资源描述
1.1 集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称集合A为集合B的子集，记为AB或BA；如果AB，并且AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AB、BA，则A=B.5.补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为 .6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB.8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作AB.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R. 二、疑难知识导析1.符号，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用. 9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1 三、经典例题导讲例1 已知集合M=y|y =x21,xR,N=y|y =x1,xR，则MN=（ ）A（0，1），（1，2） B（0，1），（1，2）Cy|y=1,或y=2 Dy|y1错解：求MN及解方程组 得 或 选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,M、N分别表示函数y=x21(xR)，y=x1(xR)的值域，求MN即求两函数值域的交集正解：M=y|y=x21,xR=y|y1， N=y|y=x1,xR=y|yRMN=y|y1y|(yR)=y|y1, 应选D注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分x|y=x21、y|y=x21,xR、(x,y)|y=x21,xR，这三个集合是不同的例2 已知A=x|x23x2=0,B=x|ax2=0且AB=A，求实数a组成的集合C错解：由x23x2=0得x=1或2当x=1时，a=2， 当x=2时，a=1错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足AB=A.当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C=0，1，2正解：AB=A BA 又A=x|x23x2=0=1，2B=或 C=0，1，2例3已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有： （ ）Am+nA B. m+nB C.m+nC D. m+n不属于A，B，C中任意一个错解：mA，m=2a,a,同理n=2a+1,aZ, m+n=4a+1,故选C错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.正解：mA, 设m=2a1,a1Z, 又n,n=2a2+1,a2 Z ,m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , m+nB, 故选B.例4 已知集合A=x|x23x100，集合B=x|p1x2p1若BA，求实数p的取值范围错解：由x23x100得2x5欲使BA，只须 p的取值范围是3p3.错因：上述解答忽略了空集是任何集合的子集这一结论，即B=时，符合题设 正解：当B时，即p12p1p2.由BA得：2p1且2p15.由3p3. 2p3当B=时，即p12p1p2.由、得：p3.点评：从以上解答应看到：解决有关AB=、AB=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题例5 已知集合A=a,ab,a2b，B=a,ac,ac2若A=B，求c的值分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式 解：分两种情况进行讨论 （1）若ab=ac且a2b=ac2，消去b得：aac22ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a0c22c1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解（2）若ab=ac2且a2b=ac，消去b得：2ac2aca=0，a0，2c2c1=0，即(c1)(2c1)=0，又c1，故c=点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.例6 设A是实数集，满足若aA，则A，且1A.若2A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.A能否为单元素集合？请说明理由.若aA，证明：1A.求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：2A 1A A 2A A中至少还有两个元素：1和如果A为单元素集合，则a即0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集aA A AA，即1A由知aA时，A， 1A .现在证明a,1, 三数互不相等.若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，a若a=1，即a2-a+1=0，方程无解a1 若1 =，即a2-a+1=0，方程无解1.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.例7 设集合A=|=,N+，集合B=|=,N+，试证：AB证明：任设A， 则=(2)24(2)5 (N+), nN*， n2N* aB故 显然，1，而由B=|=,N+=|=，N+知1B，于是AB 由、 得AB点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义四、典型习题导练1集合A=x|x23x100，xZ，B=x|2x2x60，xZ，则AB的非空真子集的个数为（） A16 B14 C15D322数集1，2，x23中的x不能取的数值的集合是（）A2，-2B2， C2，D，3. 若P=y|y=x2,xR，Q=y|y=x21,xR，则PQ等于（ ）APBQ C D不知道4. 若P=y|y=x2,xR，Q=(x，y)|y=x2,xR，则必有（ ）APQ= BP Q CP=Q DP Q5若集合M，N|，则MN（ ）A BC D6.已知集合A=x|x2(m2)x1=0,xR，若AR=，则实数m的取值范围是_7.（06高考全国II卷）设，函数若的解集为A，求实数的取值范围。8.已知集合A=和B=满足AB=，AB=，I=R，求实数a,b的值.
展开阅读全文