成人高考高数1函数、极限、连续.ppt

数学专题 梁一平重庆师范大学物理与电子工程学院ThePhysicsandElectronicEngineeringCollegeofChongqingNormalUniversity 专题2 高等数学知识点解读 第一章函数 极限 连续 当自变量x取数值时 与对应的因变量y的值称为函数在点处的函数值 记为或 当x取遍D内的各个数值时 对应的变量y取值的全体组成 定义1设x与y是两个变量 若当变量x在非空数集D内任取一个数值时 按照某种对应法则f总有一个确定的数值y与之对应 则称变量y为变量x的函数 记作 称D为该函数的定义域 记为Df 称x为自变量 称y为因变量 数集称做这个函数的值域 记为Zf 第一节函数一 函数的概念 1 公式法用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关系 是函数的公式表示法 2 表格法自变量x与因变量y的一些对应值用表格列出 3 图示法用函数y f x 的图形给出自变量x与因变量y 之间的关系 说明三种表示法各有所长 缺一不可 如三角函数 三角函数表 三角函数图像 都是表示三角函数 可以相互补充 二 函数的表示法 1 函数的定义域和对应法则是函数的两个主要要素 注 2 如果两个函数具有相同的定义域和对应法则 则它们是相同的函数 4 在研究由公式表达的函数时 我们约定 函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组成的数集 3 在实际问题中 函数的定义域是由实际意义确定的 在实际问题中 有时会遇到一个函数在定义域的不同范围内 用不同的解析式表示的情形 这样的函数称为分段函数 例如符号函数 是一个分段函数 它的定义域为 分段函数是用几个公式合起来表示一个函数 而不是表示几个函数 定义设y是u的函数 y f u 而u是x的函数 并且的值域包含f u 的定义域 即 则y通过u的联系也是x的函数 称此函数是由y f u 及复合而成的复合函数 记作 并称x为自变量 称u为中间变量 三 复合函数 1 幂函数 幂函数的定义域随的不同而不同 是常数 当为无理数时 规定的定义域为 四 基本初等函数和初等函数1 基本初等函数 指数函数的定义域为 当a 1时 它严格单调增加 当0 a 1时 它严格单调减少 对于任何的a 的值域都是 函数的图形都过 0 1 点 对数函数是指数函数的反函数 它的定义域为 当a 1时 它严格单调增加 当0 a 1时 它严格单调减少 对于任何限定的a 的值域都是 函数的图形都过 1 0 点 2 指数函数是常数 在高等数学中 常用到以e为底的指数函数和以e为底的对数函数 记作lnx lnx称为自然对数 这里e 2 7182818 是一个无理数 4 三角函数 常用的三角函数有 正弦函数y sinx 余弦函数y cosx y sinx与y cosx的定义域均为 它们都是以为周期的函数 都是有界函数 数 并且在开区间内都是无界函数 正切函数y tanx 余切函数y cotx tanx与cotx是以为周期的周期函数 并且在其定义域内是无界函数 sinx tanx及cotx是奇函数 cosx是偶函数 此外还有正割函数y secx 余割函数y cscx 其中 它们都是以为周期的函 5 反三角函数 三角函数y sinx y cosx y tanx和y cotx的反函数都是多值函数 我们按下列区间取其一个单值分支 称为主值分支 分别记作 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 2 初等函数 定义由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或经过有限次复合运算所构成 并可用一个式子表示的函数 称为初等函数 初等函数都可以用一个公式表式 大部分分段函数不是初等函数 是非初等函数 定义3设函数y f x 是定义在Df上的一个函数 其值域为Zf 对任意y Zf 如果有唯一确定的满足y f x 的x Df与之对应 则得到一个定义在Zf上以y为自变量的函数 我们称它为函数y f x 的反函数 记作 1反函数 习惯上 常用x来表示自变量 y表示因变量 所以我们可以将反函数改写成 在直角坐标系中的图形与y f x 的图形是 关于直线y x对称的 五 反函数与隐函数 变量之间的函数关系 是由某个二元方程给出的 这样的函数称为隐函数 例有些隐函数可以改写成显函数的形式 而有些隐函数不能改写成显函数的形式 把隐函数改写成显函数叫做 隐函数的显化 2隐函数 1奇偶性 设函数y f x 的定义域D是关于原点对称的 即当时 有 则称f x 为偶函数 偶函数的图形关于y轴对称 如果对于任意的 均有 则称函数f x 为奇函数 奇函数的图形关于坐标原点对称 如果对任意的 均有 六 函数的基本性质 设函数y f x 如果存在正常数T 使得对于定义域内的任何x均有f x T f x 成立 则称函数y f x 为 显然 若T是周期函数f x 的周期 则kT也是f x 的周期 k 1 2 3 通常我们说的周期函数的周期就是指最小正周期 2周期性 周期函数 T为f x 的周期 例如 函数y sinx及y cosx都是以为周期的周期函数 函数y tanx及y cotx都是以为周期的周期函数 3单调性 设函数y f x 在区间I上有定义 即 是函数y f x 的定义域或者是定义域的一部分 如果对于任意的 当时 均有 则称函数y f x 在区间 上单调增加 或单调减少 单调增加 或单调减少 的函数又称为单调递增 单调递减 函数 统称为单调函数 使函数保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单调区间 函数内是单调减少的 在区间上是单调增加的 而在区间内则不是单调函数 单调增加的函数的图形是沿x轴正向上升的 单调减少的函数的图形是沿x轴正向下降的 例如 函数内是单调增加的 4有界性 设函数y f x 的定义域为D 数集 如果存在正数M 使得对于任意的 都有不等式 成立 则称f x 在X上有界 如果这样的M不存在 就称函数f x 在X上无界 如果M为f x 的一个界 易知比M大的任何一个正数都是f x 的界 如果f x 在x上无界 那么对于任意一个给定的正数M X中总有相应的点 使 当函数y f x 在区间 a b 上有界时 函数y f x 的图形恰好位于直线y M和y 之间 这里取 1 函数y sinx的图形位于直线y 1与y 1之间 例如 函数f x sinx在内是有界的 这是因为对于任意的 都有成立 应该注意 函数的有界性 不仅仅要注意函数的特点 还要注意自变量的变化范围 例如 函数在区间 1 2 内是有界的 事实上 若取 1 则对于任何 而在区间 0 1 内是无界的 例14某运输公司规定货物的吨千米运价为 在千米以内 每千米k元 超过千米 超过部分每千米元 求运价P和运送里程s之间的函数关系 解根据题意可列出函数关系如下 这里运价P和运送里程s之间的函数关系是用分段函数表示的 七 函数关系的建立 1数列的概念 定义1自变量为正整数的函数 将其函数值按自变量n由小到大排成一列数 称为数列 将其简记为 称为数列的通项或一般项 第二节极限的概念一 数列的极限 1 3 4 2 即 数列 数列 数列 2 数列的极限 数列 1 当n无限增大时 无限趋近于0 即数列 1 以0为它的变化趋向 数列 2 当n无限增大时 un 无限趋近于常数1 即数列 2 以1为它的变化趋向 数列 3 当n无限增大时 其奇数项为1 偶数项为 1 随着n的增大 它的通项在 1 1之间变动 所以当n无限增大时 没有确定的变化趋向 数列 4 当n无限增大时 un也无限增大 定义1如果对于任意给定的正数 总存在正整数N 使得当n N时 不等式总成立 则称数列以常数a为极限 或说数列收敛于a 记作 但是 像数列等 直观上可以看出 当n越来越大时 它们各自是否有确定的变化趋势 如果有 极限是什么 单调增加或单调减少的数列统称为单调数列 成立 则称数列是单调减少的 若有 3 单调数列与有界数列 数列 2 4 是单调增加的 数列 1 是单调减少的 对于数列 若有 成立 则称数列是单调增加的 对于数列 若存在正数M 使得对于一切的n都有 成立 则称数列是有界的 否则称是无界的 无界数列一定是发散的 注意数列有界是数列收敛的必要条件 但不是充分条件 例如 数列是有界的 而却是发散数列 定理2单调有界数列必有极限 定理3 极限的唯一性 数列不能收敛于两个不同的极限 定理1 收敛数列的有界性 如果数列收敛 那么数列一定是有界数列 定义1如果对于任意给定的正数 总存在正数 使得当0 时 总有成立 则称常数a为函数f x 当时的极限 记作 定义2如果对于任意给定的正数 总存在正数X 使得当 x X时 总有成立 则称常数a为函数f x 当时的极限 记作 二 函数的极限 2 在定义1中 x是以任意方式趋近于的 但在有些问题中 往往只需要考虑点x从的一侧趋近于时 函数f x 的变化趋向 注 1 在时的极限是否存在 与在点处有无定义以及在点处的函数值无关 如果当从的左侧趋近于 记为 时 以A为极限 则称A为函数当时的左极限 记为 或 如果当从的右侧趋近于 记为 时 以A为极限 则称A为函数当时的右极 或 限 记为 定理4常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在 定理5 唯一性定理 如果函数在某一变化过程中有极限 则其极限是唯一的 2函数极限的性质 定理6 有界性定理 若函数f x 当x x0时极限存在 则必存在x0的某一邻域 使得函数f x 在该邻域内有界 定理7 夹逼定理 如果对于x0的某邻域内的一切x 可以除外 有 且 则 1 无穷小量定义7若变量Y在某过程下以零为极限 则称变量Y在此过程下为无穷小量 简称无穷小 例3 例4 时的无穷小量 时的无穷小量 因为所以 因为所以 三 无穷小量与无穷大量 例如函数时的无穷小 但当时不是无穷小 当时 的极限不为零 所以当时 函数不是无穷小 而当时是无穷小量 应该注意无穷小量是在某一过程中 以零为极限的变量 而不是绝对值很小的数 因此应明确指出其变化过程 定理8在自变量的同一变化过程中 1 有限个无穷小的代数和仍为无穷小 4 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小 3 常量与无穷小的乘积仍为无穷小 2 有限个无穷小的乘积仍为无穷小 2 无穷小的性质 3 无穷大量 定义8在自变量x的某一变化过程中 若函数值的绝对值无限增大 则称f x 为此变化过程中的无穷大量 简称无穷大 记作 4无穷小与无穷大的关系 简言之无穷小与无穷大的关系为 在自变量的同一变化过程中 无穷大的倒数是无穷小 无穷小 不等于0 的倒数是无穷大 定理9在自变量的同一变化过程中 若f x 为无穷大 则为无穷小 反之 若f x 为无穷小且f x 不等于0 则为无穷大 例如 定理1设 则 下面的定理 仅就函数极限的情形给出 所得的结论对数列极限也成立 其中自变量x的趋势可以是等各种情形 第三节极限的运算一 极限的运算法则 定理1中的 1 和 2 可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况 结论 2 还有如下常用的推论 推论1设limf x 存在 则对于常数c 有 推论2设limf x 存在 则对于正整数k 有 设有理分式函数 重要极限1 重要极限2 其他形式 二 两个重要极限 3 若 时 则 此时也称是比低阶的无穷小 3 如果 则称是比高阶的无穷小 记作 2 如果 则称与是等价无穷小 记作 1 如果是常数 则称是同阶无穷小 定义设时为无穷小 且 三 无穷小的比较 定理2 根据此定理 在求两个无穷小之比的极限时 若此极限不好求 可用分子 分母各自的等价无穷小来代替 如果选择适当 可简化运算 一些常用的等价无穷小如下 当时 注意 相乘 除 的无穷小都可用各自的等价无穷小代换 但是相加 减 的无穷小的项不能作等价代换 例如 是完全错误的 相应的函数的改变量 增量 函数的终值与初值之差称为函数的改变量 记为 1 改变量 增量 当自变量由初值变化到终值时 终值与初值之差称为自变量的改变量 记为 第四节函数的连续性一 函数连续性的概念 定义1 设函数在点的某邻域内有定义 当自变量在点处有增量时 相应的函数有增量 如果当自变量的增量趋于零时 函数的增量也趋于零 即则称函数在点处连续 点称为函数的连续点 2 连续 若记 则 定义1又可叙述为 注 定义2 设函数y f x 在点的邻域内有定义 若有 则称函数在点处连续 1 定义1与定义2是等价的 即 由左右极限定义可定义左右连续定义 2 由定义2可知若函数在点处连续 则函数在点处的极限一定存在 反之不一定连续 3 当函数在点处连续时 求时 只需求出即可 定义3 若函数满足 则称函数在点处左连续 同理可以定义右连续 3 左右连续 4 区间连续 定义4 若函数在 a b 内每一点都连续 则称函数在 a b 内连续 由定理3可知 函数在点处连续既左连续又右连续即 定义5若函数y f x 在 a b 内每一点都连续 且在左端点a处右连续 在右端点b处左连续 则称函数y f x 在 a b 上连续 则一定满足以下条件 如果f x 在点不能满足以上任何一个条件 则点是函数的间断点 1 可去间断点 如果函数在点的极限存在 但不等于 即 则称为的可去间断点 二 函数的间断点及其分类 例 解 所以x 1为可去间断点重新定义新的函数 则x 1成为函数的连续点 2 跳跃间断点 例3 所以x 1为跳跃间断点 左右极限存在不相等 当时 函数值不断地在两点之间跳动 左右极限均不存在 3 无穷间断点 f x 在点的左 右极限至少有一个是无穷大 则称为f x 的无穷间断点 例4x 0为无穷间断点 4 振荡间断点 例5 x 0是其振荡间断点 间断点的类型 第一类间断点 我们把左右极限都存在的间断点称为第一类间断点 第二类间断点 除第一类以外的间断点 即左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点 设函数y f u 在点处连续 u f x 在点处连续 且 则复合函数在点处连续 定理1 单调连续函数的反函数在其对应区间上也是单调连续函数 设f x g x 均在点处连续 则也在处连续 因此 基本初等函数在其定义域内连续 定理2 定理3 即 因此 一切初等函数在其定义区间内连续 三 初等函数的连续性 定理4 最值定理 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值 注 对于在开区间或在闭区间上有间断点的函数 结论不一定成立 四 闭区间上连续函数的性质 定理5 介值定理 设函数f x 在 a b 上连续 且 为介于f a 与f b 之间的任一实数 则至少存在一点 使得 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 定理6 有界性定理 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界