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目 录一、分数乘法找准数量关系1二、找规律（一）5三、找规律（二）9四、量率对应13五、趣味探索17六、组合图形巧求面积（一）21七、组合图形巧求面积（二）25八、工程问题29九、分数、百分数的应用133十、分数、百分数的应用237十一、商业中的数学41十二、有趣的数学故事45十三、有趣的数学题49十四、分数乘法举例列举法53十五、分数乘法倒数的进一步认识57分数乘法找准数量关系学习导航1、会找单位“1”，明确分数的意义，从而准确找出数量关系。 2、比谁多，比谁少的问题是一个难点，根据学生的思维水平，让学生跳一跳摘到桃子，进一步深化对单位“1”的理解，激发学生学习的欲望和兴趣。3、拓展练习、培养能力，实际的应用才能巩固学生解决这类问题的能力，在练习层次的设计上，使学生掌握解决问题的方法。一、快乐对对碰 实验小学去年有24个班级，今年扩大规模，班级数比去年增加。你能提出什么问题？二、趣味探索今年增加了多少个班级？表示的意义是 单位“1” 是 数量关系是：去年的班级数=今年比去年增加的班级数。 我会列算式：24=9（个）。试一试今年有多少个班级？ 三、大显身手1、先说说各个分数的意义，再把数量关系式补充完整。（1）皮球的个数比篮球多。 （ ）的个数=（ ）的个数（2）实际用水量比原计划节约。 （ ）用水量=（ ）用水量2、一件上衣，原价63元，现在的价钱比原来降低了。降价多少元？3、小红有28张邮票，小明的邮票比小红多。小明比小红多多少张邮票？四、数学万花筒分数的由来200多年前，瑞士数学家欧拉，在通用算术一书中说，要想把7米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它如果我们把它分成三等份，每份是米像 就是一种新的数，我们把它叫做分数。为什么叫它分数呢？分数这个名称直观而生动地表示这种数的特征例如，一只西瓜四个人平均分，不把它分成相等的四块行吗？从这个例子就可以看出，分数是度量和数学本身的需要除法运算的需要而产生的。 最早使用分数的国家是中国。我国古代有许多关于分数的记载。 九章算术是我国1800多年前的一本数学专著，其中第一章方田里就讲了分数四则算法。在古代，中国使用分数比其他国家要早出一千多年所以说中国有着悠久的历史，灿烂的文化。猪八戒分桃子一天，八戒去花果山找悟空，可偏偏不巧，大圣不在家。小猴子们热情的招待八戒，采了山中最好吃的山桃整整100个，八戒高兴的说，“大家一起吃，大家一起吃！”可怎样吃呢，数了数共30只猴子，八戒找个树枝在地上左画右画，列起了算式，100303.1（我笨，把100和30同时划去一个0），八戒指着上面的3，大方的说，“你们一个人吃3个山桃吧，瞧，我就吃那剩下的1个吧！”小猴子们很感激八戒，纷纷道谢，然后每人拿了各自的一份，从旁吃去了。 悟空回来后，小猴子们对悟空讲今天八戒如何大方，如何自已只吃一个山桃，悟空看了八戒的列式，大叫，“好个呆子，多吃了山桃竟然还嘴硬，我去找他！” 哈哈，你知道八戒吃了几个山桃？找规律（一）学习导航1.使学生通过观察、推理等活动，发现数字的变化规律。2.培养学生初步的观察、推理能力，培养学生发现和欣赏数学美的 意识。引导学生发现规律，帮助学生理解和掌握找数字排列规律 的一般方法。3.让学生在探索规律的活动中获得成功的体验,增强对数学学习的兴趣和信心;在他人的帮助下,能及时调整自己的探索策略。一、快乐对对碰1. 1，6，11，16第10个数是（）2. ，（），（）3. ，（），（）4. , ,( ), ,( )二、趣味探索1. 1，6，11，16第10个数是（）点拔：首先看这道题要是按顺序那第一项和第二项，第二项和第三项很难看出他们两者之间有什么关系，那么你会发现1和11,6和16感觉上有点规律，那么就尝试看看第一项和第三项，第二项和第四项，也就分开找规律，奇数项的规律和偶数项的规律，你会发现第一项与第三项差10，第二项和第四项也差10，也就是说第一、三、五、七、九项在1的基础上后一项比前一项多10，同理第二、四、六、八、十项在6的基础上后一项比前一项也多10。解答：题目当中要求的是第10项，那么第十项是偶数项里面的，从第2项到第10项要多多少个10？应该怎样思考？要考虑偶数和奇数都是一半所以首先应该102=5，偶数有五个分别是2、4、6、8、10，联想到植树问题里五个数有四个空，那就是在第一个数的基础上加四个10，就是6+10+10+10+10=46第十项是46.2. ，（），（）点拔：首先看分数的分母不变，分子都是除以。也就是每一前面项除以2就是后面项，但是为了简便运算最好是每一前面的项乘。这样就不会出现运算错误。解答：= 3. ，（），（）点拔：首先你会发现分母在前一项的基础上乘，分子在前一项的基础上乘.也就是每一前面的项乘等于后面的项。解答：4. ，,( ), ,( )，（）点拔：首先你会发现这是分子分母分别依次减小，那么就是分母是在前一项的基础上除以3，而分子是在前一项的基础上除以2.那要是这样计算算到的后一项的时候学生会容易出现计算错误分子1除以2，分母3除以3，学生会不知道除以的这个2应该写在什么地方，到底是分子还是放在分母上。那么下一个数就会一连错下去，所以比较容易理解的分母除以2就是乘，那分母除以3就是乘3，所以你不难发现后一项是在前一项乘后得到的。用乘法来计算学生容易接受。 所以：每一前面的项乘可得后面的项.解答： =三、大显身手1. 1,2,3,4,9,8,( ) ,( ) ,81,322. ,( ), ,( )3. ,1, ，（ ），（ ）4. ，（ ），（ ）5. 观察分析下面这串分数的变化规律： ， 求：是第几个分数？ 四、数学万花筒 贝勃定律有人做过一个实验：一个人右手举着300克重的砝码，这时在他的左手放上305克的砝码，他并不会觉得有多少差别。直到左手砝码的重量加至306克时，才会觉得有些重。如果右手举着600克砝码，这时左手上的重量要达到612克才能感觉到重了。也就是说，原来的砝码越重，后来就必须加更大的量才能感觉到差别。这种现象称为“贝勃定律”“贝勃定律”在生活中到处可见。比如，5角钱一份的晚报突然涨了50元钱，你会觉的不可思议，无法接受。但是，如果原本500万元的房产也涨了50元钱，甚至500元钱，你都会觉得价钱根本没有变化。精明的人会利用“贝勃定律”为自己减轻做事的阻力。一些商家调整产品的价格时，他们会先小幅度上涨价格，在人们都接受了以后再大幅加价。有经验的谈判专家，都会在谈判临近结束时才提出一些棘手的条件。二对方被一开始的优厚条件所诱惑，常常就不怎么在意之后才提出的那些条件了。找规律（二）学习导航1、学生通过观察、猜测、实验、推理等活动使学生发现数字的循环排列规律。2、通过教学活动初步发展学生的想象力，培养学生的创新意识、观察、操作及归纳推理能力。3、培养学生发现和欣赏数学美的意识，运用数学去创造美的意识；使学生知道生活中事物有规律的排列隐含着数学知识。一、快乐对对碰1. +和 +和 发现什么规律？2. 根据=-和=-算出+ 二、趣味探索1. +和 +和 发现什么规律？点拔：首先你会发现都是和这两个数，而且这两个数的分子都相同并且这两个数的分母加起来等于他们的分子（2+7=9）不同的是前面是这两个数的和而后面是这两个数的乘积。这样要找规律怎么办？只能按照题目中给出的要加就加算出接过来：+= 要乘就乘出接过来=，那么这样你会发现原来规律是这样的：两个分数分子相同，两个分数的分母之和等于分子，那么这样的两个分数之和与这两个分数之积的结果是相等的。同样和这两个数也是分子相同，这两个分数的分母相加等于分子（3+5=8），计算出两分数的和：+= 两分数的积： =。规律也是这样的：解答：两分数的分子相等且等于两分母之和那这两个分数相加等于这两个分数相乘。2. 根据=-和=-算出+ 点拔：根据已知=-，=-，你会写出=- =-那么+ 就等于-+-+-+-你会发现中间的减掉一个又加了一个，同样的减掉一个又加了一个，那后面也是减掉一个后面肯定是加上一个，同样加的前面是减掉一个所以中间的这些数你会发现都可以抵消掉。那么就剩下第一项和最后一项了，就是-，这样就容易计算了。解答：-+-+-+-=-=三、大显身手1. -=（ ） = ( ) -= ( ) =（ ） 1. 先计算，再观察每组数的得数，你发现什么规律？2. 你还能再写几组算式吗？2. 3= +3= , 4= +4= ，5= +5= 你发现什么规律？再试着写几组。3. 根据=- =-+=四、数学万花筒 微软的面试题 全球最大规模的电脑软件公司微软在招聘员工的考试中常常会出一些看似简单，却很难回答的问题。下面是一道微软公司的面试题，你会给出怎样的答案？为什么下水道的盖子是圆形的而不是正方形的？应聘者的回答可说是五花八门。有人诙谐地回答：下水道的洞口是圆形的，盖子当然也应该是圆的？应聘者回答：因为圆形的洞比正方形的洞好挖。还有人给出这样的答案：在进行短距离搬运时，圆形的盖子可以很方便地通过滚动的方法来搬运，而正方形的盖子就不容易搬运，你需要借助手推车或者由两个人抬着走。再有一点就是，用圆形盖子盖住洞口时，不需要怎么调整就可以与洞口严丝合缝。主考官认为最好的回答是：正方形的盖子容易掉到洞里去。想一想，如果盖子真的掉进下水道的话，那么。不是发生伤害施工人员的事故，就是盖子掉到水里，很难打捞。为什么正方形的盖子容易掉下去呢？这是因为正方形的对角线比它的边长要长一些。如果把一个正方形的盖子垂直地立起来，稍微一转，它就会很容易掉到下水道里去。与此相反，圆的直径都是等长的，这使它很难掉到洞里去。这个问题是微软最为有名的面试题。由于“曝光率”太高，微软在面试中已经停止使用这道题了。量率对应学习导航1.在解答分数，百分数应用题时，首先要弄清单位“1”，其次要分析具体数量与单位“1”之间的关系。再根据具体数量和实际分率的对应关系，求得所求问题。2.使学生理解和掌握求一个数是另一个数的几分之几的应用题的解题思路和方法。理解分数的含义，掌握有关分率的计算方法。3.依据分数与百分数应用题的内在联系，培养学生的迁移类推能力。是本节课的教学重点。正确分析题里的数量关系，正确列式一、快乐对对碰1.王师傅计划做一批零件，第一天做了计划的 ，第二天又做了余下的 ，这时还剩42个零件没做，王师傅计划做多少个零件？2 发电厂去年计划发电70万千瓦时，结果上半年完成计划的，下半年完成计划的，去年超额发电多少万千瓦时？ 二、趣味探索1.点拔：首先你可以通过画图来分析这个题目，这样更一目了然.请自己作图。把计划做的零件总数看作单位“1”，解题关键是找到与剩下42个零件对应分率。第一天做了，是把计划做的零件总数看作单位“1”，第二天又做了余下的，而这是把余下的零件看做是单位“1”，那么余下了多少？就用总共的单位1减掉第一天做的即（1-=），那第二天做的就是余下单位“1”的，在中又做了，就是余下了的即=,第一天做了，又做了，做了两次后还剩下计划做的零件总数的几分之几，也就是用单位1减去第一天做的再减去又做的就是剩下的1- -= 那剩下的 42个没做就是要找42对应的分率，就是看做了两次后还剩下了几分之几，因此42个与计划的相对应。也就是计划做的零件总数的是42个，那这样由部分求整体用除法，就是具体的量除以这具体量所对应整体的几分之几。也就是用42.解答：42【（1-）（1-）】 =42【】=42=245（个）答：王师傅计划做245个零件。2.点拔: 求超额发电多少万千瓦时，需先求超额完成了计划的几分之几，根据上半年、下半年完成的分率，可知全年超额完成了计划的+-1=，根据超额完成的分率可以求出超额完成的具体千瓦时。 【解答】 70（+-1）=70=2（万千瓦时） 答：去年超额发电2万千瓦时。三、大显身手1 一瓶油第一次吃去，第二次吃去余下的，这时瓶内还有千克，这瓶油原来有油多少千克？2 张明看一本故事书，每天看30页，3天后还剩全书的没有看。这本故事书共有多少页？3第一桶汽油，第一次取出12千克，第二次取出剩下的，第三次取出全桶油的，正好取完，第二次取出多少千克？4 把一批面粉分给三个工厂，甲厂先分得这批面粉的，乙厂分得余下的，最后丙厂分得14.4吨，这批面粉重多少吨？四、数学万花筒 谁 是 凶 手 A、B、C3个探险家在沙漠中偶遇。A和B都认识C，并且都跟C有仇。 A决定借机谋杀C，他偷偷在C地水壶里下了剧毒。 B也想杀害C，但他不知道A已经有所行动。B趁C没留神，在C地水壶底凿了个洞。不一会儿，里面的水就漏光了。 因为缺水，当天晚上，C死在了离营地只有1英里的沙漠里。 看了上面这个故事后，你认为谁是杀害C的凶手？ 你也许会说，A是凶手。可是，C是渴死的，跟A下的毒药无关。 如果你断定B是凶手，也许有人站出来为B辩解：B把毒水从C的水壶里排掉，延长了他的生命。要是没有B，C一喝下含有剧毒的水，很快就会死亡，而不可能坚持到晚上。如果C早点儿赶到营地，他就不会死，那B就成了他的救命恩人。虽然C最后没有及时赶到营地，但那不是B造成的。 我们从伦理道德的角度看，A和B心怀歹意，都犯了不可推卸的道德罪。但从法律的角度考虑，不同的法官将会得出截然不同的结论。看问题的角度不同，得出的结论就不同。趣味探索学习导航1使学生理解“平均数”的含义，掌握简单求平均数的方法的同时会求复杂的求平均数的方法再求平均数的过程中加强理解比例与分数的联系 2培养学生分析、综合的能力和操作能力 3使学生感悟到数学知识与生活联系紧密，增强对数学的兴趣一、快乐对对碰1. A、B、C3个数的平均数是，A、B、C、D4个数的平均数是。D是多少？2. 甲、乙两数相差75，甲数除以乙数的商是，甲、乙两数各是多少？二、趣味探索1. A、B、C 3个数的平均数是，根据平均数的定义可以写成=.再由A、B、C、D4个数的平均数是，根据平均数的定义可以写成=。要求D是多少，不可能把A、B、C都求出来，但是可以把A、B、C的和看成是一个整体，那么根据=，等式的左右两边同时乘3可以算出A+B+C=3=。再由=，登时左右两边同时乘4可以写成A+B+C+D=4=，那么把A+B+C=带入到A+B+C+D=，也就是把用我们学习的替换策略，A+B+C+D=把A+B+C替换成 ，就变成了+D=，等式的左右两边都减即： +D -= - D=2. 甲、乙两数相差75，可得甲-乙 =75，甲数除以乙数的商是，甲乙=1:4，也可以理解为乙数是甲数的4倍。那么可以解：设甲数为x，乙数为4x.根据甲-乙 =75，4x-x=75,3x=75,x=25，4x=100。所以甲数是25，乙数是100.三、大显身手1.小军，小明，小红三人的平均体重是a，小军和小明的平均体重是b,小红的体重是（ ）2.甲数与乙、丙2数的平均数的比是7:13，甲数与甲、乙、丙3数的平均数的比是（ ）。3.甲、乙、丙三个数的平均数是20.甲、乙、丙三个数的比是3:2:1。甲、乙、丙三个数分别是多少？4.盒子里有三种颜色的球，黄球个数与红球个数的比是2:3，红球个数与白球个数的比是4:5.已知三种颜色的球共175个，红、黄、白球各有多少个？四、数学万花筒减法数学课上，数学教师对一位学生说：“你怎么连减法都不会？例如，你家里有十个苹果，被你吃了四个，结果是多少呢？”这个学生沮丧地说道：“结果是挨了十下屁股！”五百只鸭子一位男数学教师对两个吵闹不休的女学生说：“两个女人的声音，犹如一千只鸭子的叫声。”一会儿，数学教师的妻子来看望他。其中一个女学生赶来报告。“老师，门外有五百只鸭子来看您。”数学家谈恋爱数学家同女朋友在公园漫步。女朋友问他：“我满脸雀斑，你真的不介意？”数学家温柔地回答：“绝对不！我生来最爱跟小数点打交道。”谁最吝啬“你说，世界上谁最吝啬？”“当然是数学家。”“为什么？”“他们是毫厘必争呀！”组合图形巧求面积（一）学习导航1、认识组合图形,会把组合图形分解成已学过的平面图形。2、通过找一找、分一分、拼一拼,培养学生识图的能力和综合运用有关知识的能力,能合理地运用“割”、“补”等方法来计算组合图形的面积。3、培养学生的观察能力和动手操作的技能,发展空间观念,提高思维的灵活性。4、通过拼组图形,使学生感受数学与现实生活的密切联系,体会数学带给大家的生活美。一、快乐对对碰1.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是（ ）平方厘米。2.图中扇形的半径OA=OB=6厘米., AC垂直OB于C,那么图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。二、趣味探索1.由图示可知,由右图是一个直角等腰三角形可知最上面的角是90度，等腰三角形两底角相等所以由三角形内角和可得其中一底角为45度。由（18090）245。 你可以仔细观察与圆和扇形联系可见这个图可以看成是组合图形，图是由两个圆心角为45度的扇形重合而成。图中阴影部分面积为两个圆心角为的扇形面积减去直角三角形的面积.即(平方厘米)。2. 三角形ACO是一个等腰直角三角形,将AO看作底边,AO边上的高为(厘米),故三角形ACO的面积为(平方厘米).而扇形面积为(平方厘米),从而阴影部分面积为14.13-9=5.13(平方厘米)。三、大显身手1.如图,阴影部分的面积是 .2.右图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面积是 (平方厘米).四、数学万花筒八岁的高斯发现了数学定理德国著名大科学家高斯(17771855)出生在一个贫穷的家庭。高斯在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误。长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。他八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小孩子读书，真是大材小用。经常出难题找机会处罚孩子。 “你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老师，答案是不是这样？”老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了。”他想不可能这么快就会有答案了。可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对的。”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+n的方法。高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。在他的鼓励下，高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了。组合图形巧求面积（二）学习导航1、让学生结合具体情境认识组合图形的特征，并能准确掌握和计算其他一些简单组合图形的面积。2、通过自主合作，培养学生独立思维、合作探究的意识。3、让学生在解决实际问题的过程中，感受平面图形的学习价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。一、快乐对对碰求图中阴影部分的面积（长度单位：厘米）二、趣味探索1.思路点拨：这个图形不是我们学过的简单图形，是个组合图形。是由一个扇形和一个直角梯形合并而成的。求阴影部分的面积就是求扇形面积和梯形面积的和，扇形圆心角的度数是整个圆的圆心角的度数剪掉直角梯形的90度（36090270）所以扇形圆心角的度数是270度，直角梯形的上底和高是扇形的半径，都是4厘米。（1）扇形的面积：3.14=37.68（平方厘米）（2）直角梯形的面积：（4+6）42=20（平方厘米）阴影部分的面积：37.68+20=57.68（平方厘米）答：阴影部分的面积是57.68平方厘米。2.思路点拔：这个图形是由一个直径是5厘米的半圆，和直径是3厘米的半圆与直径2厘米的半圆组成的，阴影部分是直径是5厘米的半圆的面积减去直径是3厘米的半圆的面积减去直径2厘米的半圆的面积。（1）直径5里面的半圆的面积：3.14=39.25（平方厘米）（2）直径3里面的半圆的面积：3.14=14.13（平方厘米）（3）直径3里面的半圆的面积：3.14=6.28（平方厘米）阴影部分的面积：39.25-14.13-6.28=18.84（平方厘米）答：阴影部分的面积是18.84平方厘米。三、大显身手计算下面各图中阴影部分的面积（单位：厘米）（温馨提示：首先要找出来是哪些图形的组合。）四、数学万花筒聪明青年智当女婿 在一个古代的欧洲国家里，有一位非常漂亮的公主。国王在王宫前的广场上举行了隆重的选女婿仪式。前来参加竞争的是l00名已被精心挑选过的青年。一位大臣向大家宣布了规则：竞选人以公主为首排成一个横列。在国王下达报数令后，由公主开始报数，每报数一次，所有的偶数退列。经过多次报数后，谁能够唯一地留在公主的身边，谁就是被选的女婿。 竞选来始了！那100名青年随着公主整整齐齐地排成一个横列。国王一声令下：“报数！”成千上万双眼睛都紧紧地注视着他们。一批竞选人落选了，又一批竞选人落选了.经过6次报数后，一个从小就喜爱数学的青年赢得了胜利，被选为女婿。这位聪明的青年人获胜的秘诀在哪里呢？要能够最后唯一地留在公主身边，关键在于第一次排队时所选的位置。确定这个位置并不难。一个办法是从1写到101，一次一次地将排列顺序中的偶数部分划去，即（1）1、2、3、4、5、100、101；（2）1、3、5、7、9、99、101；（3）1、5、9、13、1797、101；（4）1、9、17、25、3389、97；（5）1、17、33、49、65、81、97；（6）1、33、65、97我们不难知道被选女婿第一次排队时的位置的应是65。工程问题学习导航1、抓住学生思维的热点，让学生主动参与，感知知识的形成过程，调动学生原有的知识和生活经验，初步感知相遇，经过师生共同对知识的梳理，进一步深化对相遇问题的理解激发学生创新的欲望和兴趣。2、拓展练习、培养能力，实际的应用才能巩固学生解决这类问题的能力，在练习层次的设计上，使学生掌握问题的方法。一、快乐对对碰 甲乙两队开挖一条水渠，甲队单独挖要8天完成，乙队单独挖要12天完成。现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的工程明天挖完。问：乙队挖了多少天？乙队挖的天数，就是甲、乙合作挖的天数。二、趣味探索甲乙合作的工作量除以甲乙的工作效率之和，就得到甲乙合作的天数，也就是乙挖的天数。甲乙合做的工作总量等于工作总量单位1减去甲后3天做的工作总量。 三、大显身手加工一批零件，甲单独做20天可以完工，乙单独做30天可以完工。现两人合作来完成这个任务，合作中甲休息了2.5天，乙休息了若干天，做好14天完工，乙休息了几天？我是这样想的，14天完工，其中甲休息了2.5天，那么甲做了11.5天单位“1”减去11.5天做的工作总量就是乙做的工作总量，用乙做的工作总量除以乙的工作效率就是乙做的天数。四、数学万花筒列表也能解决问题甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞赛中得了前五名。发奖前老师要他们猜一猜各人所得的名次。甲猜：乙第三名，丙第五名；乙猜：戊第四名，丁第五名；丙猜测：甲第一名，戊第四名；丁猜：丙第一名；戊猜：甲第三名，丁第四名。老师说：每个名次都有人猜对了。试问：获得第四名的是谁？读完题目，你一定会感到头绪太多，无从下手。为了理出头绪，让我们把五位同学猜测的结果用表格列出 第一名第二名第三名第四名第五名甲 猜乙丙乙 猜戊丁丙 猜甲戊丁 猜丙乙戊 猜甲丁这时，注意到老师所说的“每个名次都有人猜对。”我们从表格中意外的发现：只有丁猜的“乙是第二名”这个结果是唯一的，立即可知乙一定是第二名。乙是第二名，就不会是第三名，所以甲一定是第三名。从而，甲不是第一名，则丙一定是第一名。由此又推得，丙不是第五名，丁是第五名。因为丁不可能是第四名，故第四名只能是戊。当然，列出表格以后，根据老师所说的话，也可以从第四名是戊或丁入手。经分析，如果丁是第四名，则将引出矛盾，从而确定只能是戊获得第四名。由此可知，有些问题，各种量之间关系复杂，并列出现的情况多，常会使你觉得难以入手。解题时，如果我们能选用合适的方法（包括画图、列表等），把有关的数据（或相互之间的关系）整理出来，则量与量之间的关系立刻跃然纸上，问题也就迎刃而解了。分数、百分数应用1学习导航拓展练习、培养能力，实际的应用才能巩固学生解决这类问题的能力，在练习层次的设计上，使学生掌握问题的方法。一、 快乐对对碰一篓苹果分给甲、乙、丙三人，甲分得全部苹果的加5个苹果，乙分得全部苹果的加7个苹果，丙分得其余苹果的，最后剩下的苹果正好等于一娄苹果的.这篓苹果有多少个？把一篓苹果的总个数看做单位“1”，运用倒推法，由“丙分得其余苹果的，最后剩下的苹果正好等于一篓苹果的”可知，丙分得的正好是一篓苹果的。二、趣味探索 我可以用线段图表示：从线段图上看出5个与7个的和就相当于一篓苹果（1-2）二、 大显身手甲数是乙数、丙数、丁数之和的，乙数是甲数、丙数、丁数之和的，丙数是甲数、乙数、丁数之和的。已知丁数是260，求甲数、乙数、丙数、丁数之和。甲数是乙数、丙数、丁数之和的，是把乙数、丙数、丁数之和看做单位“1”。乙数是甲数、丙数、丁数之和的，是把甲数、丙数、丁数之和看做单位“1”。丙数是甲数、乙数、丁数之和的，是把甲数、乙数、丙数、丁数之和看做单位“1”。四、数学万花筒对联中的数学(一) 花甲重开，外加三七岁月；古稀双庆，内多一个春秋这副对联是由清代乾隆皇帝出的上联，暗指一位老人的年龄，要纪晓岚对下联，联中也隐含这个数即上述下联上联的算式：26037=141，下联的算式：2701=141(二) 三强韩赵魏九章勾股弦上联为数学家华罗庚1953年随中国科学院出国考察途中所作团长为钱三强，团员有大气物理学家赵九章教授等十余人，途中闲暇，为增添旅行乐趣，华罗庚便出上联“三强韩赵魏”求对片刻，人皆摇头，无以对出他只好自对下联“九章勾股弦”此联全用“双联”修辞格”“三强”一指钱三强，二指战国时韩赵魏三大强国；“九章”，既指赵九章，又指我国古代数学名著九章算术该书首次记载了我国数学家发现的勾股定理全联数字相对，平仄相应，古今相连，总分结合(三)四川一座乡村中学，一对数学教师结合夫妇，在元旦结婚之日，工会赠一副贺联云：世事再纷繁，加减乘除算尽；宇宙虽广大，点线面体包完(四)某地一对新人，男的当会计，女的做医生，完婚之日，有人赠贺联一副：会计合数检验误差重合数；医生开方已知病根再开方嵌入“合数”、“开方”等数学名词，天衣无缝。(五)某市一对数学教师，几经波折，终于结为秦晋之好，同事撰一联相贺，联云：爱倩如几何曲线；幸福似小数循环“几何曲线”形象地表述了这对数学教师爱情历经坎坷曲折；“小数循环”是一个无穷无尽的数值，借此祝贺新人的美满幸福，天长地久，实在是神来之笔 分数、百分数应用2学习导航解答分数、百分数应用题时，关键要通过分析数量关系，弄清楚每道题把什么看单位1，找到解题的数量关系式，再根据分数与除法的关系或一个数乘以分数的意义列式解答。一、 快乐对对碰一个布袋有红、黄两种颜色的小球共1400个，拿出红球的，再拿出7个黄球，剩下的红球和黄球正好一样多。原来红球和黄球各有多少个？二、趣味探索拿出红球的，可以把红球看做单位1，剩下的红球占红球总数的1=。因为拿出7个黄球后，剩下的红球和黄球一样多，所以剩下的黄球也占红球总数的。二、 大显身手根据题意，可以知道：金重量的和银重量的共重50克，金重量的和银重量的是7701/10=77（克）。金放在水里称，重量减轻；银放在水里称，重量减轻,一块合金重770克，放在水里称，共减轻了50克。这块合金含金含银各多少克？把引得重量消去，77克与50克的差就是金重量的（）我是这样想的：（77050）（）我是这么想的：设这块铝合金中，金有x克，银有（770x）克。x+(770x)=50四、数学万花筒一瓶香瓶酒 今天是妈妈的生日。小明从山上为妈妈采来一束鲜花，爸爸从城里买回一瓶香槟酒。妈妈非常高兴地收下了小明为她献上的鲜花，但是却认为爸爸花钱买香槟酒太浪费了。于是，妈妈给爸爸出了一个难题，妈妈对爸爸说：“你要是能在不把木塞拔出来，也不把木塞和瓶子弄坏的情况下把酒倒出来，我才喝你买的这瓶香槟酒。”爸爸一听可为了难，不把木塞拔出来，怎么可能把酒倒出来呢？看着桌上的酒瓶，爸爸一点办法也想不出来。这时，小明在爸爸耳边悄悄说了一句话。爸爸一听不由笑着喊道“真是好主意！”说完，立即采取行动。不一会儿，妈妈怀子里斟满了香气四溢的香槟酒，妈妈非常高兴地举起了酒杯。那么，小明想出了什么好办法呢？原来，小明是这么想的：通过把木塞拔出来、在木塞上打个孔、把木塞弄碎或者把酒瓶的嘴儿敲掉都可以把酒从瓶里倒出来。而以上四种方法都只是为了达到把相互隔绝的瓶内、瓶外这两个空间“接通”的目的。妈妈提出的条件只是不让采取上面的四种办法，但并不是不让“接通”两个空间。因此，只需再找到一种可以“接通”的办法就行了。办法很简单：既然界于两个空间之间的木墓被拔到“瓶外空间”可以使两个空间“接通”，那么，沿着相反的方向，把木塞捅到“瓶内空间”不是也可以同样起到“打开一条通道”的目的吗！问题的解决就这么简单，小明让爸爸把木塞捅到瓶里去！ 商业中的数学学习导航 1.激发学习的兴趣，引导学生仔细观察信息窗，理清信息窗中索包涵的信息，在此基础上，再引导学生根据这些信息，提出并解决有关百分数的实际问题。 2.拓展练习、培养能力，实际的应用才能巩固学生解决这类问题的能力，在练习层次的设计上，使学生掌握问题的方法。一、 快乐对对碰某旅游景点的门票价格及优惠办法如下表：人数149人 5099人 100人以上每人票价 12元 10元 8元现有两个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费1166元，如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需付门票880元。这个旅游团分别有多少人？1166既不是12的倍数，也不是10的倍数，而且8801166，可知总人数一定超过100人，而且一个团人数少于50人，另一个团的人数超过50人。那么，总人数是8808=110人。二、趣味探索小明到商店买了相同数量的红球和白球，红球原价2元3个，白球原价3元5个。新年优惠，两种球都按1元2个卖，结果小明少花了8元钱。问：小明共买了多少个球？ 原价每个红球元，每个白球元，优惠后，红、白球各买一个少花+=4、15(元)所以，82=60（个）二、 大显身手甲、乙两个体户做生意，甲得利30%，乙损失20%，因此乙的资本仅是甲的.现在已知两个让你共有资本14500元，两个人原有资本多少元？把甲原有的资本看做“1”，获得后有1+30%。乙原有资本是（1+30%）（120%）=。我是这么想的，甲：145001+(1+30%)（120%）=8000（元）。乙：145008000=6500（元）。四、数学万花筒 诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能获得诺贝尔奖数学被誉为“科学女皇的骑士”，却得不到每年由瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会得到因为瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中，没有提出设立数学奖事实上，遗嘱的第一稿中，曾经提出过要设立这项奖金为什么以后又取消了呢？现在流传着两种说法第一种是在法国和美国流行的说法与诺贝尔同时期的瑞典著名数学家米塔格勒弗列尔，此人曾是俄国彼得堡科学院外籍院士，后来又是前苏联科学院外籍院上米塔格勒弗列尔曾侵犯过诺贝尔夫人诺贝尔对他非常厌恶为了对他所从事的数学研究进行报复，所以不设立数学奖第二种是在瑞典本国流行的一种说法在诺贝尔立遗嘱期间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格勒弗列尔，诺贝尔很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位数学家，而诺贝尔很不喜欢他 数学这样一门重要学科怎么能没有国际奖呢？第一个提出要改变长期没有国际数学奖状况的是加拿大数学家约翰菲尔兹在他担任国际数学大会组织委员会主席期间，于1932年提出设立数学优秀发现国际奖当时为了强调这项奖的国际性决定不以过去任何一个伟大数学家的名字命名1932年在苏黎世召开的国际数学大会上，通过了菲尔兹的提议，但菲尔兹本人在大会召开前一个月去世为纪念他的功绩，大会决定以他的名字命名这项数学奖与诺贝尔奖不同的是，这项奖每隔四年只授予年龄在40岁以下的数学家，获奖人应该是过去四年内被公认的优秀数学家 有趣的数学故事学习导航1.抓住学生思维的热点，让学生主动参与，感知知识的形成过程，调动学生原有的知识和生活经验，初步感知相遇，经过师生共同对知识的梳理，进一步深化对相遇问题的理解激发学生创新的欲望和兴趣。2.拓展练习、培养能力，实际的应用才能巩固学生解决这类问题的能力，在练习层次的设计上，使学生掌握问题的方法。一、 快乐对对碰有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆，猴子家离香蕉堆50米，猴子打算把香蕉背会家， 每次最多能背50根，可是猴子嘴馋，每走一米要吃一根香蕉，问猴子最多能背回家几根香蕉？二、趣味探索我想根据最多能背25根香蕉回家，猴子可以先背50根到25米处，这个时候它吃了25根，还剩下25根，放下这25根在25米处回头再背剩下的50根，走到25米处时，又吃了25根，还剩下25根，再背起地上的25根，一共50根，继续背回家，一共25米，要吃25根，那么最后还剩25根回家。三、大显身手饲养场的白兔是黑兔的5倍，后来卖掉了10只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍，原来白兔、黑兔各有多少只？卖掉10只黑兔，也应卖掉50只白兔，这样白兔只数正是黑兔的5倍，而现在却买回20只白兔，相关20+50=70只，现在白兔是黑兔的7倍，相关7-5=2倍。卖掉10只黑兔，也应卖掉50只白兔，这样白兔只数正是黑兔的5倍，而现在却买回20只白兔，相关20+50=70只，现在白兔是黑兔的7倍，相关7-5=2倍。四、数学万花筒灵感与数学灵感 数学灵感是人脑对数学对象结构关系的一种突发性的领悟在解答数学难题时，通常会遇到这样的情况：尽管从多角度、用各种方法去进行探索，但百思不得其解可正在“山穷水尽疑无路”之际，灵感出现了，从而创造了“柳暗花明又一村”的美的境界灵感与创造思维、灵感与数学发现究竟有何联系？我们可看看下面几位数学家的数学灵感与数学发现的情况法国数学家笛卡儿，早就有把相互独立的代数与几何结合起来的愿望，经过长时期的思考，但未找到合适的方法1619年随军服务时他仍在思考11月9日，在多瑙河畔的诺伊堡，他几天来整日沉迷在思考之中而不得其解，入睡后连作数梦，梦中迷迷糊糊地想到引入直角坐标系的方法第二天，也即是11月10日清晨，醒后立即将梦中所得加以整理，终于创造了解析几何学，笛卡尔获得了成功，但他酝酿时间为16171619年，约为两年的时间法国著名数学家庞加莱在谈到他发现富克斯函数的变换方法时回忆说：“1880年有一次我离开当时居住的卡昂去作一次由矿业学校主办的地质考察旅行旅途的奔波使我忘掉了我的数学工作，抵达库特塞斯后，我们乘公共马车到各处去转转，正当我跨上踏板的瞬间，脑子里突然出现了一个想法，即我曾用来定义富克斯函数的诸变换跟非欧几何中的诸变换是一致的”庞加莱回到住址后，马上把这一结果加以证明这是在长时间紧张工作之后，思想放松时灵感的突然闪现，是经过了约一年时间的苦思之后才获得成功的 被称为数学王子的高斯为证明某一算术定理，曾苦思冥想达两年之久，后来突然得到一个想法，使他获得成功高斯回忆说：“终于在两天前我成功了像闪电一样，谜一下解开了我自己也说不清楚是什么导线把原先的知识和我成功的东西连接起来”尽管解开这个谜的想法是突然来的，但高斯本人经过两年的艰苦努力才为这个成功的到来做好了准备由以上对三位数学家数学灵感的出现而导致数学发现的描述，可以看出这种在长时期持续劳动后的某时刻出现的“突然领悟”是一种非逻辑的高层次的创造活动，亦即灵感思维活动灵感是不能靠偶然的机遇、守株待兔式的消极等待可以得到的必须是执著追求、锲而不舍、百折不挠，才能有成功的一天所谓“触景生情”“灵机一动”“眉头一皱，计上心来”，都是经过长期坚持不懈地创造性劳动而“偶然得之”的巴斯加说：“机遇只偏爱有准备的头脑”恰恰道出了此中的真谛 有趣的数学题学习导航抓住学生思维的热点，让学生主动参与，感知知识的形成过程，调动学生原有的知识和生活经验，初步感知相遇，经过师生共同对知识的梳理，进一步深化对相遇问题的理解激发学生创新的欲望和兴趣。一、 快乐对对碰一只船从甲地开往乙地，逆水航行，每小时行24千米，到达乙地后，又从乙地返回甲地，比逆水航行提前2. 5小时到达。已知水流速度是每小时3千米，甲、乙两地间的距离是多少千米？分析：二、趣味探索逆水每小时行24千米，水速每小时3千米，那么顺水速度是每小时 243230（千米），比逆水提前2. 5小时，若行逆水那么多时间，就可多行 302. 575（千米）每小时多行326（千米），几小时才多行75千米，这就是逆水时间。我是这样想的，243230（千米）24 302. 5（32）24 302. 56 2412. 5300（千米）三、大显身手1. 一游客划着小船逆流而上，船上一只皮球掉入河里，2分钟后游客发现，立即掉头追皮球，问游客几分钟追上皮球？2分钟游客与皮球的距离为：（球速+游客速度）2=（水速+船速-水速）2=2个船速追的时间2个船速（顺速-水速）=2个船速船速=2分钟即游客2分钟追上皮球。四、数学万花筒 第一位女教授苏菲娅柯瓦列夫斯卡娅苏菲娅出生在沙皇俄国立陶宛边界的一座贵族庄园里，他父亲是退役的炮兵团团长。她很小就对数学很痴迷，经常对着墙壁上的数学公式和符号，一看就是好半天，原来，她房间里的糊墙纸是用高等数学的讲义做成的。苏菲娅14岁时便能够独立推导出三角公式，被称为“新巴斯卡”。随着时间的流逝，苏菲娅逐渐长大成人，她对数学的兴趣也与日俱增。但那时正处于沙皇时代，妇女是不允许注册高等学校学习的。而她的父亲又一心想让她像别的贵族姑娘一样，步人社交界，对她想学数学的心愿横加阻拦。于是，苏菲娅不顾父母的反对，与年轻的古生物学家柯瓦列夫斯基“假结婚”，来到德国的海德尔堡。但在那里，妇女听课要有一个专门的委员会认可才行。经过努力，她被允许旁听基础课。在此期间，她勤奋好学，掌握了深奥的数学知识，轰动了整个海德尔堡，成为人们谈论的话题。可她只被允许听了三个学期的课，便不得不离开了那里。苏菲娅深造心切，又慕名前往柏林工学院，打算去听著名数学家维尔斯特拉斯的课。苏菲娅在维尔斯特拉斯的悉心指导下学习了4年。她回忆这段经历时说：“这样的学习，对我整个数学生涯影响至深，它最终决定了我以后的科学研究方向。”苏菲娅得到了维尔斯特拉斯的鼓励和指点。更加有了攀登科学高峰的勇气。她经过了4年的刻苦努力。写出了三篇出色的论文，引起了强烈的反响。这是史无前例的开创性工作。1874年，在维尔斯特拉斯的推荐下，24岁的苏菲娅荣获了德国第一流学府哥廷根大学博士学位，成为世界上首屈一指的女数学家。获得博士学位的苏菲娅，怀若一颗赤子之心回到了祖国，可俄国还是同她出国之前一样黑暗。她在祖国无法立足，只好又回到柏林。她根据维尔斯特拉斯的建议，研究光线在晶体中的折线问题。在1883年奥德赛科学大会上，她以出色的研究成果作了报告。 1891年，苏菲娅患肺炎因误诊导致病情恶化，与世长辞。她为争取妇女的自由斗争做出了艰苦努力，是妇女攀登科学高峰的光辉榜样。 分数乘法举例列举法学习导航1、会用举例列举法解决有关分数乘法的问题。2、培养学生主动迁移，仔细读题的良好习惯。3、让学生在解决问题中体验探索的乐趣。热爱学习数学。一、快乐对对碰 两根同样长的钢管，第一根用去米，第二根用去。你能提出什么问题？二、趣味探索哪一根用去的长一些？不知道钢管原来的长度，怎么解决呢？ 可以用举例子的方法：钢管原来的长度分别举1米，2米再计算。可以以特殊的数1米为分界线，举例米，1米，5米分别列举计算。第一种情况：第一根用去米。 第二根用去=（米）。 因为 米米 所以第一根用去的长。第二种情况：第一根用去米。第二根用去1=（米）。因为 米=米所以两根用去的一样长。第三种情况：第一根用去米。 第二根用去5=2（米）。因为 米2米所以第二根用去的长。三、大显身手1、（1）食堂有吨煤，用去一部分后还剩。还剩多少吨？ （2）食堂有吨煤，用去吨，还剩多少吨？2、有两堆同样多的稻谷，第一堆运走吨，第二堆运走。两堆稻谷剩下的同样重吗？为什么？四、数学万花筒生活中的分数生活中，常常要用数学，特别是购物时，用数学是最多的。今天我们学完了分数的乘法，我本以为分数乘分数是考试才考的，生活中不会用，可今天一上街，才知道它的用处有多大。 今天我和妈妈来到一家商店买衣服，忽然见到一件衣服原价900元，现在打了9折，心想打了9折就是除以9，9009100（元），只要100元，而且做工精美太划算了，我便对妈妈嚷到：“妈妈，这件好，只要100元！”妈妈闻声赶来，见那件衣服原价900元，以为看错了，便问我：“哪一件？”“那件，打9折的，”我答到。“怎么是100元，明明是810元嘛！”我听了妈妈的话，一脸迷惑，问：“9折不是除以9吗？”“不，”妈妈说到，“要知道，打9折并不是除以9，而是乘以它的十分之九呀！”我听了妈妈的话，恍然大悟，用新学的分数乘法算了算，900，900和10约分是90，909810，8101810。“真的是810元，原来打折是这样呀！看来数学和生活是分不开的，无论什么都和数学有关系！”我不禁叹到。农夫分牛今天，老师给我们讲了一个故事，我听了后，深有感悟。 这故事是这样的：有一个农夫，快要死了，决定是时候分财产了，便指着田里的19头牛，说：“老大就要这些牛的
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