初中数学中被删掉的有用知识(圆幂定理及其应用).doc

圆幂定理及其应用 教学目标 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题； 2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方法； 3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的观点的教育. 教学重点和难点 相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点. 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容. 2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? 提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理. (1)如图7-163，O的两条弦AB，CD相交于点P，则PAPBPCPD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例：一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PAPBPCPD圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164) 二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PBPDO，仍然有PAPBPCPDO，相交弦定理仍然成立.(图7-165) (2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一点P，成为两条割线，则有PAPBPCPD，这就是我们学过的切割线定理的推论(割线定理).(图7-166) (3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PAPBPCPDPC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167) (4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2PB2，可得PAPB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168) 至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质. 经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169. 观察图7-169，可以得出：(设O半径为R) 在图(1)中，PAPBPCPDPEPF (R-OP)(R+OP) R2-OP2； 在图(2)中，PAPBPT2OP2-OT2 OP2-R2在图(3)中，PAPBPCPDPT2 OP2-R2. 教师指出，由于PAPB均等于OP2-R2，为一常数，叫做点P关于O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理. 二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行) 例1 如图7-170，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D，E，AB12，AO15，AD8，求两圆的半径. 分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径OB.求OC也可考虑用上述方法，但AC未知，此时则可根据切割线定理先求出AE，再利用垂径定理便可求出AC，于是问题得解.(由学生讨论、分析，得出解决) 例2 如图7-171，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ. 求证：AXAY=BPBQ 分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单的图形组合而成的.但本题不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形，以此为出发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法.方法1 在图7-172中，过点A，B分别作小圆的切线AC，BD，C，D为切点.这时就出现了切割线定理的基本图形，于是有 AC2AXAY，BD2BPBQ. 再连结CO，AO，DO，BO， 易证RtAOCRtBOD，得出ACBD 所以AXAYBPBQ. 方法2 在图7-173中，作直线XP交大圆于E，F，分别延长AY，BQ，交大圆于C，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于是有 AXXCEXXF，BPPDFPPE. 易证AXCY，BPDQ，EXFP. 所以AXXCAXAY，BPPDBPBQ，EXXFFPPE. 所以AXAYBPBQ.方法3 如图7-174，由于点O是圆内的特殊点，考虑过O点的特殊割线，作直线AO交小圆于E，F，作直线BO交小圆于C，D，则出现了割线定理的基本图形.于是有 AXAYAEAF，BPBQBCBD. 易证AEBC，AFBD， 所以AEAFBCBD. 从而AXAYBPBQ. 通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来，沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明此题? 三、练习 练习1 已知P为O外一点，OP与O交于点A，割线PBC与O交于点B，C，且PBBC.如果OA7，PA2，求PC的长. 练习2 如图7-175，O和O都经过点A和B，PQ切O于P，交O于Q，M，交AB的延长线于N.求证：PN2NMNQ. 四、小结用投影重新打出圆幂定理的基本图形(如图7-176)，让学生观察并说出相应的定理. 教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的. 五、习题 1、求证：相交两圆的公共弦的延长线上任一点到两圆所作的切线长相等。已知：如图5，O1和O2相交于点A、B，P为BA延长线上任意一点，且PC、PD与O1和O2分别切于C、D两点。求证：PC=PD。2、如图6，过点P作O的切线PA，A为切点，过PA中点B作割线交O于C、D，连结PC并延长交O于E，连结PD，交O于F。求证：EFPA。3、如图7，已知PBD是O的割线，PA、PC是O的切线，A、C为切点，求证：（1）PAAB=PBAD；（2）；（3）ADBC=ABDC。提示：（1）要证PAAB=PBAD，只要证得就可以了。而PA、AD、PB、AB分别是PAD和PBA的两条边，因此只根证得这两个三角形相似即可。显然APD=BPA，ADP=BAP，因此PADPBA。（2）由问题（1）可知，因此要证，只需证。而PA2=PBPD，故有。（3）要证ADBC=ABDC，只需证得即可。由问题（1）可知，类似问题（1）可证得。因PA=PC，故。因此有。