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江苏省高考数学复习知识点一.集合性质与运算：不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想二.复数运算1.运算律：； ； .【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.2.模的性质：； ； .3.重要结论：； ； ，；性质：T=4；.【拓展】：或.A4.幂函数的的性质及图像变化规律：(1)所有的幂函数在都有定义，并且图像都过点；(2)当时，幂函数的图像通过原点，并且在区间上是增函数特别地， 当时，幂函数的图像下凸； 当时，幂函数的图像上凸；(3)时，幂函数的图像在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图像在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图像在轴上方无限地逼近轴正半轴【说明】：对于幂函数我们只要求掌握的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，并且时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了.A5.统计1.抽样方法：2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.频率=.小长方形面积=组距=频率. 所有小长方形面积的和=各组频率和=1.【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率.3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；样本平均数： 4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).(1)一组数据样本方差 ；样本标准差= (2)两组数据与,其中,.则,它们的方差为,标准差为若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为.样本数据做如此变换：，则，.B1.线性规划1、二元一次不等式表示的平面区域：（1）当时，若表示直线的右边，若则表示直线的左边.（2）当时，若表示直线的上方，若则表示直线的下方.2、设曲线（），则或所表示的平面区域：两直线和所成的对顶角区域（上下或左右两部分）.3、点与曲线的位置关系：若曲线为封闭曲线（圆、椭圆、曲线等），则，称点在曲线外部；若为开放曲线（抛物线、双曲线等），则，称点亦在曲线“外部”.4、已知直线，目标函数.当时，将直线向上平移，则的值越来越大；直线向下平移，则的值越来越小；当时，将直线向上平移，则的值越来越小；直线向下平移，则的值越来越大；5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：（1），若，直线在y轴上的截距越大，z越大，若，直线在y轴上的截距越大，z越小.（2）表示过两点的直线的斜率，特别表示过原点和的直线的斜率.（3）表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题.（4）表示到点的距离.（5）；（6）；（7）；【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的。B 2.三角变换：（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下：，； ，；，；等.（2）“降幂”与“升幂”（次的变化），（3）切割化弦（名的变化） 利用同角三角函数的基本关系经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.（4）常值变换常值可作特殊角的三角函数值来代换.此外，对常值 “1”可作如下代换：等.（5）引入辅助角 一般的， 期中. 特别的，;，等.（6）特殊结构的构造构造对偶式，化繁为简.举例：，可以通过两式和，作进一步化简.（7）整体代换举例： ，可求出整体值，作为代换之用.B 3.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点(1)角的变换因为在中，（三内角和定理），所以任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形：三内角都是锐角；三内角的余弦值为正值；任两角和都是钝角；任意两边的平方和大于第三边的平方.即，；. (2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理 面积公式：.其中为三角形内切圆半径，为周长之半 (3)对任意，；在非直角中，(4)在中，熟记并会证明：*1.成等差数列的充分必要条件是*2.是正三角形的充分必要条件是成等差数列且成等比数列*3.三边成等差数列；.*4.三边成等比数列,. (5)锐角中, ，；.(6)两内角与其正弦值：在中，(7) 若，则.B 4.三角恒等与不等式组一组二组三 常见三角不等式(1)若，则；(2) 若，则；(3) ；(4)在上是减函数；B5.概率的计算公式：古典概型：；等可能事件的概率计算公式：；互斥事件的概率计算公式：P(A+B)P(A)+P(B)；对立事件的概率计算公式是：P()=1P(A)；几何概型：若记事件A=任取一个样本点，它落在区域，则A的概率定义为B6.最值定理，若积，则当时和有最小值；，若和，则当是积有最大值.【推广】：已知，则有.（1） 若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小.（2） 若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大.已知，若，则有：，若则有：B7.求函数值域的常用方法：配方法：逆求法：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围，型如的函数值域；换元法：三角有界法：如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；不等式法：利用基本不等式求函数的最值，有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧；单调性法：数形结合法：分离常数法：【说明】：对分式函数一般先考虑分子分母次数，齐次的话则先分离出常数，若次数不一样且两倍的化则将次数低的整体换元：1.型，可直接用不等式性质；2.型，先化简，再用均值不等式；3. 型，可先换元转化为类似于2型4. 型，通常先分离出常数再转换为3型导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.B8.函数值域的题型(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.解题步骤：(1)换元变形；(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；(3)画图像，定区间，截段。(三) 分式函数求值域 ：四种题型(1) ：则且.(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求y的范围.(3)： ，则且.(4)求的值域，当时，用判别式法求值域。，值域.(四) 不可变形的杂函数求值域： (五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域.(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围.B9.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 时，求函的数最大值.凑项（加、减常数项）：例2.已知 ，求函数的最大值.调整分子：例3.求函数的值域；变用公式：基本不等式有几个常用变形： , ， ，. 前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视； 例4.求函数的最大值；连用公式：例5.已知，求的最小值；对数变换：例6.已知，且，求的最大值；三角变换：例7.已知，且，求的最大值；常数代换（逆用条件）：例8.已知，且，求的最小值.B10.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：平方和为定值若（为定值，），可设，其中.在上是增函数，在上是减函数；在上是增函数，在上是减函数；. 令，其中. 由，得， 从而在上是减函数.和为定值若（为定值，），则在上是增函数，在上是减函数；.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数.在上是减函数，在上是增函数；积为定值若（为定值，），则.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数；.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数；在上是减函数，在上是增函数.倒数和为定值若（为定值，），则成等差数列且均不为零，可设公差为，其中，则得.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上减函数；.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数；.令，其中且，从而在上是增函数，在上是减函数.注意：不要忘记最基本的方法：减元转化为函数，多个变量尽量减少B11.理解几组概念*1. 广义判别式设是关于实数的一个解析式， 都是与有关或无关的实数且，则是方程有实根的必要条件，称“”为广义判别式. *2. 解决数学问题的两类方法：一是从具体条件入手,运用有关性质,数据,进行计算推导,从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构,找出某些本质属性,进行恰当的核算,从而使问题容易解决,这一方法称为定性核算法.*3. 二元函数设有两个独立的变量与在其给定的变域中中，任取一组数值时，第三个变量就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量称为变量与的二元函数.记作：. 其中与称为自变量，函数也叫做因变量，自变量与的变域称为函数的定义域. 把自变量、及因变量当作空间点的直角坐标，先在平面内作出函数的定义域；再过域中得任一点作垂直于平面的有向线段，使其值为与对应的函数值； 当点在中变动时，对应的点的轨迹就是函数的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域就是此曲面在平面上的投影.*4. 格点在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点（又称整数点）.在数论中，有所谓格点估计问题.在直角坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形，它是运筹学中的一个基本概念.*5. 间断点我们通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点，且其左、右极限都存在，我们把称为函数的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.*6. 拐点连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.如果在区间内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定的拐点.(1)求； (2)令，解出此方程在区间内实根；(3)对于(2)中解出的每一个实根，检查在左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点.*7.驻点曲线在它的极值点处的切线都平行于轴，即.这说明，可导函数的极值点一定是它的驻点(又称稳定点、临界点)；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点.*8. 凹凸性定义在上的函数，如果满足：对任意的都有，则称是上的凸函数.定义在上的函数如果满足：对任意的都有，则称上的凹函数.【注】：一次函数的图像（直线）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等号成立）.若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点.B12. 了解几个定理*1. 零点定理：设函数在闭区间上连续，且那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（）使*2. 介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（）*3. 夹逼定理：设当时，有，且，则必有 【注】：表示以为的极限，则就无限趋近于零（为最小整数）C、1012，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力C1.线段的定比分点公式C 2. 抽象函数C 3.函数图像的对称性C4.几个函数方程的周期(约定)C5.对称性与周期性的关系C6.函数图象的对称轴和对称中心举例C7.函数周期性、对称性与奇偶性的关系C8.关于奇偶性与单调性的关系.C 9.几何体中数量运算导出结论数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质.1.在长方体中：体对角线长为，外接球直径；棱长总和为；全(表)面积为，体积；体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=1，sin2+sin2+sin2=2.体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2，sin2+sin2+sin2=1.2. 在正三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心；侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心；斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心.3.在正四面体中：设棱长为，则正四面体中的一些数量关系：全面积；体积；对棱间的距离；相邻面所成二面角；外接球半径；内切球半径；正四面体内任一点到各面距离之和为定值.4.在立方体中：设正方体的棱长为，则体对角线长为，全面积为，体积，内切球半径为,外接球半径为,与十二条棱均相切的球半径为,则,且C10.圆锥曲线几何性质椭圆方程的第一定义：双曲线的第一定义：圆锥曲线的焦半径公式如下图：特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.C11.函数图像变换（主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等）.C 12. 借助图象比较大小C 13.大小比较常用方法：作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 作商（常用于分数指数幂的代数式）；分析法；平方法；分子（或分母）有理化；利用函数的单调性；寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法；图像法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.C 14.不定项填空题易误知识点拾遗：(1)情况存在的“个数”问题空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面个.（7个）；过直线外一点有个平面与该直线平行（无数个）；一直线与一平面斜交，则平面内有条直线与该直线平行.（0）；3条两两相交的直线可以确定个平面（1个或3个）；经过空间外一点，与两条异面直线都平行的平面有条（0或1）；3个平面可以把空间分个部分.（4或6或7或8）；两两相交的4条直线最多可以确定个平面（6个）；两异面直线成60，经过空间外一点与它们都成30（45，60，80）的直线有条.（1；2；3；4）；(2)平面与空间的“区分”问题1.错误的命题垂直于同一条直线的两直线平行；平行于同一直线的两平面平行；平行于同一平面的两直线平行；过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直；两个不同平面内的两条直线叫做异面直线；一直线与一平面内无数条直线垂直，则该直线与这个平面垂直2.正确的命题平行于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；两平面平行，若第三个平面与它们相交且有两条交线，则两直线平行；两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面(3)易误提点：是为钝角的必要非充分条件.截距不一定大于零，可为负数，可为零；常常会是等式不成立的原因，模为0，方向和任意向量平行，却不垂直；在导数不存在的点，函数也可能取得极值；导数为0的点不一定是极值点，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”或“左负右正”；直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.C15关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边 体 积 面 积 ； 二面角 平面角 面 积 线段长； .D、1314，把关题，考点灵活/题型新颖/方法隐蔽D1.熟知几个重要函数1.(1) 时，为“双钩函数”： 定义域：；值域为； 奇偶性：奇函数（有对称中心）； 单调性：在区间上单调递增；在区间上单调递减. 极值：时取到极大值，时取到极小值. 记住的图像的草图. 不等式性质：时，；时， .(2) 时，在区间上为增函数.【思考】：图像大致如何分布.(3)常用地，当时，的特殊性质略.【探究】：函数的图像变化趋势怎样？的有关性质.2.化简为，定义域：；值域为的一切实数；奇偶性：不作讨论；单调性：当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减.对称中心是点； 两渐近线：直线和直线；【注意】：两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中的系数确定.平移变换：可由反比例函数图像经过平移得到； 反函数为；【说明】：分式函数与反比例函数，离心率均为，同源于双曲线.3.三次函数图像与性质初步*1.定义：形如的函数叫做三次函数. 定义域为,值域为.*2.解析式：一般式：；零点式：*3.单调性：【探究】：要尝试研究一个陌生函数的一些性质，以往在研究二次函数问题时，我们需要考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号.在研究三角函数问题时，又采用过“五点”作图法.那三次函数的图像及性质，要从那里入手呢？再结合探究工具“导数”，我们不妨从函数图像几何特征角度，如零点、极值点、拐点、凹凸性、极值点区间等，确定研究的方向，把握三次函数的一些粗浅性质. 所以，导函数对称轴.【注意】：拐点横坐标所在处，也有可能是驻点所在处.（“极值判别式”，当判别式小于等于零时，无极值点）（一）若 令，由根与系数关系知：， 两极值点：（1）当，约定，则拐点在轴左边，极值点分布在轴左边.根据零点的个数，尝试做出如下图像：（2）当，时，拐点在轴左边，极值点分布在轴两边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值；（3）当，时，拐点在轴右边，极值点分布在轴右边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值.图略（4）当，时，拐点在轴右边，极值点分布在轴两边，且左极值点绝对值小于右极值点绝对值.图略（二）若由知：无极值点，拐点横坐标仍为，所以图像如右图所示.（三）若 即时，在 R上恒成立， 即在为增函数. (-，)（，+)的符号 + 0 +的单调性 *4.极值： 函数在某点取得极值的充要条件是什么？等价表述，和单调性的联系 (1)若，则在R上无极值； (2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.*5.零点个数(根的性质)函数的图像与轴有几个交点？和函数的哪些性质相联系？（联系函数的极值，进行等价转化）一个交点：极大值小于0，或者是极小值大于0.也可以表述为“极大值与极小值同号”；两个交点：极大值等于零，或者极小值等于零；三个交点：极大值大于零，极小值小于零.D2.几个重要图像 1.（） 2.（） 3.（） 4.（）5. 6.D3.函数的零点处理：（1）的零点（不是点而是数）的根与轴的交点的横坐标的交点问题.（2）注意讨论周期函数（特别是三角函数）在某区间内零点个数问题.（3）零点存在定理：单调且端点值异号使.【说明】：1.方程在上有且只有一个实根，与不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程有且只有一个实根在内，等价于，或且，或且.2.在上连续，且，则在上至少有一个零点（奇数个零点），可能有无数个零点.，在上可能无零点也可能有无数个零点.3.两个相同的根只能算一个零点，零点的表示方法不能用有序实数对.D4.比例的几个性质比例基本性质：；反比定理：； 更比定理：；合比定理； 分比定理：；合分比定理：；分合比定理：；等比定理：若，则.D5.（1）三角形中的 “三线定理”（斯德瓦定理）在ABC中，D是BC上任意一点，则若AD是BC上的中线，；若AD是A的平分线，其中为半周长；若AD是BC上的高，其中为半周长（2）三角形“五心”的向量性质(P为平面ABC内任意一点)：为的重心为的垂心；为的内心 为的外心；为中的旁心；D6.含绝对值不等式(1)复数集内的三角形不等式：其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号.(2)向量不等式：【注意】：同向或有；反向或有；不共线.(这些和实数集中类似)(3)代数不等式：同号或有；异号或有.D7.重要不等式1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)【变形】：（当a = b时，） 【注意】： ， (当且仅当时取“=”号)2、均值不等式：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”【拓展】：幂平均不等式： “算术平均几何平均（a1、a2an为正数）”：（a1=a2=an时取等）3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：（，）； 4、柯西不等式：（代数形式）设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立.（向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立.（三角形式）设为任意实数，则： 【思考】：三角形不等式中等号成立的条件是什么？（推广形式）设则等号成立当且仅当时成立（约定时，）5、绝对值不等式：双向不等式：（左边当时取得等号，右边当时取得等号.）6、放缩不等式：，则.【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：.，则；，；，.,.D8.三角函数最值题型及解题捷径；（均值不等式法）；含有或；.17
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