优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第10章§.ppt

10 8离散型随机变量的均值与方差 正态分布 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 10 8离散型随机变量的均值与方差 正态分布 双基研习 面对高考 1 均值 1 若离散型随机变量X的分布列为 则称EX 为随机变量X的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 2 若Y aX b 其中a b为常数 则Y也是随机变量 且E aX b a1p1 a2p2 aipi anpn aEX b 双基研习 面对高考 3 若X B n p 则EX 当随机变量X服从参数为N M n的超几何分布时 它的均值EX 2 方差 1 设X是一个离散型随机变量 我们用 来衡量X与EX的平均偏离程度 E X EX 2是 X EX 2的期望 并称之为随机变量X的 记为 2 对DX的理解 DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度 DX越大 表明平均偏离程度 说明X的取值越 反之 DX越小 X的取值越 在EX附近 np E X EX 2 方差 DX 越大 分散 集中 1 随机变量的均值 方差与样本均值 方差的关系是怎样的 思考 提示 随机变量的均值 方差是一个常数 样本均值 方差是一个随机变量 随观测次数的增加或样本容量的增加 样本的均值 方差趋于随机变量的均值与方差 思考感悟 3 正态分布 1 正态变量概率密度曲线的函数表达式为f x 其中 为参数 且 0 正态分布通常记作 2 正态变量概率密度函数的图像叫作 我们把 的正态分布叫作标准正态分布 N 2 正态曲线 数学期望为0 标准差为1 4 正态分布曲线具有以下性质 1 函数图像关于直线 对称 2 0 的大小决定函数图像的 胖 瘦 越大 正态曲线越扁平 越小 正态曲线越尖陡 3 在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1 4 若X N 2 则P X 68 3 P 2 X 2 P 3 X 3 99 7 x 95 4 2 正态分布中 2的实际意义是什么 思考 提示 是均值 2是方差 思考感悟 1 若X的分布列为 其中m 0 1 则EX A 1 mB mnC m nD m答案 A 2 有甲 乙两种水稻 测得每种水稻各10株的分蘖数据 计算出样本方差分别为DX甲 11 DX乙 3 4 由此可以估计 A 甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B 乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C 甲 乙两种水稻分蘖整齐程度相同D 甲 乙两种水稻分蘖整齐不能比较答案 B 答案 B 4 教材习题改编 已知X是掷两个均匀骰子点数中较大的数 则EX 5 2009年高考广东卷 已知离散型随机变量X的分布列如下表 若EX 0 DX 1 则a b 考点探究 挑战高考 1 求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列然后利用公式计算 2 由X的期望 方差求aX b的期望 方差是常考题之一 常根据期望和方差的性质求解 2010年高考福建卷 设S是不等式x2 x 6 0的解集 整数m n S 1 记 使得m n 0成立的有序数组 m n 为事件A 试列举A包含的基本事件 2 设 m2 求 的分布列及其数学期望E 思路点拨 确定A包含的基本事件数后求出 的取值 再求出随机变量的概率即可写出分布列 由分布列求期望 解 1 由x2 x 6 0 得 2 x 3 即S x 2 x 3 由于m n Z m n S且m n 0 所以A包含的基本事件为 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 2 由于m的所有不同取值为 2 1 0 1 2 3 所以 m2的所有不同取值为0 1 4 9 故 的分布列为 名师点评 1 随机变量的数学期望等于该随机变量的每一个取值与取该值时对应的概率乘积的和 2 均值 数学期望 是随机变量的一个重要特征数 它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平 均值 数学期望 是算术平均值概念的推广 是概率意义下的平均 3 EX是一个实数 即X作为随机变量是可变的 而EX是不变的 变式训练1 2009年高考全国卷 甲 乙二人进行一次围棋比赛 约定先胜3局者获得这次比赛的胜利 比赛结束 假设在一局中 甲获胜的概率为0 6 乙获胜的概率为0 4 各局比赛结果相互独立 已知前2局中 甲 乙各胜1局 1 求甲获得这次比赛胜利的概率 2 设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数 求 的分布列及数学期望 解 记Ai表示事件 第i局甲获胜 i 3 4 5 Bj表示事件 第j局乙获胜 j 3 4 1 记C表示事件 甲获得这次比赛的胜利 因前两局中 甲 乙各胜一局 故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中 甲先胜2局 从而C A3 A4 B3 A4 A5 A3 B4 A5 由于各局比赛结果相互独立 故P C P A3 A4 P B3 A4 A5 P A3 B4 A5 P A3 P A4 P B3 P A4 P A5 P A3 P B4 P A5 0 6 0 6 0 4 0 6 0 6 0 6 0 4 0 6 0 648 2 的可能取值为2 3 由于各局比赛结果相互独立 所以P 2 P A3 A4 B3 B4 P A3 A4 P B3 B4 P A3 P A4 P B3 P B4 0 6 0 6 0 4 0 4 0 52 P 3 1 P 2 1 0 52 0 48 故 的分布列为 E 2 P 2 3 P 3 2 0 52 3 0 48 2 48 均值仅体现了随机变量取值的平均大小 但有时仅知道均值大小还是不够的 比如 两个随机变量的均值相等了 这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周围变化 即计算其方差 或标准差 方差大说明随机变量取值分散性大 方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中 稳定 某市出租车的起步价为6元 行驶路程不超过3km时 租车费为6元 若行驶路程超过3km 则按每超出1km 不足1km也按1km计程 收费3元计费 设出租车一天行驶的路程数X 按整km数计算 不足1km的自动计为1km 是一个随机变量 则其收费也是一个随机变量 已知一个司机在某一天每次出车都超过了3km 且一次的总路程数可能的取值是20 22 24 26 28 30 km 它们出现的概率依次是0 12 0 18 0 20 0 20 100a2 3a 4a 1 求这一天中一次行驶路程X的分布列 并求X的数学期望和方差 2 求这一天中一次所收租车费Y的数学期望和方差 思路点拨 1 由分布列的性质求a的值 然后根据分布列用公式求均值和方差 2 由题意Y 3X 3 再用性质求均值和方差 解 1 由分布列的性质有0 12 0 18 0 20 0 20 100a2 3a 4a 1 100a2 7a 0 3 1000a2 70a 3 0 EX 20 0 12 22 0 18 24 0 20 26 0 20 28 0 18 30 0 12 25 km DX 52 0 12 32 0 18 12 0 20 12 0 20 32 0 18 52 0 12 9 64 2 由已知Y 3X 3 X 3 X Z EY E 3X 3 3EX 3 3 25 3 72 元 DY D 3X 3 32DX 86 76 名师点评 求离散型随机变量的期望与方差 首先要准确写出其分布列 根据分布列用公式求解 同时注意性质的应用 达到简化运算的目的 正态分布问题可利用变换公式转化为标准正态分布问题 标准正态分布可通过查表 或提供的数据 进行求解 正态分布有两个重要的参数 平均数 期望 数学期望 和标准差 我们不但要明白 和 在统计上的意义 还要对应到正态曲线上的曲线几何意义 做到从概率 统计 曲线 函数这四个方面来把握和理解 其中后两个方面是作为数学工具来为前两个方面服务的 一次数学考试中 某班学生的分数X N 110 202 且知满分150分 这个班共有54人 求这个班在这次数学考试中及格 不小于90分 的人数和130分以上的人数 思路点拨 正态分布已经确定 则总体的期望 和标准差 就可以求出 这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解 名师点评 解答这类问题的关键是确定所求随机变量在哪个区间内取值 这个区间与应该熟记的三个区间 2 2 3 3 之间的关系 一些与现实生活有密切联系的问题 主要利用离散型随机变量的均值与方差 判断方案优劣 水平高低等 2011年广州模拟 某投资者有10万元 现有两种投资方案 一是购买股票 二是存入银行获取利息 买股票的收益主要取决于经济形势 假设可分三种状态 形势好 形势中等 形势不好 即经济衰退 若形势好 可获利40000元 若形势中等 可获利10000元 若形势不好 要损失20000元 如果是存入银行 假设年利率为8 即可得利息8000元 又设经济形势好 中等 不好的概率分别为30 50 和20 试问该投资者应选择哪一种投资方案 思路点拨 买股票的收益与经济形势有关 存入银行的收益与经济形势无关 因此 要确定选择哪一方案 就必须通过计算这两种投资方案对应的收益期望值E来进行判断 解 由题设 一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的收益与概率如下表所示 购买股票 存入银行 从上表可以初步看出 如果购买股票 在经济形势好和经济形势中等的情况下是合算的 但如果经济形势不好 则采取存入银行的方案比较好 下面通过计算加以分析 如果购买股票 其收益的期望值E1 40000 0 3 10000 0 5 20000 0 2 13000 元 如果存入银行 其收益的期望值E2 8000 0 3 8000 0 5 8000 0 2 8000 元 因此 购买股票的收益期望值比存入银行的收益期望值大 按期望收益最大原则 应选择购买股票 名师点评 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平 方差反映了随机变量稳定于均值的程度 它们从整体和全局上刻画了随机变量 是实际中用于方案取舍的重要的理伦依据 一般先比较均值 若均值相同 再用方差来决定 从而解决相关问题 变式训练2随机抽取某厂的某种产品200件 经质检 其中有一等品126件 二等品50件 三等品20件 次品4件 已知生产1件一 二 三等品获得的利润分别为6万元 2万元 1万元 而生产1件次品亏损2万元 设1件产品的利润 单位 万元 为 1 求 的分布列 2 求1件产品的平均利润 即 的数学期望 3 经技术革新后 仍有四个等级的产品 但次品率降为1 一等品率提高为70 如果此时要求1件产品的平均利润不小于4 73万元 则三等品率最多是多少 故 的分布列为 2 E 6 0 63 2 0 25 1 0 1 2 0 02 4 34 万元 3 设技术革新后的三等品率为x 则此时1件产品的平均利润为E 6 0 7 2 1 0 7 0 01 x x 2 0 01 4 76 x 0 x 0 29 依题意 E 4 73 即4 76 x 4 73 解得x 0 03 所以三等品率最多为3 方法技巧 1 期望与方差的常用性质 掌握下述有关性质 会给解题带来方便 1 E a b aE b E E E D a b a2D 2 若 B n p 则E np D np 1 p 2 基本方法 1 已知随机变量的分布列求它的期望 方差和标准差 可直接按定义 公式 求解 如例1 2 已知随机变量 的期望 方差 求 的线性函数 a b的期望 方差和标准差 可直接用 的期望 方差的性质求解 3 如能分析所给随机变量是服从常用的分布 如两点分布 二项分布等 可直接利用它们的期望 方差公式求解 如例3 失误防范 1 在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式 2 对于应用问题 必须对实际问题进行具体分析 一般要将问题中的随机变量设出来 再进行分析 求出随机变量的概率分布 然后按定义计算出随机变量的期望 方差或标准差 考向瞭望 把脉高考 离散型随机变量的均值和方差是每年必考的知识点之一 题型为填空题或解答题 属中档题 常与排列组合 概率等知识综合命题 既考查基本概念 又注重考查基本运算能力和逻辑推理能力 预测2012年高考中 离散型随机变量的均值和方差仍然是高考热点 同时应特别注意 均值与方差的实际应用 本题满分12分 2010年高考江西卷 某迷宫有三个通道 进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门 首次到达此门 系统会随机 即等可能 为你打开一个通道 若是1号通道 则需要1小时走出迷宫 若是2号 3号通道 则分别需要2小时 3小时返回智能门 再次到达智能门时 系统会随机打开一个你未到过的通道 直至走出迷宫为止 令 表示走出迷宫所需的时间 1 求 的分布列 2 求 的数学期望 名师点评 1 本题易失误的是 不能正确确定随机变量的取值 不能熟练正确掌握和运用数学期望公式 2 求解一般的随机变量的数学期望的基本方法是 先根据随机变量的意义 确定随机变量可以取哪些值 再根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率 列出分布列 然后根据数学期望公式计算 1 第一个小组做了5次这种植物种子的发芽试验 每次均种下一粒种子 求他们的试验至少有3次成功的概率 2 第二个小组做了若干次这种植物种子的发芽试验 每次均种下一粒种子 如果在一次试验中种子发芽就停止试验 否则就继续进行下次试验 直到种子发芽为止 但试验的次数不超过5次 求这一小组所做的种子发芽试验的次数 的分布列和数学期望 解 1 设在这5次植物种子的发芽试验中 有x次成功 至少有3次成功 的概率为P 该事件包括3次 4次和5次成功 2 依题意 的分布列为 本部分内容讲解结束 点此进入课件目录 按ESC键退出全屏播放 谢谢使用