学案1平面向量的基本概念及线性运算.ppt

主要考查向量的有关概念 运算法则 线线平行的条件和基本定理 以选择题和填空题出现的可能性较大 对用向量解平面几何问题涉及的可能性也较大 1 向量的有关概念 1 向量 既有 又有的量叫做向量 向量的大小叫做向量的 或模 2 零向量 的向量叫做零向量 其方向是的 3 单位向量 给定一个非零向量a 与a且长度等于的向量 叫做向量a的单位向量 大小 方向 长度 长度为0 任意 同方向 1 4 平行向量 方向或的向量 平行向量又叫 任一组平行向量都可以移到同一条直线上 规定 0与任一向量 5 相等向量 长度且方向的向量 6 相反向量 长度且方向的向量 2 向量的加法和减法 1 加法 法则 服从三角形法则 平行四边形法则 运算性质 相同 相反 非零 共线向量 平行 相等 相同 相等 相反 a b 交换律 a b c 结合律 a 0 2 减法 减法与加法互为逆运算 法则 服从三角形法则 3 实数与向量的积 1 长度与方向规定如下 a b a a b c 0 a a a 当时 a与a的方向相同 当时 a与a的方向相反 当 0时 a 2 运算律 设 R 则 a a a b 4 平行向量基本定理向量a与b b 0 平行的充要条件是 有且只有一个实 0 0 0 a a a a b 数 使得a b 下列命题中 有向线段就是向量 向量就是有向线段 向量a与向量b平行 则a与b的方向相同或相反 向量AB与向量CD共线 则A B C D四点共线 如果a b b c 那么a c 正确的个数为 A 1B 2C 3D 0 考点1向量的有关概念 分析 正确理解向量的有关概念是解决本题的关键 注意到特殊情况 否定某个命题只要举出一个反例即可 解析 不正确 向量可以用有向线段表示 但向量不是有向线段 不正确 若a与b中有一个为零向量时 零向量的方向是不确定的 故两向量方向不一定相同或相反 不正确 共线向量所在的直线可以重合 也可以平行 不正确 如b 0时 则a与c不一定共线 故应选D 评析 1 向量是区别于数量的一种量 既有大小 又有方向 任意两个向量不能比较大小 只可以判断它们是否相等 但它们的模可以比较大小 2 由向量相等的定义可知 对于一个向量 只要不改变它的大小和方向 它是可以任意平行移动的 因此用有向线段表示向量时 可以任意选取有向线段的起点 由此也可得到 任意一组平行向量都可以移到同一条直线上 判断下列命题是否正确 并说明理由 1 若向量a与b同向 且 a b 则a b 2 若向量 a b 则a与b的长度相等且方向相同或相反 3 对于任意向量 a b 且a与b的方向相同 则a b 4 由于0方向不确定 故0不能与任意向量平行 5 起点不同 但方向相同且模相等的几个向量是相等向量 解析 1 不正确 因为向量是不同于数量的一种量 它由两个因素来确定 即大小与方向 所以两个向量不能比较大小 故 1 不正确 2 不正确 由 a b 只能判断两向量长度相等 不能判断方向 3 正确 a b 且a与b同向 由两向量相等的条件可得a b 4 不正确 由零向量性质可得0与任一向量平行 可知 4 不正确 5 正确 对于一个向量只要不改变其大小与方向 是可以任意平行移动的 分析 利用角平分线的性质可解出AD与DB的关系 再利用向量的线性运算求解 考点2向量的线性表示 评析 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是 观察各向量的位置 寻找相应的三角形或多边形 运用法则找关系 化简结果 解析 设两个非零向量a与b不共线 1 若AB a b BC 2a 8b CD 3 a b 求证 A B D三点共线 2 试确定实数k 使ka b和a kb共线 分析 解决点共线或向量共线问题 就要根据两向量共线的条件a b b 0 考点3向量的共线问题 解析 1 证明 AB a b BC 2a 8b CD 3 a b BD BC CD 2a 8b 3 a b 2a 8b 3a 3b 5 a b 5AB AB BD共线 又 它们有公共点B A B D三点共线 2 ka b与a kb共线 存在实数 使ka b a kb 即ka b a kb k a k 1 b a b是不共线的两个非零向量 k k 1 0 k2 1 0 k 1 评析 1 由向量数乘运算的几何意义知非零向量共线是指存在实数 使两向量能互相表示 2 向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时 通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量 要注意待定系数法的运用和方程思想 3 证明三点共线问题 可用向量共线来解决 但应注意向量与三点共线的区别与联系 当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 解析 1 向量不同于数量 向量既有大小 又有方向 向量的模可以比较大小 但向量不能比较大小 2 向量的加减法实质上是向量的平移 实数乘向量实质上是向量的伸缩 3 数形结合思想是向量加减法的核心 利用向量的相等可以灵活地平移向量 4 向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线平行问题 1 通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线 但要注意到向量的平行与直线的平行的区别 2 0与实数0有区别 0的模为数0 它不是没有方向 而是方向不定 0可以看成与任意向量平行 3 由a b b c不能得到a c 取不共线的向量a与c 显然有a 0 c 0 祝同学们学习上天天有进步