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二四年湖南省高中数学竞赛试题一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数是上的奇函数，是上的偶函数，若，则（）ABCD 2.有四个函数： 其中在上为单调增函数的是（）ABC和D和 3.方程的解集为A（其中为无理数，=3.141，为实数），则A中所有元素的平方和等于（）A0B1C2D44.已知点满足，则点所在区域的面积为（）ABCD 5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为（）A9B12C15D186.已知数列为等差数列，且，则等于 ( )A80B40C24D-487.已知曲线：与直线有两个交点，则的取值范围是（）ABCD8.过正方体的对角线的截面面积为，和分别为的最大值和最小值，则的值为（）ABCD9.设，则、的大小关系为（）ABCD 10.如果一元二次方程中，、分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率（）ABCD 二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）11.设是椭圆上异于长轴端点的任意一点，、分别是其左、右焦点，为中心，则 _.12.已知中，试用、的向量运算式子表示的面积，即_.13.从3名男生和名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为，则_.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为_个.三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分）15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即.(1). 求证：AB(2).若，且，求实数a的取值范围.16.某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？组ABCD上衣(件)8976裤子(条)101211717.设数列满足条件：，且)求证：对于任何正整数，都有.18.在周长为定值的中，已知，且当顶点位于定点时，有最小值为.(1)建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程.(2)过点作直线与(1)中的曲线交于、两点，求的最小值的集合.19.已知三棱锥的三条侧棱、两两垂直，是底面内的任一点，与三侧面所成的角分别为、.求证：.二四年湖南省高中数学竞赛试题参考答案一、选择题： ADCBC CCCBA二、填空题：11. 25 12. 13. 4 14. 1 三、解答题：15.证明(1)若A=，则AB 显然成立；若A，设tA，则f(t)=t,f(f(t)=f(t)=t,即tB,从而 AB. 解 (2)：A中元素是方程f(x)=x 即的实根. 由 A，知 a=0 或 即 B中元素是方程 即 的实根由AB，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为 因此，要A=B，即要方程 要么没有实根，要么实根是方程 的根.若没有实根，则，由此解得若有实根且的实根是的实根，则由有 ，代入有 2ax+1=0.由此解得 ,再代入得 由此解得 .故 a的取值范围是 16.解：A、B、C、D四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：，且 只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.由知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7-x)天做裤子；B组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子;D组做7天上衣，C组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣 67+8x+9y (件)；生产裤子117+10(7-x)+12(7-y) (条)依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即 .令 = 42+8x+9y=42+8x+9()=123+因为 0x7,所以，当x=7时，此时y=3, 取得最大值，即max=125.因此，安排A、D组都做7天上衣，C组做7天裤子，B组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.17.证明：令 ,则有 ，且 于是 由算术-几何平均值不等式，可得+注意到 ，可知 ，即 18.解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6. 因为 又 ，所以 ，由题意得 .此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P(0，4).所以C点的轨迹方程为 (2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 显然有 0， 所以 而由椭圆第二定义可得 只要考虑 的最小值，即考虑取最小值，显然.当k=0时，取最小值16.当直线MN的倾斜角为900时，x1=x2=-3,得 但 ，故，这样的M、N不存在，即的最小值的集合为空集.19.证明：由 题意可得 ，且、 所以 因为 ，所以 当时，.当时，同样有 故 另一方面，不妨设 ，则 令 ，则 因为 ，所以 所以 所以 如果运用调整法，只要、不全相等，总可通过调整，使增大.所以，当=时，+取最大值 3.综上可知，
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