DE 1 2 ABG D 90 ABG ABF 90 90 180 点G B F在同一条直线上 又AG AE AF AF GAF EAF GF EF 又 GF BG BF DE BF DE BF EF 3 当 B与 D满足 B D 180 时 可使得DE BF EF 命题点1与矩形有关的推理及计算 常考 1 2018 安徽第14题 详见专题六典例22 2016 安徽第14题 如图 在矩形纸片ABCD中 AB 6 BC 10 点E在CD上 将 BCE沿BE折叠 点C恰落在边AD上的点F处 点G在AF上 将 ABG沿BG折叠 点A恰落在线段BF上的点H处 有下列结论 EBG 45 DEF ABG S ABG S FGH AG DF FG 其中正确的是 把所有正确结论的序号都选上 3 如图 P是矩形ABCD内的任意一点 连接PA PB PC PD 得到 PAB PBC PCD PDA 设它们的面积分别是S1 S2 S3 S4 给出如下结论 S1 S4 S2 S3 S2 S4 S1 S3 若S3 2S1 则S4 2S2 若S1 S2 则P点在矩形的对角线上 其中正确结论的序号是 把所有正确结论的序号都填在横线上 命题点2与菱形有关的推理及计算 常考 4 如图 矩形ABCD中 AB 8 BC 4 点E在AB上 点F在CD上 点G H在对角线AC上 若四边形EGFH是菱形 则AE的长是 C 命题点3与正方形有关的推理及计算 常考 5 2017 安徽第23题 已知正方形ABCD 点M为边AB的中点 1 如图1 点G为线段CM上的一点 且 AGB 90 延长AG BG分别与边BC CD交于点E F 求证 BE CF 求证 BE2 BC CE 2 如图2 在边BC上取一点E 满足BE2 BC CE 连接AE交CM于点G 连接BG并延长交CD于点F 求tan CBF的值 解 1 四边形ABCD是正方形 AB BC ABC BCF 90 ABG CBF 90 AGB 90 ABG BAG 90 BAG CBF AB BC ABE BCF 90 ABE BCF BE CF AGB 90 点M为AB的中点 MG MA MB GAM AGM 又 CGE AGM GAM CBG CGE CBG 又 ECG GCB CGE CBG CFG GBM BGM CGF CF CG 由 知BE CF BE CG BE2 BC CE 2 延长AE DC交于点N 四边形ABCD是正方形 AB CD N EAB 又 CEN BEA CEN BEA