高中数学有心曲线直径三角形的一个性质及应用.doc

有心曲线直径三角形的一个性质及应用湖北省阳新县高级中学邹生书我们把经过有心二次曲线中心的弦叫做直径，把顶点在有心曲线上且有一边是直径的三角形叫做有心曲线的直径三角形.本文向读者介绍有心曲线直径三角形的一个重要性质及其应用.性质1已知是椭圆的任一直径，点是椭圆上任意一点，若直线的斜率都存在，则.证明设，因为是椭圆的直径，所以点的坐标为，所以.又因为点在椭圆上，所以有.两式相减得，所以，所以.同理可证双曲线也有如下类似性质：性质2已知是双曲线的任一直径，点是双曲线上任意一点，若直线的斜率都存在，则.图1例1（2010年高考山东理科卷的第21题）如图1，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点为顶点的三角形的周长为，现有一等轴双曲线，其顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为和.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线和的斜率分别为，证明:；(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.本题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查定值和存在性等知识，考查数形结合思想和探究问题的能力.解(1)椭圆方程为，双曲线方程为（过程略）；（2）过程略；（3）假设存在这样的常数，使得恒成立.将直线的方程代入椭圆方程整理得，.则.由弦长公式得，.同理，由得，将其代入得.由得，即，所以，故.本题第二问的结论即双曲线直径三角形的性质为第三问的解答起到了引领解题思路简化运算的台阶作用，如果没有第二问的台阶铺垫，则第三问定值探究的切入变得艰难和茫然，运算由于变量增多导致运算复杂量大难以驾驭而无功而返.下面两题没有台阶铺垫，若有模识别意识自觉运用有心曲线直径三角形的性质解题，则可达到化难为易事半功倍之效.图2例2(2011年高考江苏卷理科第18题)如图2，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为.连接屏延长交椭圆于点.设直线的斜率为.（1）当直线平分线段时，求的值；（2）当时，求点到直线的距离；（3）对任意的，求证:.解（3）(证)设，则，.因为直径，由椭圆直径三角形性质得，而， 所以，所以，因此，所以.例3如图3，已知是椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的任意一点，（1）直线分别交右准线于两点，以为直径的圆过右焦点；(2)存在垂直于轴的定直线，若直线交直线于两点且以为直径的圆过右焦点，则直线为右准线.图3证明（1）设直线的斜率分别为，由椭圆直径三角形性质得.则直线的方程为:，直线的方程为:，又右准线的方程为；.解得点的坐标为，解得点的坐标为.于是，所以，所以，故以为直径的圆过右焦点.（2）设直线的斜率分别为，由性质得.则直线的方程为：，直线的方程为:，设直线的方程为：.解得点的坐标为，解得点的坐标为.于是.因为以为直径的圆过右焦点，所以，所以，即，所以，化简得，所以，于是，故直线为右准线.例4（2009年高考福建卷理科第19题）已知分别为曲线与轴的左右两个交点，直线过点，且与轴垂直，为上异于点的一点，连结交曲线于点.(1)若曲线为半圆，点为圆弧的三等分点，试求出点的坐标；（2）如图4，点是以为直径的圆与线段的交点，试问：是否存在，使得三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.图4解（1）略；（2）假设存在这样的，使得三点共线.设直线斜率分别为，则直线的方程为，又直线的方程为，解得点的坐标为，所以.因为为圆的直径，所以，所以，所以.又由椭圆直径三角形性质知，所以，将代入得，所以，故存在，使得三点共线.用“研究”的态度去对待我们遇到的每一个数学问题，去研究它、解剖它最终对问题达到较为透彻的理解，揭示问题的“通性”，寻找解决问题的“通法”和“优美解”，并用我们所得的通性通法去指导我们的解题实践，这对我们提高解题能力是大有裨益的.