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2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第卷和第卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.2. 第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。3. 第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.圆柱的侧面积公式：，其中c是圆柱的底面周长，是圆柱的母线长.球的体积公式V=,其中R是球的半径.球的表面积公式：S=4,其中R是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式 .如果事件互斥，那么.第1卷（共60分）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合 M =x|x2+x-60)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则= （A）3 （B）2 （C） （D）（7）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（A）63.6万元 （B）65.5万元 （C）67.7万元 （D）72.0万元（8）已知双曲线（a0,b0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（A） （B）（C）（D）（9）函数的图象大致是（10）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f（x）=x3-x，则函数y=f（x）的图像在区间0,6上与x轴的交点个数为（A）6（B）7（C）8（D）9（11）右图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是（A）3 （B）2 （C）1 （D）0（12）设，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R)，(R)，且,则称，调和分割， ,已知点C(c，o),D(d，O) (c，dR)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是（A）C可能是线段AB的中点 （B）D可能是线段AB的中点（C）C，D可能同时在线段AB上 （D）C，D不可能同时在线段AB的延长线上第II卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）执行右图所示的程序框图，输入，m=3，n=5，则输出的y的值是 . (14)若展开式的常数项为60，则常数a的值为 .（15）设函数（x0），观察：f2 (x)=f(f1（x）)= f3 (x)=f(f2（x）)= f4 (x)=f(f3（x）)= 根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fm（x）=f（fm-1（x）= . （16）已知函数=当2a3b4时，函数的零点 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.（17）（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（）求的值；（）若cosB=，b=2, 求ABC的面积S.（18）（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。（）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.（）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB=，平面，EF，.=.（)若是线段上的中点，求证：平面;（）若-,求平面角-的大小（20）（本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前n项和Sn.（21）（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的.（22）（本小题满分14分）已知直线l与椭圆C: 交于P.Q两不同点，且OPQ的面积S=,其中Q为坐标原点。（）证明X12+X22和Y12+Y22均为定值（）设线段PQ的中点为M，求的最大值；（）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得SODE=SODG=SOEG若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由。2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学解析版注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。 3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.【解析】因为,故复数z对应点在第四象限,选D.3.若点（a,9）在函数的图象上，则tan=的值为（A）0 (B) (C) 1 (D) 【答案】D【解析】由题意知:9=,解得=2,所以,故选D.5. 对于函数,“的图象关于y轴对称”是“=是奇函数”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要【答案】C【解析】由奇函数定义,容易得选项C正确.6.若函数 (0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则=（A）3 （B）2 （C） （D）【答案】C【解析】由题意知,函数在处取得最大值1,所以1=sin,故选C.7. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元【答案】B【解析】由表可计算,因为点在回归直线上,且为9.4，所以, 解得,故回归方程为, 令x=6得65.5,选B.8.已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】由圆C:得:,因为双曲线的右焦点为圆C的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线均和圆C相切,所以,即,又因为c=3,所以b=2,即,所以该双曲线的方程为,故选A.9. 函数的图象大致是【答案】C【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.10. 已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,则函数的图象在区间0,6上与轴的交点的个数为（A）6 （B）7 （C）8 （D）9【答案】A【解析】因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,故函数的图象在区间0,6上与轴的交点的个数为6个,选A.11.下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0【答案】A【解析】对于,可以是放倒的三棱柱；容易判断可以.12.设，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R)，(R)，且,则称，调和分割， ,已知点C(c，o),D(d，O)(c，dR)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是(A)C可能是线段AB的中点 (B)D可能是线段AB的中点(C)C，D可能同时在线段AB上 (D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上【答案】D【解析】由 (R)，(R)知:四点，在同一条直线上,因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且, 故选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13.执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是 .【答案】68【解析】由输入l=2，m=3，n=5，计算得出y=278,第一次得新的y=173;第二次得新的y=68105,输出y.14. 若展开式的常数项为60，则常数的值为 .【答案】4【解析】因为,所以r=2, 常数项为60,解得.15. 设函数,观察:根据以上事实，由归纳推理可得：当且时， .【答案】【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为,即,所以归纳出分母为的分母为,故当且时，.16.已知函数=当2a3b4时，函数的零点 .【答案】5【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,此时对应直线上的点的横坐标;当时, 对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.三、解答题：本大题共6小题，共74分17.（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（I） 求的值；（II） 若cosB=，,求的面积.【解析】（）由正弦定理得所以=,即,即有,即,所以=2.（）由（）知: =2,即c=2a,又因为,所以由余弦定理得：，即,解得,所以c=2,又因为cosB=，所以sinB=，故的面积为=.18.（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。（）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.【解析】（）红队至少两名队员获胜的概率为=0.55.（）取的可能结果为0,1,2,3,则=0.1;+=0.35;=0.4;=0.15.所以的分布列为0123P0.10.350.40.15数学期望=00.1+10.35+20.4+30.15=1.6.19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB=，平面，EF，.=.（)若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小【解析】（)连结AF,因为EF，EF=F,所以平面EFG平面ABCD,又易证,所以,即,即,又M为AD的中点,所以,又因为D，所以M,所以四边形AMGF是平行四边形,故GMFA,又因为平面,FA平面,所以平面.（）取AB的中点O,连结CO,因为,所以COAB,又因为平面，CO平面,所以CO,又AB=A,所以CO平面,在平面ABEF内,过点O作OHBF于H,连结CH,由三垂线定理知: CHBF,所以为二面角-的平面角.设=,因为ACB=，=,CO=,连结FO,容易证得FOEA且,所以,所以OH=,所以在中,tanCHO=,故CHO=,所以二面角-的大小为.20.（本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前项和.【解析】（）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.（）因为=, 所以=-=-=-,所以=-=-.21.（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的.【解析】（）因为容器的体积为立方米，所以,解得,所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为,所以+,定义域为(0,).（）因为+=,所以令得:; 令得:,所以米时, 该容器的建造费用最小.22.（本小题满分14分）已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且OPQ的面积=,其中O为坐标原点.（）证明和均为定值;（）设线段PQ的中点为M，求的最大值；（）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由.【解析】(参考标准答案)
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