2010年高考数学题分类汇编三角函数.doc

2010 年全国各地高考数学真题分章节分类汇编 第 5 部分 三角函数 一 选择题 1 2010 年高考天津卷文科 8 5yAsinxR6 右 图 是 函 数 在 区 间 上 的 图 象 为了得到这个 函数的图象 只要将 i 的图象上所有的点 A 向左平移 3 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来 的 12倍 纵坐标不变 B 向左平移 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原 来的 2 倍 纵坐标不变 C 向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原 来的 1倍 纵坐标不变 D 向左平移 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 答案 A 解析 由给出的三角函数图象知 A 1 2 解得 又 06 所以 3 即原函数解析式为 ysin x 3 所以只要将 ysinxR 的图象 上所有的点先向左平移 3个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 12倍 纵坐标 不变即可得到函数 ysin 2x 的图象 选 A 命题意图 本题考查正弦型三角函数的图象变换 考查正弦型三角函数解析式的求法 考查识图能力 2 2010 年高考福建卷文科 2 计算 1sin2 5 的结果等于 A 1 B 2 C 3 D 3 答案 B 解析 原式 cos45 故选 B 命题意图 本题三角变换中的二倍角公式 考查特殊角的三角函数值 3 2010 年高考福建卷文科 10 将函数 sin fx 的图像向左平移 2 个单位 若所得图象与原图象重合 则 的值不可能等于 A 4 B 6 C 8 D 12 答案 B 解析 因为将函数 sin fx 的图像向左平移 2 个单位 若所得图象与原图象 重合 所以 2 是已知函数周期的整数倍 即 k Z 解得 4 kZ 故选 B 命题意图 本题考查三角函数的周期 图象变换等基础知识 4 2010 年高考北京卷文科 7 某班设计了一个八边形的班徽 如图 它由腰长为 1 顶角为 的四个等腰三角形 及其底边构成的正方形所组成 该八边形的面积为 A 2sincos2 B sin3cos C 31 D 21 答案 A 命题意图 本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用 5 2010 年高考江西卷文科 6 函数 2sini1yx 的值域为 A 1 B 5 14 C 5 4 D 5 4 答案 C 命题意图 考察换元的数学思想 及二次函数的图像性质 解析 令 sintx 则 1t 问题化为求函数 21gttt 的值域 由 254gt t 结合二次函数图像得原函数的值域 5 4 6 2010 年高考江西卷文科 12 四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间 各自作出三个函数 sin2yx si 6yx sin 3yx 的图像如下 结果发现恰 有一位同学作出的图像有错误 那么有错误的图像是 答案 C 命题意图 考查三角函数的图像与性质 解析 作出三个函数图像对比分析即可选择 C 7 2010 年高考上海卷文科 16 24xkZ 是 tan1x 成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分条件 D 既不充分也不必要条件 解析 14tan 2tan k 所以充分 但反之不成立 如 145tan 8 2010 年高考上海卷文科 18 若 AC的三个内角满足si si5 3C 则 A 一定是锐角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形 D 可能是锐角三角形 也可能是钝角三角形 解析 由 in i 1 及正弦定理得 a b c 5 11 13 由余弦定理得 0523cos2 所以角 C 为钝角 9 2010 年高考辽宁卷文科 6 设 函数 sin 23yx 的图像向右平移43 个单位后与原图像重合 则 的最小值是 A 2 B 43 C 32 D 3 解析 选 C 由已知 周期 243 2T 10 2010 年高考宁夏卷文科 6 如图 质点 p在半径为 2 的圆周上逆时针运动 其初始位 置为 0p 2 角速度为 1 那么点 到 x轴距离 d关于时间 t的函数图 像大致为 答案 C 解析 显然 当 0t 时 由已知得 2d 故排除 A D 又因为质点是按逆时针方向 转动 随时间 的变化质点 P 到 x轴的距离 先减小 再排除 B 即得 C 另解 根据已知条件得 14A 再结合已知得质点 P 到 x轴的距离 d关于 时间 t的函数为 2sin dt 画图得 C 11 2010 年高考宁夏卷文科 10 若 sia 5 a 是第一象限的角 则 sin 4a A 7210 B 7210 C 2 10 D 210 答案 A 解析 由已知得 3sin5 所以 32472sin sicosin44510 12 2010 年高考重庆卷文科 6 下列函数中 周期为 且在 上为减函数的是 A sin 2 yx B cos 2 yx C D 答案 A 解析 C D 中函数周期为 2 所以错误 当 4x 时 3 x 函数 sin 2 yx 为减函数 而函数 cos 2 y 为增函数 所以选 A 13 2010 年高考陕西卷文科 3 函数 f x 2sinxcosx 是 C A 最小正周期为 2 的奇函数 B 最小正周期为 2 的偶函数 C 最小正周期为 的奇函数 D 最小正周期为 的偶函数 答案 C 解析 因为 f x 2sinxcosx sin2x 所以它的最小正周期为 且为奇函数 选 C 14 2010 年高考湖北卷文科 2 函数 f x 3sin 24xR 的最小正周期为 A 2 B x C 2 D 4 答案 D 解 析 由 T 21 4 故 D 正确 15 2010 年高考湖南卷文科 7 在 ABC 中 角 A B C 所对的边长分别为 a b c 若 C 120 c 2a 则 A a b B a b C a b D a 与 b 的大小关系不能确定 命题意图 本题考查余弦定理 特殊角的三角函数值 不等式的性质 比较法 属中档题 16 2010 年高考全国 卷文科 1 cos30 A 32 B C 2 D C 命题意图 本小题主要考查诱导公式 特殊三角函数值等三角函数知识 解析 1cos0s60cos62 17 2010 年高考全国卷 文科 3 已知 in3 则 cos 2 x A 53 B 19 C D 5 解析 B 本题考查了二倍角公式及诱导公式 SINA 2 3 21cos 2 cos 1sin 9 18 2010 年高考四川卷文科 7 将函数 sinyx的图像上所有的点向右平行移动10 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函 数解析式是高 21 世纪教育网 网 A sin 2 10yx B y sin 5x C D 120 解析 将函数 siyx的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度 所得函数图象的 解 析式为 y sin x 10 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 1sin 20yx 答案 C 二 填空题 1 2010 年高考山东卷文科 15 在 ABC中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若2a b sinco2 则角 A 的大小为 答案 6 解析 由 sicB得 1sincB 即 sin2B1 因为 0 所 以 45 又因为 2a b 所以在 AC 中 由正弦定理得 2sinAi 解得 sin 又 a 所以 45 所以 A30 命题意图 本题考查了三角恒等变换 已知三角函数值求解以及正弦定理 考查了同学 们解决三角形问题的能力 属于中档题 2 2010 年高考福建卷文科 16 观察下列等式 cos2a 2 2cosa 1 cos4a 8 4 8 2 1 cos6a 32 6cs 48 4 18 2cosa 1 cos8a 128 8oa 256 6 160 4 32 2cosa 1 cos10a m 10cs 1280 8cs 1120 6 n 4 p 2s 1 可以推测 m n p 答案 962 解析 因为 12 38 52 718 所以 9251m 观察可得 40n 50p 所以 m n p 962 命题意图 本小题考查三角变换 类比推理等基础知识 考查同学们的推理能力等 3 2010 年高考北京卷文科 10 在 ABC 中 若 1b 3c 2 则 a 4 2010 年高考浙江卷文科 12 函数 2 sin 4fx 的最小正周期是 解析 对解析式进行降幂扩角 转化为 21co1 xf 可知其最小正周期 为 2 本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用 属容易题 5 2010 年高考宁夏卷文科 16 在 ABC中 D 为 BC 边上一点 3BCD AD 135B 若 2AC 则 BD 答案 2 解析 设 ab 在 BD 和 中分别用余弦定理可解得 6 2010 年高考广东卷文科 13 已知 a b c 分别是 ABC 的三个内角 A B C 所对的 边 若 a 1 b 3 A C 2B 则 sinA 7 2010 年高考重庆卷文科 15 如 题 15 图 图中的实线是由三段圆弧连接而成的一 条 封闭曲线 C 各段弧所在的圆经过同一点 P 点 不在 C上 且半径相等 设第 i段弧 所对的圆心角为 1 23 i 则 232311cossin 答案 解析 232312311cossincos 又 123 所以 1231cos 8 2010 年高考全国 卷文科 14 已知 为第二象限的角 3sin5a 则 t2 14 47 命题意图 本小题主要考查三角函数值符号的判断 同角三角函数关系 和角 的正切公式 同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能 解析 因为 为第二象限的角 又 3sin5 所以 4cos5 sin3taco4 所 2tan4ta 17 9 2010 年高考全国卷 文科 13 已知 是第二象限的角 tan 1 2 则 cos 解析 5 本题考查了同角三角函数的基础知识 1tan2 25cos 三 解答题 1 2010 年高考山东卷文科 17 本小题满分 12 分 已知函数 2 sin cosfxxx 0 的最小正周期为 求 的值 将函数 yf的图像上各点的横坐标缩短到原来的 12 纵坐标不变 得到 函数 ygx 的图像 求函数 gx 在区间 0 16 上的最小值 命题意图 本小题主要考察综合运用三角函数公式 三角函数的性质 进行运算 变形 转换和求解的能力 解析 因此 1 g x 2 故 g x 在此区间内的最小值为 1 2 2010 年高考天津卷文科 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 cosACB 证明 B C 若 cs 13 求 sin 43 的值 命题意图 本小题主要考查正弦定理 两角和与差的正弦 同角三角函数的基本关系 二倍角的正弦与余弦等基础知识 考查基本运算能力 解析 证明 在 ABC 中 由正弦定理及已知得 sinBC co 于是 sinBcosC cosBsinC 0 即 sin B C 0 因为 B 从而 B C 0 所以 B C 解 由 A B C 和 得 A 2B 故 cos2B cos 2B cosA 13 又 0 2B 于是 sin2B 21cosB 3 从而 sin4B 2sin2Bcos2B 49 cos4B 227cosin9B 所以 4273sin 4 sin4cosin33318BB 3 2010 年高考福建卷文科 21 本小题满分 12 分 某港口 O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于 港口 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A处 并正以 30 海里 小时的航行速度沿正 东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以 海里 小时的航行速度匀速行驶 经过 t小时 与轮船相遇 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 为保证小艇在 30 分钟内 含 30 分钟 能与轮船相遇 试确定小艇航行速度的最小值 Z 是否存在 使得小艇以 海里 小时的航行速度行驶 总能有两种不同的航行方向与 轮船相遇 若存在 试确定 的取值范围 若不存在 请说明理由 4 2010 年高考北京卷文科 15 本小题共 13 分 已知函数 2 cosinfxx 求 3 的值 求 fx的最大值和最小值 解 2 2cosin33f 14 1 cos xxx 2cs R 因为 ox 所以 当 cs1x 时 fx取最大值 2 当 cos0 x 时 f 去最小值 1 5 2010 年高考江西卷文科 19 本小题满分 12 分 已知函数 21cotsinisin4fxxx 1 若 tan2 求 f 2 若 x 求 fx的取值范围 答案 解 1 2 1cos2 sinicosincos2xf x x 11 x 由 tan2 得 222sitan4sinco5 222i1t3coisa 所以 3 5f 2 由 1 得 1121 sin2cos sin 42fxxx 由 12x 得 5 412x 所以 2sin 2 14x 从而 sin 0 f 6 2010 年高考浙江卷文科 18 本题满分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 设 S 为 ABC 的面积 满足 223 4Sabc 求角 C 的大小 求 sinAB 的最大值 解析本题主要余弦定理 三角形面积公式 三角变换等基础知识 同时考查三角运算求解 能力 解 由题意可知12 absinC 34 2abcosC 所以 tanC 因为 0 C 所以 C 3 解 由已知 sinA sinB sinA sin C A sinA sin 2 3 A sinA 32cosA 1sinA sin A 6 3 当 ABC 为正三角形时取等号 所以 sinA sinB 的最大值是 3 7 2010 年高考安徽卷文科 16 本小题满分 12 分 ABC 的面积是 30 内角 ABC所对边长分别为 abc 12os3A 求 若 1cb 求 a的值 命题意图 本题考查同角三角函数的基本关系 三角形面积公式 向量的数量积 利用 余弦定理解三角形以及运算求解能力 解题指导 1 根据同角三角函数关系 由 12cos3A 得 sin的值 再根据 ABC 面 积公式得 156bc 直接求数量积 BC 由余弦定理 2cosab 代入已 知条件 及 求 a 的值 解 由 2os3A 得 215sin 3 又 1in0bc 56bc 12os43BC 22caA 12 cos 156 53bA 5 规律总结 根据本题所给的条件及所要求的结论可知 需求 b的值 考虑已知ABC 的面积是 30 1cos3 所以先求 sin的值 然后根据三角形面积公式得bc 的值 第二问中求 a 的值 根据第一问中的结论可知 直接利用余弦定理即可 8 2010 年高考上海卷文科 19 本题满分 12 分 已知 02x 化简 2lg costan1si lg cos lg 1sin2 2xxx 解析 原式 lg sinx cosx lg cosx sinx lg sinx cosx 2 0 9 2010 年高考上海卷文科 22 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小题满分 8 分 若实数 y m满足 ym 则称 比 y接近 m 1 若 2x 比 3 接近 0 求 x的取值范围 2 对任意两个不相等的正数 a b 证明 2ab 比 3接近 2ab 3 已知函数 fx的定义域 DxkZxR 任取 xD f等于1sin 和 si 中接近 0 的那个值 写出函数 f的解析式 并指出它的奇偶性 最 小正周期 最小值和单调性 结论不要求证明 解析 1 x 2 2 2 对任意两个不相等的正数 a b 有 2ab 32aba 因为 2 3 2 0ab 所以 2 abab 即 a2b ab2 比 a3 b3 接近 ab 3 1sin 1 sin xkfx xk k Z f x 是偶函数 f x 是周期函数 最小正周期 T 函数 f x 的最小值为 0 函数 f x 在区间 2k 单调递增 在区间 2k 单调递减 k Z 10 2010 年高考辽宁卷文科 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 abc 分别为内角 ABC 的对边 且 2sin sin sinb 求 的大小 若 i1 试判断 的形状 解 由已知 根据正弦定理得 cbca 2 2 即 bca 22 由余弦定理得 Acos2 故 10 cosA 由 得 sinsinisin222 CB 又 sin CB 得 1B 因为 90 0 故 所以 A 是等腰的钝角三角形 11 2010 年高考广东卷文科 16 本小题满分 14 分 设函数 3sin6fxx 0 x 且以 2 为最小正周期 1 求 0f w w 2 求 f的解析式 3 已知 9415f 求 sin 的 值 12 2010 年高考重庆卷文科 18 本小题满分 13 分 小问 5 分 小问 8 分 设 ABC 的内角 A B C 的对边长分别为 a b c 且 3 2 3 c 3 2a 4 bc 求 sinA 的值 求 2in si 441co2 的值 13 2010 年高考陕西卷文科 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 已知 B 45 D 是 BC 边上的一点 AD 10 AC 14 DC 6 求 AB 的长 解 在 ADC 中 AD 10 AC 14 DC 6 由余弦定理得 cos 22ADC 1036912 ADC 120 ADB 60 在 ABD 中 AD 10 B 45 ADB 60 由正弦定理得 sinsiBA AB 310ii6256ss45D 14 2010 年高考湖北卷文科 16 本小题满分 12 分 已经函数 22cosin1 sin2 4xfgx 函数 f的图象可由函数 的图象经过怎样变化得出 求函数 hxfgx 的最小值 并求使用 hx取得最小值的 x的集合 15 2010 年高考湖南卷文科 16 本小题满分 12 分 已知函数 2 sinifxx I 求函数 的最小正周期 II 求函数 fx的最大值及 fx取最大值时 x 的集合 16 2010 年高考全国 卷文科 18 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知 ABCV的内角 及其对边 a b满足 cottaAbB 求内 角 解 由 ab cottB及正弦定理得 sins in 从而 i cosisinco44AB sn si B 又 0 故 4 2AB 所以 C