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第二章 数列第一节：数列及其通项公式一数列的概念1数列的定义： ；2表示法： ；3数列的分类： ；4通项公式： ；5递推公式的概念： ；注意：数列与集合有本质的区别；项与项数的区别；与的区别；不是每一个数列都有通项公式；是n的函数。二数列通项公式的求法1根据数列的有限项，写出数列的通项公式。练习1已知数列an 的前几项，写出数列的一个通项公式（1）1，4，9，16，；an = ;（2）；an = ;（3） an = ;（4）9，99，999，9999，；an = ;（5）7，77，777，7777，；an = ;（6）7，-77，777，-7777，；an = ;（7）0.5,0.55,0.555,0.5555, ；an = ;（8）1-1，1，-1，；an = ;（9）1，0，1，0，；an = ;（10）11，101，1001，10001，；an = ;（11）；an = ;（12）；an = ;（13），；an = ;2数列1，3，2，6，5，15，14，x,y,z，122，中x,y,z的值依次是（ ） A 42，41，123 B 13，39，123 C 24，23，123 D 28，27，1233数列1，1，2，3，5，8，；的第7项是 。4数列中，则的前5项是 。5.已知函数，设(1)求证：；（2）an 是递增数列还是递减数列？为什么？2已知数列的前n项和求数列的通项公式（1） 已知数列an 的前n项和为，求数列an 的通项公式；（2） 已知数列an 的前n项和为，求数列an 的通项公式。注意：1.用数列的前n项和求通项的公式是： ；2.什么时候运用an=Sn-Sn-1求出的公式具有通用性： 。练习：(3) 已知数列an 的前n项和为,则通项an = ;（4）已知数列an 的前n项和为,则通项an = ;（5）已知数列an 的前n项和为,则通项an = ;（6）已知数列an 的前n项和为,则通项an = ;注意：（1）公式表示的是数列的前n项和与通项之间的关系。 （2）要注意不要忽视n=1的情形，这是大家易出错的地方。3用递推公式求数列的通项公式（1）数列中，），则它的前5 项是 。（2）数列中，则 。（3）数列中，满足，求数列an 的通项公式；（4）数列中，满足，求数列an 的通项公式；（5）数列中，满足，求数列an 的通项公式；（6）数列中，满足，求数列an 的通项公式；第二节：等差数列一.1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。2.通项公式：或3.等差中项：成等差数列，A叫a,b的等差中项（注：任意两个数都有等差中项）4.证明一个数列是等差数列的方法：一般用（常数），而不用其它等价形式，若确实无法证明，有时也可采用证明来完成。5.等差数列的性质：（1），单增；，单减；，是常数列。（2）等差数列中任意连续的三项也成等差数列，反之亦然。（3）一个数列是等差数列，则通项公式可写成（，反之亦然。一个数列是等差数列，则其前n项和可写成（，反之亦然。（4）数列是等差数列，若m+n=p+q，则（5）数列是等差数列，项数m,p,n成等差数列，那么也成等差数列。（6）数列是等差数列，则仍成等差数列。二.等差数列的前n项和：或练习与应用：通项公式、前n项和公式的基本运算1 在等差数列an中，a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.2.在等差数列an中，a2=-5,a6=a4+6,那么a1= .3.在等差数列an中，a15=8,a20=20,则a25= .4. 在等差数列an中，a2+a5+a8=9,a3a5a7= -21,求通项an.5.在等差数列an中，a15=8,a60=20,则a75= .仍成等差数列6. 在等差数列an中，S10=310，S20=1220，求Sn与通项an. 若m+n=p+q，则6在等差数列an中， a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8= .7.a3,a15是方程x2-6x-1=0的两个根，求a7+a8+a9+a10+a11= .8在等差数列中，则该数列的前5项和为（ ） （A） 10 （B） 16 （C） 20 （D） 329.在等差数列中，表示前项和，且，则的值为 （ ）（A） 18 （B） 60 （C） 54 （D） 2710.等差数列an，则项数n为（ ）11在等差数列an中， 前4项的和为21，后4项的和为67，前n项的和为286，则项数n= . 12.在等差数列中，表示前项和，且，当取得最大值时的值为（ ） （A） 6 （B） 7 （C） 12 （D） 不能确定13. 若是等差数列，首项，则使前项和成立的最大自然数是 （ ） （A） 48 （B） 47 （C） 46 （D） 4514（04年重庆卷.文理9）若数列是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是：（ ）A 4005 B 4006 C 4007 D 400815.等差数列an，bn的前n项和为Sn，Tn，且,求.16.设Sn是等差数列an的前n项和，若，则的值为（ ） A： B：2 C：1 D：-117在等差数列an中，am=n,an=m,且mn, 则 am+n= .18.已知等差数列，是其前n项和，对于不相等的正整数m,n，有，则的值为 . 其奇数项和、偶数项和1、若等差数列共有偶数项项（奇数项、偶数项各项）：即 则 ， （中间一对）2、若等差数列共有奇数项项（奇数项比偶数项多项）：即 则 （为中间项）， （项数之比）19. .等差数列an共有2n-1项，所有奇数项的和为132，所有偶数项的和为120，则n= .20. 如果等差数列an共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 。21如果等差数列an的项数是奇数，an的奇数项的和是175，偶数项的和是150，求这个等差数列的公差d。 的最值问题22. 等差数列an中，an=2n-10,则的最小值时n= .23. 等差数列an中，an=2n-11,则的最小值时n= .24在等差数列an中, 则前n项和的最小值为（ ） A：-80 B：-76 C：-75 D：-74 25.已知等差数列，是其前n项和，且，则下列结论错误的是（ ）（A） d 0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=( ) A:5 B:10 C:15 D:207。等比数列an, （ ） A：-4 B：4 C：-2 D：28。等比数列an，公比q为整数，则 。9.等比数列an中，则（ ） A：90 B：120 C：15 D：8010。等比数列an中，则（ ） A： B： C： D：11。 an是各项为正数的等比数列，则=（ ） A：12 B：10 C：8 D：12 已知数列an是各项都为正数的等比数列，设，求证数列bn是等差数列。13。已知等比数列的，且，求的通项公式.14。各项均为正数的等比数列中，若，则 ；15为等比数列， （1），求（2）前项的和为前项之和，求二。等比数列的前n项和。1等比数列an中，求q和n。2等比数列an中，求和q。3等比数列an中，则= 。4等比数列an中，求q。5求数列的前n项和。6求的前n项和7求，求前2k项的和。8求的前n项和。9等比数列an,前n项和为48,前2n项和为60,前3n项的和为( ) A:183 B:108 C:75 D:6310an成等差数列，成等比数列，则该等比数列的公比为（ ） A： B：2 C： D：11 an成等差数列，bn成等比数列，若，则（ ） A： B： C： D：或12成等差数列，成等比数列，则的取值范围是（ ）A： B：（0，4） C： D：13一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为 （ ） A12 B10 C8 D6第四节 数列的综合应用一、数列求和（一）公式法1 求1，4，7，10，（3n-2）,的前n项和。2 求数列，求前2k项的和.3 求（二）分项求和1求和（1+2）+（3+4）+（2n-1+2n）2 (x-2)+(x2-2)+（xn-2）3. 4.求和5.6.（三）裂项求和1.求和2.3.数列an成等比数列,各项都为正数，且q1,求证4.5.67.8.9求（四）错位相减、其它12.3. 4求和51+23+37+n(2n-1) 6.已知数列an+1是等比数列，求放缩及其他12数列，的前10项和为（ ）。 （A） （B）11 （C）11 （D）113.求和4. 求5. 求值设，求:6.求证： 7.8 二、用已知数列的前n项和求数列的通项公式（前文已有）三、用递推公式求通项1已知数列an ，满足，a1=2,an+1=an+2,求an 的通项公式。2。已知数列an ，满足，a1=2,an+1=an+2n,求an 的通项公式。3。已知数列an ，满足，a1=2,an+1=an+2n,求an 的通项公式。4 已知数列an ，满足，a1=2, an+1=an+，求an 的通项公式。点击：凡是具有an+1=an+形式都可运用此法，其中表示可求和的数列。5已知数列an ，满足，a1=2,an=3an-1,（n2）求an 的通项公式。6 已知数列an ，满足，a1=1,求an 的通项公式。7已知数列an 满足，求an 的通项公式。规律： 。8已知数列an ，满足，a1=2,an+1=2an+1,求an 的通项公式。9已知数列an ，满足，a1=1,an+1=3an+1,求an 的通项公式。点击：型通项公式可用此法。10*，求an 的通项公式。11*. 已知数列an ，求an 的通项公式。12*.已知数列an ，求an 的通项公式。13*.，求an 的通项公式。点击：型通项公式可用此法。递推公式的变形1已知数列an ，满足，a1=,，求an 的通项公式。2已知数列an ，满足，a1=1,求an 的通项公式。3项为1的正项数列，求数列的通项公式。四与的相互转化1已知数列an满足，（1）问数列是否为等差数列。（2）求Sn和an.2已知数列an满足，求数列an的通项公式。3已知数列an，满足，求通项an.4已知数列an满足，当时，,求Sn和an.5正数数列an，求数列an的通项公式。6（05，山东）已知数列an，前n项和为，且，（1）求数列an的通项公式。（2）求几个必须熟练掌握的综合题目1. 已知数列是等差数列，前项和为且； 求数列的通项公式. （2）设数列满足，求数列的前和.2.（05济南2模）已知数列an的前n项和Sn是n的二次函数，且an.求Sn和an.3. 已知数列an满足，求数列an的通项公式。4.数列数列an，满足 ，当时，求数列an的通项公式。5. 设函数，数列中，时，前n项和满足（1） 求数列的通项公式；（2）设，求bn的前n项和。6.已知点列在直线上，且轴的交点，数列是公差为1的等差数列.（1）求数列,的通项公式；（2）若求7.在等比数列中，公比q0，设，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和。8.已知数列an是等差数列，Sn是前n项和，且，（1）求数列an的通项公式。（2）令，求数列bn的前n项和。9.（07天津文）在数列中，（）证明数列是等比数列；（）求数列的前项和；（）证明不等式，对任意皆成立10数列的前项和为，（）求数列的通项；（）求数列的前项和11设数列满足，（）求数列的通项；（）设，求数列的前项和12. 已知数列项和为，满足（）（1） 证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2） 设，求数列的前n项和。13. 已知等差数列满足：，的前n项和为（）求及；（）令bn=(nN*)，求数列的前n项和14. （2010上海已知数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.15. （2009全国卷理）（本小题满分12分）设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）设，求证数列是等差数列。（3）求数列的通项公式和前n项和公式。
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