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温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点36 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.（2012浙江高考文科5）设是直线，是两个不同的平面（ ）A.若, ，则 B.若，则C.若, ,则 D.若, ,则【解题指南】可由线面平行与线面垂直的判定与性质进行判断.【解析】选B. 若, ，则、可能相交；若，则平面内必存在一直线与平行，又，则，又，故故B对.若，则或，故C错；若，, 则与关系不确定，故D错.二、填空题2.（2012辽宁高考理科16）已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为_.【解题指南】利用条件，建立关于正三棱锥底面正三角形边长的方程，求，然后求三棱锥的高h，则R减去h即为所求.【解析】由于PA,PB,PC两两垂直，则点P在底面ABC上的射影就是正三角形ABC的中心M，设正三角形ABC的边长为，则三棱锥的侧棱长为，三棱锥的高h，在中，由勾股定理得再设球心为O，则，且在中，由勾股定理得又，则解得，故球心到截面ABC的距离为.【答案】三、解答题3.（2012湖北高考文科19）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.（1） 证明：直线B1D1平面ACC2A2；（2） 现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？【解题指南】本题主要考查空间中的垂直关系的证明和表面积公式,解答本题的关键是利用空间几何体的特征，结合空间想象能力，利用线线垂直达到线面垂直,再结合题意求出表面积得结果. 【解析】四棱柱ABCD-A2B2C2D2侧面是全等的矩形,AA2AB, AA2AD.又ABAD=A. AA2平面ABCD.连接BD, BD平面ABCD, AA2BD.根据棱台的定义知,BD与B1D1共面.又已知平面ABCD/平面A1B1C1D1,且平面ABCD平面BB1D1D=BD, 平面BB1D1D平面A1B1C1D1= B1D1.所以 BD/ B1D1,于是由AA2BD, ACBD, BD/ B1D1,可得AA2 B1D1, AC B1D1.又AA2AC=A,所以直线B1D1平面ACC2A2；(2)由于四棱柱ABCD-A2B2C2D2底面是正方形,侧面是全等的矩形.所以S1=(A2B2)2+4ABAA2=102+41 300(cm2).又四棱台A1B1C1D1-ABCD上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以S2=(A1B1)2+4（AB+ A1B1）h2=202+2(10+20) 1 120(cm2).所以S= S1+ S2=2 420(cm2).故需加工处理费2 4200.2=484（元）.4.（2012陕西高考理科18）（）如图，证明命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则”为真.（）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）【解析】（）（证法一） 如图，过直线b上任一点作平面的垂线n，设直线的方向向量分别是，则共面，根据平面向量基本定理，存在实数使得，则，因为，所以，又因为，所以，故，从而，即.（证法二）如图，记,P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO，垂足为,则.PO，直线PO，又，平面PAO，平面PAO，又平面PAO，.（）逆命题为：是平面内的一条直线，b是外的一条直线（b不垂直于），c是直线b在上的投影，若，则.逆命题为真命题.5.（2012浙江高考文科20）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB=.AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点.（1）证明： EFA1D1； BA1平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.【解题指南】考查线面间的位置关系，同时要注意棱柱性质的运用.【解析】（1）由ADBC，可得AD，又，AD所以又平面B1C1E=,所以,又A1D1，所以EFA1D1在和中所以，由ADAB可得，又又，可得，又，且BA1平面B1C1EF.(2) 设,连结C1O.由（1）可知BC1与平面B1C1EF所成的角为在中，,即解得BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值为.6.（2012北京高考文科16）如图1，在RtABC中，C=90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2.ABCDEFCBEDA1F图1图2（1） 求证：DE平面A1CB；（2） 求证：A1FBE；（3） 线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由.【解题指南】折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化.第（1）问证明线面平行，可以证明DE/BC；第（2）问证明线线垂直转化为证明线面垂直即证明A1F平面BCDE；第（3）问取中点Q，再证明A1C平面DEQ.【解析】（1）分别是AC，AB的中点，又DE/平面A1BC.（3）取中点Q，中点P，连结DP，PQ，QE.则PQ/BC，.由（2）知 .又PQA1C.A1D=DCA1DC是等腰三角形.又点P为A1C的中点，A1CPD.即A1C平面DEQ.7.（2012江苏高考16）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点D 不同于点C），且为的中点EFDCABC1A1B1求证：（1）平面平面； （2）直线平面ADE【解题指南】（1）关键在平面与平面中的一个平面上找一条直线与另一个平面垂直.（2）关键在平面内找一条直线与直线平行.【解析】（1）分别是棱上的点（点D 不同于点C），且又因三棱柱为直三棱柱，所以有平面，即有又在平面内BB1与DE必相交，所以平面又平面所以平面平面.（2）在直三棱柱中，所以有又由（1）知平面所以所以D为边BC上的中点，连接DF得AA1FD为平行四边形，故又平面，A1F平面ADE,所以直线平面ADE8.（2012福建高考文科19）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点（）求三棱锥A-MCC1的体积；（）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M平面MAC【解析】（）连接由长方体知，平面，点A到平面的距离等于，又，（）将侧面绕逆时针转展开，与侧面共面，当,共线时，取得最小值由，得为中点，连接B1M,在中，CC12=MC12+MC2,得CMC1=90，即CMMC1.又由长方体知，平面，又，平面，得；同理可证，又；平面9.（2012广东高考文科18）如图所示，在四棱锥中，,是的中点，是上的点，且,为中边上的高. （1）证明：；（2）若求三棱锥的体积；（3）证明：.【解题指南】（1）证明线面垂直利用判定定理需证线线垂直，本题易证：.(2)由E是PB的中点知，V三棱锥E-BCF=V三棱锥P-BCF,由（1）知，PH为三棱锥P-BCF的高，V三棱锥P-BCF可求.(3)解决本题的第一个难点是证,通过取AB的中点M，证即可.第二个难点是证，需证，进一步需证：即可.【解析】(1),又且.（2）.(3)连接PF，HF，取AB的中点M，连接FM，EM，因为E为PB的中点，所以EM/PA,四边形DFMA为平行四边形，所以FM/AD,又因为,所以所以,所以所以.又因为,所以，所以,所以，又因为E为PB的中点，所以又，所以.10.（2012山东高考文科19）如图，几何体是四棱锥，为正三角形，.()求证：；()若，M为线段AE的中点，求证：平面.【解题指南】（1）先取BD中点O，连接OC，OE；证明OE是BD的垂直平分线即可.（2）本题考查线面的平行关系，可取AB中点N，连接 利用平面MND平面BEC来证.【解析】(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知，又已知，COCE=C,所以平面OCE.所以，即OE是BD的垂直平分线，所以.(II)取AB中点N，连接M是AE的中点，是等边三角形，.由BCD120知，CBD30，所以ABC60+3090，即，所以NDBC，又MNDN=N,BEBC=B,所以平面MND平面BEC，故DM平面BEC.11.（2012安徽高考理科18）平面图形如图1所示，其中是矩形，.现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接A1A,A1B,A1C,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.（）证明：； （）求的长；（）求二面角的余弦值.【解析】（I）取的中点为点，连接 则，面面面同理：面 得：共面又面（）延长到，使 得： ，面面面面,在RtAA1D中， （）是二面角的平面角 在中， 在中， 得：二面角的余弦值为.12.（2012安徽高考文科19） 如图，在长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点.（）证明： ；（）如果=2，=，,，求 的长.【解题指南】（1）通过线面垂直证明线线垂直；（2）得到对应的线段成比例，进而求得AA1的长.【解析】（I）连接，共面 长方体中，底面是正方形 面. （）连接A1C1，在矩形中， 得：关闭Word文档返回原板块。- 14 -
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