2017虹口高三数学一模.doc

2017年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题（16题每小题4分，712题每小题4分，本大题满分54分）1已知集合A=1，2，4，6，8，B=x|x=2k，kA，则AB=2已知，则复数z的虚部为3设函数f（x）=sinxcosx，且f（）=1，则sin2=4已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是5数列an是首项为1，公差为2的等差数列，Sn是它前n项和，则=6已知角A是ABC的内角，则“”是“的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）7若双曲线x2=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于8若正项等比数列an满足：a3+a5=4，则a4的最大值为9一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于10设函数f（x）=，则当x1时，则ff（x）表达式的展开式中含x2项的系数是11点M（20，40），抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于12当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3x2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是二、选择题（每小题5分，满分20分）13在空间，表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（）A若m，m、n不平行，则n与不平行B若m，m、n不垂直，则n与不垂直C若m，m、n不平行，则n与不垂直D若m，m、n不垂直，则n与不平行14已知函数在区间0，a（其中a0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）ABCD15如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值（）A只与圆C的半径有关B既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C只与弦AB的长度有关D是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值16定义f（x）=x（其中x表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如2.1=3，4=4以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）f（2x）=2f（x）； 若f（x1）=f（x2），则x1x21；任意x1，x2R，f（x1+x2）f（x1）+f（x2）；ABCD三、解答题（本大题满分76分）17在正三棱锥PABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4（1）求证：PABC；（2）求此三棱锥的全面积和体积18如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1，速度精确到0.1海里/小时）19已知二次函数f（x）=ax24x+c的值域为0，+）（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在，+）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在1，+）上的最小值g（a），并求g（a）的值域20椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于1，求出k1k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围21已知函数f（x）=2|x+2|x+1|，无穷数列an的首项a1=a（1）如果an=f（n）（nN*），写出数列an的通项公式；（2）如果an=f（an1）（nN*且n2），要使得数列an是等差数列，求首项a的取值范围；（3）如果an=f（an1）（nN*且n2），求出数列an的前n项和Sn2017年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（16题每小题4分，712题每小题4分，本大题满分54分）1已知集合A=1，2，4，6，8，B=x|x=2k，kA，则AB=2，4，8【考点】交集及其运算【分析】先分别求出集合A和B，由此能出AB【解答】解：集合A=1，2，4，6，8，B=x|x=2k，kA=2，4，8，12，19，AB=2，4，8故答案为：2，4，82已知，则复数z的虚部为1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由，得，利用复数复数代数形式的乘法运算化简，求出z，则答案可求【解答】解：由，得=22i+ii2=3i，则z=3+i复数z的虚部为：1故答案为：13设函数f（x）=sinxcosx，且f（）=1，则sin2=0【考点】二倍角的正弦【分析】由已知可得sincos=1，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可得解【解答】解：f（x）=sinxcosx，且f（）=1，sincos=1，两边平方，可得：sin2+cos22sincos=1，1sin2=1，可得：sin2=0故答案为：04已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为5数列an是首项为1，公差为2的等差数列，Sn是它前n项和，则=【考点】数列的极限【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可【解答】解：数列an是首项为1，公差为2的等差数列，Sn=n2an=1+（n1）2=2n1，则=故答案为：；6已知角A是ABC的内角，则“”是“的充分不必要条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可【解答】解：A为ABC的内角，则A（0，180），若命题p：cosA=成立，则A=60，sinA=； 而命题q：sinA=成立，又由A（0，180），则A=60或120；因此由p可以推得q成立，由q推不出p，可见p是q的充分不必要条件故答案为：充分不必要7若双曲线x2=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于6【考点】双曲线的简单性质【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论【解答】解：双曲线的渐近线为y=bx，不妨设为y=bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d=b=2，则c=3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：68若正项等比数列an满足：a3+a5=4，则a4的最大值为2【考点】等比数列的性质【分析】利用数列an是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值【解答】解：数列an是各项均为正数的等比数列，a3a5=a42，等比数列an各项均为正数，a3+a52，当且仅当a3=a5=2时，取等号，a3=a5=2时，a4的最大值为2故答案是：29一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于【考点】椭圆的简单性质【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为： =8，a2=b2+c2，c=2，椭圆的焦距为；故答案为：410设函数f（x）=，则当x1时，则ff（x）表达式的展开式中含x2项的系数是60【考点】分段函数的应用【分析】根据分段函数的解析式先求出ff（x）表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入系数求出结果【解答】解：由函数f（x）=，当x1时，f（x）=2x1，此时f（x）min=f（1）=21=1，ff（x）=（2x1）6=（2x+1）6，Tr+1=C6r2rxr，当r=2时，系数为C6222=60，故答案为：6011点M（20，40），抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于42或22【考点】抛物线的简单性质【分析】过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，由勾股定理可知： =41，p=22或58，当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，即可求得p的值【解答】解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，|PM|+|PF|=|PM|+|PD|，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，由最小值为41，即20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，当P，M，F共线时，|PM|+|PF|取最小值，即=41，解得：p=22或58，由当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，故答案为：42或2212当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3x2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是，+）【考点】圆方程的综合应用【分析】根据实数x，y满足x2+y2=1，设x=cos，y=sin，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3x2y|的值与x，y均无关时a的取范围【解答】解：实数x，y满足x2+y2=1，可设x=cos，y=sin，则x+2y=cos+2sin=sin（+），其中=arctan2；x+2y，当a时，|x+2y+a|+|3x2y|=（x+2y+a）+（3x2y）=a+3，其值与x，y均无关；实数a的取范围是，+）故答案为：二、选择题（每小题5分，满分20分）13在空间，表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（）A若m，m、n不平行，则n与不平行B若m，m、n不垂直，则n与不垂直C若m，m、n不平行，则n与不垂直D若m，m、n不垂直，则n与不平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】对于A，若m，m、n不平行，则n与可能平行、相交或n，即可得出结论【解答】解：对于A，若m，m、n不平行，则n与可能平行、相交或n，故不正确故选A14已知函数在区间0，a（其中a0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）ABCD【考点】正弦函数的单调性【分析】由条件利用正弦函数的单调性，可得2a+，求得a的范围【解答】解：函数在区间0，a（其中a0）上单调递增，则2a+，求得a，故有0a，故选：B15如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值（）A只与圆C的半径有关B既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C只与弦AB的长度有关D是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【考点】平面向量数量积的运算【分析】展开数量积，结合向量在向量方向上投影的概念可得=则答案可求【解答】解：如图，过圆心C作CDAB，垂足为D，则=|cosCAB=的值只与弦AB的长度有关故选：C16定义f（x）=x（其中x表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如2.1=3，4=4以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）f（2x）=2f（x）； 若f（x1）=f（x2），则x1x21；任意x1，x2R，f（x1+x2）f（x1）+f（x2）；ABCD【考点】函数与方程的综合运用【分析】充分理解“取上整函数”的定义如果选项不满足题意，只需要举例说明即可【解答】解：对于，当x=1.4时，f（2x）=f（2.8）=3.2，f（1.4）=4所以f（2x）2f（x）；错对于，若f（x1）=f（x2）当x1为整数时，f（x1）=x1，此时x2x11，即x1x21当x1不是整数时，f（x1）=x1+1x1表示不大于x1的最大整数x2表示比x1的整数部分大1的整数或者是和x1保持相同整数的数，此时x1x21故正确对于，当x1，x2Z，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x1，x2Z，f（x1+x2）f（x1）+f（x2），故正确；对于，举例f（1.2）+f（1.2+0.5）=4f（2.4）=3故错误故选：C三、解答题（本大题满分76分）17在正三棱锥PABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4（1）求证：PABC；（2）求此三棱锥的全面积和体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的性质【分析】（1）取BC的中点M，连AM、BM由ABC是等边三角形，可得AMBC再由PB=PC，得PMBC利用线面垂直的判定可得BC平面PAM，进一步得到PABC；（2）记O是等边三角形的中心，则PO平面ABC由已知求出高，可求三棱锥的体积求出各面的面积可得三棱锥的全面积【解答】（1）证明：取BC的中点M，连AM、BMABC是等边三角形，AMBC又PB=PC，PMBCAMPM=M，BC平面PAM，则PABC；（2）解：记O是等边三角形的中心，则PO平面ABCABC是边长为6的等边三角形，；18如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1，速度精确到0.1海里/小时）【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）依题意，在ABD中，DAB=60，由余弦定理求得DB；（2）法一、过点B作BHAD于点H，在RtABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，进一步得到sinEAH，则EAH可求，求出外国船只到达E处的时间t，由求得速度的最小值法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴可得A，D，B的坐标，设经过t小时外国船到达点，结合ED=12，得，列等式求得t，则，再由求得速度的最小值【解答】解：（1）依题意，在ABD中，DAB=60，由余弦定理得DB2=AD2+AB22ADABcos60=182+20221815cos60=364，即此时该外国船只与D岛的距离为海里；（2）法一、过点B作BHAD于点H，在RtABH中，AH=10，HD=ADAH=8，以D为圆心，12为半径的圆交BH于点E，连结AE、DE，在RtDEH中，HE=，又AE=，sinEAH=，则41.81外国船只到达点E的时间（小时）海监船的速度（海里/小时）又9041.81=48.2，故海监船的航向为北偏东48.2，速度的最小值为6.4海里/小时法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴则A（0，0），D（18，0），设经过t小时外国船到达点，又ED=12，得，此时（小时）则，监测船的航向东偏北41.81海监船的速度（海里/小时）19已知二次函数f（x）=ax24x+c的值域为0，+）（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在，+）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在1，+）上的最小值g（a），并求g（a）的值域【考点】二次函数的性质【分析】（1）由二次函数f（x）=ax24x+c的值域，推出ac=4，判断f（1）f（1），f（1）f（1），得到此函数是非奇非偶函数（2）求出函数的单调递增区间设x1、x2是满足的任意两个数，列出不等式，推出f（x2）f（x1），即可判断函数是单调递增（3）f（x）=ax24x+c，当，即0a2时，当，即a2时求出最小值即可【解答】解：（1）由二次函数f（x）=ax24x+c的值域为0，+），得a0且，解得ac=4f（1）=a+c4，f（1）=a+c+4，a0且c0，从而f（1）f（1），f（1）f（1），此函数是非奇非偶函数（2）函数的单调递增区间是，+）设x1、x2是满足的任意两个数，从而有，又a0，从而，即，从而f（x2）f（x1），函数在，+）上是单调递增（3）f（x）=ax24x+c，又a0，x1，+）当，即0a2时，最小值g（a）=f（x0）=0当，即a2时，最小值综上，最小值当0a2时，最小值g（a）=0当a2时，最小值综上y=g（a）的值域为0，+）20椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于1，求出k1k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程（2）直线l：y=x+1，设AB坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可【解答】解：（1）a=2，又c=1，椭圆方程为（2）直线l：y=x+1，设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得7x28x8=0，有，（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，），则，故k1+k2=2当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x1），设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得（4k2+3）x28k2x+（4k212）=0，有，=21已知函数f（x）=2|x+2|x+1|，无穷数列an的首项a1=a（1）如果an=f（n）（nN*），写出数列an的通项公式；（2）如果an=f（an1）（nN*且n2），要使得数列an是等差数列，求首项a的取值范围；（3）如果an=f（an1）（nN*且n2），求出数列an的前n项和Sn【考点】数列与函数的综合【分析】（1）化简函数f（x）为分段函数，然后求出an=f（n）=n+3（2）如果an是等差数列，求出公差d，首项，然后求解a的范围（3）当a1时，求出前n项和，当2a1时，当a2时，分别求出n项和即可【解答】解：（1）函数f（x）=2|x+2|x+1|=，又n1且nN*，an=f（n）=n+3（2）如果an是等差数列，则anan1=d，an=an1+d，由f（x）知一定有an=an1+3，公差d=3当a11时，符合题意当2a11时，a2=3a1+5，由a2a1=3得3a1+5a1=3，得a1=1，a2=2当a12时，a2=a13，由a2a1=3得a13a1=3，得a1=3，此时a2=0综上所述，可得a的取值范围是a1或a=3（3）当a1时，an=f（an1）=an1+3，数列an是以a为首项，公差为3的等差数列，当2a1时，a2=3a1+5=3a+51，n3时，an=an1+3n=1时，S1=an2时，又S1=a也满足上式，（nN*）当a2时，a2=a13=a31，n3时，an=an1+3n=1时，S1=an2时，又S1=a也满足上式，（nN*）综上所述：Sn=2017年1月13日