太原理工大学 第二章 流体静力学JPG.ppt

DepartmentofEngineeringMechanicsTaiyuanUniversityofTechnology FLUIDMECHANICS Email casjeon Email illtlx PassWord 123456Tel 13700500252 Q YZhang 3 1描述流体运动的方法 LagrangianMethod 研究组成整个运动流体的每一个流体质点的运动情况 认为流体的整个运动是每一个流体质点运动的综合 EulerianMethod 在流体所占据的空间中 对每一个固定点 研究流体质点经过该点时其力学量的变化情况 整个流体的运动可认为是空间各点流动参量变化情况的综合 第三章流体运动的描述 TrafficFlow 1 LagrangianMethod t0初始时刻流体质点在空间坐标中所对应的位置坐标 a b c 作为标认该流体质点的参量 a b c 称为Lagrange坐标或随体坐标 a b c 将代表不同的流体质点 a b c t 称为Lagrange变量 若f以表示流体质点的某一物理量 其描述的数学表达式是 t时刻流体质点的失径以r表示 或 当a b c恒定时 表示某一特定流体质点在不同时刻所对应的运动情况 当t恒定时 表示不同流体质点在某一个特定的时刻所对应的分布情况及运动情况 同样 压强的Lagrange描述是p p a b c t 2 EulerianMethod 用空间点位置坐标 x y z 来表示某一确定点 称 x y z 为Euler坐标或空间坐标 通常称 x y z t 为Euler变量 若以f表示流体的某一个物理量 其Euler描述的数学表达式是 任意t时刻 空间任意一点 x y z 的V p T r将是 x y z t 的函数 即 若x y z为常量 上式表示在空间某一特定点上 V p T r随时间的变化情况 若t恒定 则上式表示空间各个点在某一个特定时刻有关力学量的数值分布 V p r等有关力学量都是空间点坐标x y z的函数 流场分类 场内函数依不依赖于空间位置x y z分为均匀场和非均匀场 场内函数依不依赖于t 分为定常场和非定常场 3 Lagrange描述与Euler描述之间的关系 设表达式f a b c t 表示流体质点在t时刻的物理量 如果设想流体质点 a b c 恰好在t时刻运动到空间点 x y z 上 则应有 设Euler表达式u u x y z t 及f F x y z t 常微分方程的解为 由t t0时 r a b c 将此代入f F x y z t 即得到Lagrange描述 3 随体导数 随体导数 流体质点物理量随时间的变化率称随体导数 或物质导数 质点导数 Lagrange描述中的随体导数就是物理量函数f f x y z t 本身对时间的导数 即Euler描述中 f F x y z t 的变化以连锁法则处理 f F x y z t 的随体导数为 说明 F t是时变导数 表示x y z不变时 在该空间点上的物理量的时间变化率 它是由物理量非定常性造成的 u F是位变导数 表示在非均匀场 梯度 F 空间位置变化引起 特例 1 u 0 流体静止 2 F是均匀场 F 0 3 u沿等F面方向 即流体质点沿等F面运动 u F u F 0 对于Euler描述而言 任何流体质点物理量 不管是标量还是矢量其随体导数都类似于 对于速度 压强和密度场 已知Euler描述的速度场u u x y z t 利用随体导数求Euler描述下的加速度a a x y z t 注 已知采用Euler描述下的流体质点速度场 其加速度的计算即速度的随体导数可采用此公式计算 EXAMPLE3 1 1已知速度场ux 4x2 2y xy uy 3x y2 z 试问 1 点 1 1 2 的加速度是多少 2 流动是几元流 3 流动是恒定流还是非恒定流 解 代入点 1 1 2 得 EXAMPLE3 1 2流场的速度分布为 ux 6xy 5xt uy 3y2 uz 7xy2 5zt 求流体在点 2 1 4 和时间t 3时的速度 加速度 解 代入点 2 1 4 和时间t 3 得速度值为 由速度表达式可得加速度表达式为 代入点 2 1 4 和时间t 3 得速度值为ax 856 ay 18 az 880 3 2迹线 流线 流管和流束 迹线 流体质点在不同时刻的运动位置的联线 迹线的概念直接与Lagrange描述联系 对于Euler描述求迹线较为复杂 流线 描述流场中各点流动方向的曲线 线上任一点的切线方向与该点在该时刻的速度矢量方向一致 注意 a 流线是指某一时刻的 而迹线是某一流体质点的 b 定常流中流线与迹线完全重合 c 非定常流中一般不重合 流线的性质 1 过一点只能有一条流线 2 流线不能转折 EXAMPLE3 2 1已知ux x t uy y t uz 0 求t 0时经点M 1 1 的流线和迹线 解 流线微分方程为其中t为参数 积分得 再求迹线 当t 0 x y 1 1 所以c 1 经点M 1 1 的流线为xy 1 当t 0 x y 1 1 所以c1 c2 0 消去t得 流管 某瞬时t 在流场的空间中画出任一不是流线的封闭曲线c 过该封闭曲线上每一点作流线 则这些流线组成的面称为流管 流束 流管内的流线组成一束 流面 由通过一条非流线的不封闭或封闭的曲线上每一点所作的那些流线所组成的曲面 流管的两个重要特性 1 流体不能穿越流管2 当封闭曲线的面积 A很小时 流管断面可认为物理量均匀分布 管状流动 流体朝一个方向流动即流道的轴线方向流动 这样可以把空间近似看成一个流管 在数学上变成一维问题 用断面上平均物理量来代替断面上的物理量的实际分布 流量 单位时间内流体通过一定截面积的量 u 断面上一点的流速 u 断面上的平均流速 过流断面 流道上与流线族成正交的面 其面积用A来表示 则断面上的平均速度定义为 剪切流动 ux ay uy 0 uz 0 3 3速度分解定理 刚体运动 平移运动和旋转运动流体微团 平移运动 旋转运动和变形运动 Taylor公式 其中余项为 当x0 0时为Maclaurin公式 以二维流动为例 a 流体微团的平移运动平移运动速度 ux uy uz A C点速度差 线变形速度 推广到三维 单位体积膨胀率 b 流体微团的线变形速度 c 流体微团的旋转运动 B点具有转动效果的速度 C点具有转动效果的速度 规定 逆时针旋转为正 B点相对于M点的旋转角速度 C点相对于M点的旋转角速度 对角线MF相对于M点的旋转角速度为BM和CM这两条边旋转角速度的平均值 推广到三维 旋转角速度的矢量 旋转角速度的矢量按右手定则确定 d 流体微团的角变形运动 角变形速度 定义 对角线MF与直角边MC的夹角变形速度为流体微团的角变形速度 记为ez 推广到三维 柱坐标形式如下 旋转角速度 线变形速度 角变形速度 EXAMPLE3 3 1已知二维流速场为 ux x2y uy xy2 求 1 经点 3 2 的流线方程 2 流体微团在点 3 2 旋转角速度 3 流体微团在点 3 2 的线变形速度和角变形速度 解 由流线方程得 积分得 lnxy 0 xy C 有已知条件过点 3 2 得 C 6所以过点 3 2 的流线方程为 xy 6 流体微团在点 3 2 旋转角速度为 点 3 2 线变形速度为 点 3 2 角变形速度为 EXAMPLE3 3 2速度场 ux 2y 3z uy 2z 3x uz 2x 3y 试分析点 1 1 1 处的运动状态 1 线变形速度 2 体积膨胀率 3 角变形速度 4 旋转角速度 点 1 1 1 处的体积膨胀率为 解 点 1 1 1 处的线变形速度为 点 1 1 1 处转动角速度为 点 1 1 1 处角变形速度为 3 4Helmholtz速度分解定理 t时刻流场中取一点M0 x y z 邻域中任一点M x dx y dy z dz 的速度分量为 ux uy uz 由泰勒级数展开 当 d r 为小量时 邻点M的速度为 因此M点的速度可表示为 由此可见 流体微团的运动可分为平移运动 旋转运动 变形运动和角变形运动 3 5流体运动的分类 a 按运动形式分类 剪切流动 ux ay uy 0 uz 0 点涡运动 ur 0 u b r剪切流动点涡运动当r 0时 无旋有旋 b 按流场与时间的关系分类 c 按流场与空间坐标的关系分类 一维 元 二维 元 三维 元 定常流动非定常流动