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上海 高一数学 函数运算及基本性质一、 函数的运算1、 和函数与积函数的概念（1） 定义：一般的，函数与，设，并且不是空集，我们把叫做函数与的和；把叫做与的积。（2） 注意： 如果的定义域与的定义域的交集是空集，那么，无意义。 两个函数的和与积，都是在两函数的公共定义域中定义的，在这个公共定义域D中，任取，都有唯一的一个值和它对应，因此，这样的和与积都是函数。 求积函数的函数值与求和函数的函数值类似，需先看自变量是否在定义域内。（3） 拓展：思考差函数、商函数例1、设，。（1） 求，并求它的定义域；（2） 求，。解析：两个函数的和或积所得的函数的定义域不能孤立来求，必需要注意到原来函数的定义域。例2、已知。（1） 求函数；（2） 求和。解析：求、时一定先求定义域，而两个函数是否相同还要看对应法则与定义域是否一致。2、 和函数与积函数的图像及应用和函数的图像可以看作是由若干个函数的图像在其对应位置上的叠加而成的，积函数的图像一般只能用列表描点法完成。例：函数是由和两个函数相加得到的和函数。例3、已知。（1） 求；（2） 在直角坐标系中作出的图像。解析：和函数的图像可以看作和的函数图像在对应的自变量所得的函数值叠加而成，这即是和函数的几何意义。2、 函数的基本性质（1）1、 偶函数的定义及性质判断（1） 定义：设，任取，有，则称函数为偶函数。（2） 判定：判断函数定义域关于原点对称是这个函数为偶函数的必要非充分条件，因此判断一个函数是否为偶函数首先判断定义域，然后求。（3） 偶函数图像特征 函数是偶函数函数图像关于轴对称。如果要作出偶函数，那么的图像关于轴成对称图形，反之，如果的图像关于轴对称，那么这个函数必是偶函数。例4、判断函数是否为偶函数。例5、已知函数，求函数的值域。2、 奇函数的定义及判断（1） 定义：设，任取，有，则称函数为奇函数。（2） 判断：如果函数是奇函数，那么的图像关于原点成中心对称图形，反过来，如果一个函数的图像关于原点成中心对称图形，那么这个函数必是奇函数。（3） 奇函数的图像特征：思维拓展：常数函数一定是偶函数；若，则既是偶函数又是奇函数；反之，一个函数既是偶函数又是奇函数（，其中D是关于原点对称的任何一个非空数集。如D等）例6、若定义在R上，对任意均满足，试判断为奇函数还是偶函数？例7、已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图像如图所示，求不等式0的解集。3、 函数奇偶性的判断偶函数与偶函数的和是偶函数；偶函数与奇函数的和是非奇非偶函数；奇函数与奇函数的和函数是奇函数；偶函数与偶函数的积函数是偶函数；偶函数与奇函数的积函数是奇函数；奇函数与奇函数的积函数是偶函数；例8、判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）； （3）例9、求。（1） 若，求。（2） 已知的定义域为R，求。例10、（1）已知函数的定义域是（0，1），求的定义域？（2） 已知函数，对任意不为零的，都满足，求（3） 若函数满足，求；例11、求下列函数的值域：（1） ；（2） 。解析：用图像法和换元法思维误区点拨：本节知识在理解与运用中常出现的错误是：1、 对函数概念理解不透彻，不会求解复合函数的定义域。2、 不能正确确定函数定义域例12、设函数的定义域是（-2,1），则函数的定义域是 （ ）A B C D例13、已知。（1） 求的值；（2） 求的值。例14、下列各组函数是否为同一函数，试说明理由。（1） ； （2）（3）例15、（1）已知，求的表达式； （2）已知的表达式例16、已知函数的定义域是（0,1），求函数的定义域。随堂练习：1、已知函数为偶函数，则的值是（ ） A B C D 2、设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（ ） A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数 3、函数是（ ） A 是奇函数又是减函数 B 是奇函数但不是减函数 C 是减函数但不是奇函数 D 不是奇函数也不是减函数4、 设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式