广州市高中数学知识应用竞赛决赛试卷(样卷).doc

广州市高中数学知识应用竞赛决赛试卷（样卷）（考试时间：120分钟 全卷满分：100分）题 号一二三合 计（9）（10）（11）（12）得 分一、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内（1）小丁储备2008年赴京观看奥运会的费用，他从2001年起到2007年，每年元旦到银行存入a元一年定期储蓄，若年利率r保持不变，且每年存款到期自动转存新的一年定期. 到2008年元旦将所有的存款和利息悉数取出，可提取 ( ) 元. (A) a(1+r)8(B) (1+r)7(1+r)(C) (1+r)81(D) (1+r)8(1+r)（2）我国首航员杨利伟乘坐的“神舟五号”载人宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m公里，远地点B距地面为n公里若地球的半径为R公里，则飞船运行轨道的短轴长为(A) mn (B) 2 (C) 2nm (D) （3） 现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30cm，底面的长是25cm，宽是20cm设08，水箱里盛有深为cm的水，若往水箱里放入棱长为10cm的立方体铁块，则水深为 (A) 2 cm (B) 10 cm (C) (+2) cm (D) cm（4） O 1 2 3 ty 8421右图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间（月）的关系为：.有以下判断：这个指数函数的底数为2；第5个月后，浮萍面积就会超过30；浮萍从4蔓延到12只需要经过1.5个月；浮萍每月增加的面积都相等；若浮萍蔓延到,所经过的时间分别为则其中正确判断的个数是（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 （D） 4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上DACB600（5）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验，则至少有两件不合格的概率为 （6）如图，距离船只A的正北方向100 n mile处，有一船只B以每小时20 n mile速度，沿北偏西 角的方向行驶，船只A以每小时15 n mile速度，向正北方向行驶，两船同时出发，经过 小时后，两船相距最近。（7）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）（8）某工厂为某工地生产一种无盖圆柱形容器，容器的底面半径r2，3（米），容积为，制造容器底面的材料每平方米为30元，制造容器侧面的材料每平方米为20元，设计时材料的厚度可忽略不计，则这种容器的最低造价为 元（取3.14，精确到1元）三、解答题：本大题共4小题，共60分要求写出解答过程（9）（本小题满分15分） 某机关在精减人员中,对部分人员实行分流,规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%,从第二年起,以后每年只能在原单位按上一年的三分之二领取工资.该机关根据分流人员的特长,计划创办新的经济实体,该经济实体计划第一年属投资阶段,没有利润,第二年每人可获元收入,从第三年起每人每年的收入可在上一年基础上递增50%.如果某分流人员分流前工资收入每年,分流后第年总收入为元.（）求；（）当时,这个人哪一年收入最少,最少收入是多少?（）当时,是否一定可以保证这个人分流后的年收入永远超过分流前的年收入（10）（本小题满分15分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元()全程运输成本把y(元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；()为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?(11)（本小题满分15分） 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱 宽l是多少？ （）若最大拱高h不小于6米，则应如何设 计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米，2.65）(12) （本小题满分15分）下面是某国从1790年到1950年的人口数据资料：时间17901800181018201830184018501860人口数(百万)3.9295.3087.249.63812.86617.06923.19231.44318701880189019001910192019301940195038.55850.15662.94875.99591.972105.711122.775131.669150.697试利用上述资料预测该国1980年的人口数。广州市高中数学知识应用竞赛决赛试卷（样卷）参 考 答 案（1）至（10）题答案参看广州市高中数学知识应用竞赛初赛试卷（样卷）参考答案(11) （本小题满分15分）解: （）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得.因此隧道的拱宽约为33.3米.（）由椭圆方程，得故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.(12) （本小题满分15分）解答要点： （1）假设该国的政治、社会、经济环境稳定，该国人口数量完全按表中所给数据呈现的规律连续变化（2）将该国人口数量看成是时间的函数，并设时间为t，该国人口数量为，则（3）以为横坐标，为纵坐标，在平面直角坐标系中，根据表中所给的数据资料，画出散点图（略）（4）观察散点图，从整体趋势来看，可认为散点近似在一条指数型的曲线上由于表中所给1940和1950两年数据离1980年最近，故设，并以（1940，131.669）和（1950，150.697）代入，求出，的值，得到131.669(1.0136)由此，算得该国1980年的人口预测数为:f =226.02（百万）以下别解更接近学生的思路，仅供参考：别解1：如果认为曲线是一条抛物线，设为yax2b，将（0，0.3929）和（16，15.0697），代入得：a0.0573313，b0.3929，即 y0.0573313x20.3929，将x19（注：按1790年时x0，依次取值，则1950年时x16，即1980年时x19），得y21.09（注：人口数以千万为单位，即210.9百万）其图形如下：（从图中可以看出拟合的程度较精确）别解2：仍认为曲线是一条抛物线，设为yax2bxc，将（0，0.3929）、（8，3.8558）和（16，15.0697），代入得：a0.0574852，b0.0220938，c0.3929，即 y0.0574852x20.0220938x0.3929，将x19（注：按1790年时x0，依次取值，则1950年时x16，即1980年时x19），得y21.56（注：人口数以千万为单位，即215.6百万）其图形如下：（从图中可以看出拟合的程度也较精确）